2021-2022学年湖南省衡阳市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析

第第PAGE1915页2021-2022学年湖南省衡阳市高一下期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1𝑧﹣4

2𝑖，则z﹣3𝑧的虚部为（ 1−𝑖﹣4i1−𝑖

D．4i解：复数𝑧=

2𝑖==

2𝑖(1+𝑖)

=i﹣1，则z﹣3𝑧=−1+i﹣3（﹣1﹣i）＝2+4i．所以z﹣3𝑧的虚部为4．故选：C．已知非零向→

→|=→−𝑏)⊥

𝑎 → ）𝑎，𝑏满足𝜋

，则5𝜋

与𝑏的夹角为（2𝜋A．3解：非零向→

B．6→|=

6 D．3且→−𝑏)⊥

𝑎，𝑏满足，则𝑎−

=0=0，𝑏𝑏即→→=𝑏2=→|2；𝑏所以cosθ= 所以cosθ= →=|𝑏|=→ → →

=1，2|𝑎|×|𝑏| 2|𝑏|×|𝑏|2又θ∈[0，π]，𝑎

→ 𝜋θ=与𝑏的夹角为 θ=故选：A．已知一个球的体积则它的内接正方体的表面积为（ ）A．4√3𝜋 4𝜋

C．48 D．24解：因为球的体积是：3故球半径R=√3，

R3=4√3𝜋，根据正方体的外接球的性质，正方体的中心即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径．aR=解得＝，所以S622（c2．故选：D．在天气预报中“降水概率预报例如预“明天降水概率为85这是（ ）85%15%地区不降水明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%D．明天该地区降水的可能性为85%解：在天气预报中预报“明天降水概率为85对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说其他15%地区不降水，故A错误；对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，并不是说其他时间不降水，故B错误；对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，85%15%CD，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%D正确．故选：D．已知β是两个不同的平面mn是两条不同的直线下列四个命题中正确的（ ）m∥α，n∥αm∥nm⊥α，n∥αm⊥nm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βm∥n，α∥βm与αn与β所成的角不相等Am∥α，n∥αm∥nmnmnA错误；Bm⊥α，n∥αm⊥nB正确；Cm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥βαβC错误；Dm∥n，α∥βmαnβD错误．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖方盖”的体积之比应为π：418，则正方体的棱长为（A．18 B．6 C．3 D．2解：∵正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，“牟合方盖”的体积为V

=𝜋×18=9𝜋，球4 24 3 9r，则3

=2𝜋，2，32，在天气预报中“降水概率预报例如预“明天降水概率为85这是（ ）85%15%地区不降水明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%D．明天该地区降水的可能性为85%解：在天气预报中预报“明天降水概率为85对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，并不是说其他15%地区不降水，故A错误；对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，并不是说其他时间不降水，故B错误；对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，85%15%CD，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%D正确．故选：D．ABDFA⊥BA＝，其体积为12，若将该“堑堵”放个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（）A．100π B．108π D．120π解：设BC＝a，BF＝b，V＝S

BF=1×6𝑎𝑏=120，2整理，得ab＝40，2要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，设其外接球的半径为R，∵在堑堵ABC﹣DFE中，BA，BC，BF两两垂直，ABC﹣DFE线，即2R=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐵𝐹2=√36+𝑎2+𝑏2，∵a+22a＝80（当且仅当＝b时，取等号，∴外接球的表面积S＝4πR2≥116π，∴球形容器的表面积最小值为116π．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）设i为虚数单位，复数＝（+1+2，则下列命题正确的是（ ）za22z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a122C．实数𝑎=−1是z=𝑧（𝑧为z的共轭复数）的充要条件2D．若+z＝+5（R，则实数a的值为2解：复数＝（+1+2）＝a﹣+a+）；Aa＝2时，zA正确；{𝑎−a−B不对；2𝑎+22C𝑍2a+1＝﹣2a﹣1a1C正确；Dz+|z|＝x+5i2a+1＝5a＝2D正确；2故选：ACD．下列说法正确的是（ ）在ABC中，若→ =1𝐵+1𝐶，则点D是边BC的中点𝐴𝐷 2 2B𝑎（﹣，𝑏﹣1，若𝑏2）𝑎，则＝1

=(2𝑥𝑥=1𝐴M 2DABCD1M

=1𝐶，则

⋅=4𝐷M 2 𝐴M 31→ABCE则𝐴𝐵2

1→ 12𝐴𝐶=2

→ → → →(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=𝐴𝐸=𝐴𝐷，则E点与点D重合，所以D是边BC的中点．所以A正确．→−2𝑎（+，→（﹣，𝑏2𝑎），所以=1．所以B不正对于B，𝑏确．.对于=1则

3=𝐵+𝑥−𝐶=1𝐵M为AB2C不正确．

𝐴M 2对于 D

→

⋅𝐶=𝐷+M𝐷+𝐶)=𝐷2+𝐷⋅𝐶+M⋅𝐷+M⋅𝐶1+1=4．所以DA．3 34000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的[45[560[670[78[890，说法中正确的是（）[70，80）的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C72.5D75分解：对于A，由频率分布直方图得成绩在[70，80）的小矩形最高，∴成绩在[70，80）的考生人数最多，故A正确；对于B，由频率分布直方图得不及格的频率为：（0.005+0.015）×10＝0.2，4000×0.2＝800BC，考生竞赛成绩的平均分约为：𝑥=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10＝72.5分，故C正确；对于D，[470）（0.005+0.015+0.02）10.，[70，80）的频率为：0.030×10＝0.3，∴考生竞赛成绩的中位数为：70+0.5−0.4×10≈73.3分，故D错误．故选：AC．12．如图，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CC=√6，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐶=2√2，点M是棱11 1 1AA1的中点，则下列说法正确的是（ ）BCB1M90°B1CDMDABCB1﹣AC﹣B60°D．B1M⊥CM解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．∵AB＝BC＝2，AC=2√2，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE∥AM，DE＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，∵MD⊄ABC，AE⊂ABC，∴MDABCBCACNBN、B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．在

=√6B=√2A=

=𝐵1=

＝60°，1 1 即选项C正确；

1 𝐵𝑁 1

C2A+A=𝐵

=

𝐵2+

M2=

𝐶2=

𝐵2+1𝐵𝐶2=10，

2 1 1 1 1 2 1 11显然𝐶M2+M𝐵21

≠𝐵1𝐶2，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）5=1．已知复数z满足﹣2）（i为虚数单位，则z＝√5 解：∵（1﹣2i）z＝5，5=∴z=

5

5(1+2𝑖)

=5(1+2𝑖)=1+2i，故|z|=√1+4=√5，故答案为：√5．14．数据5，7，7，8，10，11的平均数是8 ，标准差是2 解：根据题意，对于数据5，7，7，8，10，11，6其平均数𝑥=1（5+7+7+8+10+11）＝8，66s＝2；6故答案为：8，2．一个底面半径为2的圆锥其内部有一个底面半径为1的内接圆柱若其内接圆柱的积√3π，则该圆锥的表面积为12π ．解：根据题意，作出如下所示的图形：设圆锥的底面半径为R＝2，内接圆柱的底面半径为r＝1，∵内接圆柱的体积为√3π，∴V＝πr2•BC＝π•BC=√3π，∴BC=√3，𝐴𝐵∵𝐴𝐶

=𝑟，∴𝑅

𝐴𝐵3𝐴𝐵

1=2，解得AB=√3，AC=2√3，∴圆锥的母线长AD=√𝐴𝐶2 𝑅2=√=4．11245得到黑球或黄球概率是

1 1得到黄球或绿球概率是则任取一球得到黄球的概率为 ．12 2 6解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，1 得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是

1，得到黄球或绿球概率是，4 12 24∴袋中有红球：12×1=3个，412有黑球或黄球：12×5=5个，122有黄球或绿球：12×1=6个，25+）﹣123）2，=126．∴任取一球得到黄球的概率为P=2 1=126．1故答案为：．6四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）xOy

=，−𝐶（1．𝐴𝐵（1）求→与→夹角的余弦值；𝐵𝐴 𝐵𝐶（2）设→=𝐶，若BA，求实数λ的值．𝐴𝑃（1）由→=4，−)𝐶=3得，𝐴=，𝐴|=5𝐶|=√，𝐴𝐵∴→⋅=12+3=15，𝐵𝐴→ → → →= =

𝐵𝐴⋅𝐵𝐶→ →|𝐵𝐴||𝐵𝐶|

= 155√

3√1010（2）→

=+=(−1，−2)，𝐴𝐶∴→==(−𝜆，−=+=(4−−2𝜆)，𝐴𝑃→∵BP⊥AC，∴

4𝜆2(32𝜆)=0，解得λ＝2．𝐵𝑃某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次2012个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；任选一道题目，恰有一人答对的概率．（）设＝“任选一道题目，甲答对B＝“任选一道题目，乙答对根据古典概型概率计算公式，得：20 5 20 P（A）=12=3，P（B）=16=4，20 5 20 ∴P（𝐴）=2，P（𝐵）=1，5 5∴任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为：P（𝐴𝐵）＝P（𝐴）P（𝐵）=2×1=2．5 5 25（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率为：P（𝐴𝐵∪𝐴𝐵）＝P（𝐴𝐵）+P（A𝐵）＝P（𝐴）P（B）+P（A）P（𝐵）=2×4+3×15 5 5 5= = 25①z＜0，②z已知复数：z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i．，求实数m的值；z﹣m2（1+i）+82√5m的值．（）①0{𝑚2−𝑚−8，解得＝．𝑚2−4=0选择②z为虚数，则m2﹣4≠0，解得m≠±2．选择③z为纯虚数，则m2﹣2m﹣8＝0，m2﹣4≠0，解得m＝4．（2）z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i可知复数z﹣m2（1+i）+8＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i﹣m2（1+i）+8＝﹣2m﹣4i，依题意√(−2𝑚)2+16=2√5，m＝±1，m＝±1．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了36Y有关，具体见表．质量指标Y频数年内所需维护次数

62

180

[0.6，11.0]121Y（；用分层抽样的方法从上述样本中先抽取662件2[10.2，10.6）内的概率；已知该厂产品的维护费用为200元厂产品时每件多加5036（）该厂产品的质量指标Y的平均值为：𝑌=10×6+10.4×18+10.8×12≈10.47．由分层抽样方法知：先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2）的有1件，记为A，在[10.2，10.6）3B1，B2，B3，在2C1，C2，6215个基本事件分别为：（，1，23（，1ACB2（，3（B1，C1，（1C2B2C2C3C1C，12个，分别为：（，1，23（12（1311，（1C2B2C2C3C，∴这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率为：15 P=12=4．15 x元，36则平均每件产品的消费费用为：1 400=6（36+6400+1×20）+ 3（元，假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：1 250=6[3（+5）+×200＝+ 3（元，∴该服务值得消费者购买．ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90ACMDAB⊥DA．ACDABC；4DAQADBCBP＝4DAABP的体积．ABCM，∴AB∥CM，∴∠BAC＝∠ACM＝90°，即AB⊥AC，∵AB⊥DA，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD，∵AB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．QQE⊥ACEQE∥DC，4∵DQ=14

𝑄E

=𝐴𝑄=3DA，∴𝐷𝐶

𝐴𝐷 4，∵DC＝CM＝AB＝4，∴QE＝3，∵∠ACM＝90°，△ACD由△ACM翻折而来，∴DC⊥CA，由（1）知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，∴DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，即点Q到平面ABC的距离为QE，4∵BP=1BC，AB＝AC＝4，且AB⊥AC，4∴S =

=1×1

=1×1×4×4＝2，△ABP

4△ABC

2•AB•AC 4 2Q﹣ABP

=1•S

QE=1×2×3＝2．Q﹣ABP

3 △ABP 3A，B20到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73