历年考研数学一真题及答案解析1989~1999

90/90历年考研数学一真题及答案解析1989~19991989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)已知(3)2f'=,则0

(3)(3)

lim

2hfhfh

→--=_______.

(2)设()fx是连续函数,且1

()2

()fxxftdt=+?

,则()fx=_______.

(3)设平面曲线L为下半圆周21,yx=--则曲线积分

22()L

xyds+=?

_______.

(4)向量场2

2

(,,)ln(1)z

uxyzxyiyejxzk=+++在点(1,1,0)P处的散度divu=_______.

(5)设矩阵300140003A???=????,100010001E???=????

,则逆矩阵1

(2)AE--=_______.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)当0x>时,曲线1

sin

yxx

=()(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线

(2)已知曲面2

2

4zxy=--上点P处的切平面平行于平面2210xyz++-=,则点P的

坐标是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)

(3)设线性无关的函数1y、2y、3y都是二阶非齐次线性方程()()()ypxyqxyfx'''++=的

解,1C、2C是任意常数,则该非齐次方程的通解是()(A)11223CyCyy++(B)1122123()CyCyCCy+-+(C)1122123(1)CyCyCCy+(D)1122123(1)CyCyCCy++--(4)设函数2

(),01,fxxx=≤上,问当R为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？

十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)

(1)已知随机事件A的概率()PA=0.5,随机事件B的概率()PB=0.6及条件概率

()PBA|=0.8,则和事件ABU的概率()PABU=_______.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,

则它是甲射中的概率为_______.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程2

10xxξ++=有实根的概率是______.

十一、(本题满分6分.)

设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY=-+的概率密度函数.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】1-【解析】原式=01(3)(3)1lim(3)122

hfhffh-→--'-=-=--.(2)【答案】1x-

【解析】由定积分的性质可知,

1

()ftdt?

和变量没有关系,且()fx是连续函数,故

1

()ftdt?

为一常数,为简化计算和防止混淆,令10

()ftdta=?,则有恒等式()2fxxa=+,

两边0到1积分得

1

1

()(2)fxdxxadx=+?

?,

即[]1

1

1

1

1200000

1(2)222axadxxdxadxxax??

=+=+=+???????122a=+,

解之得1

2

a=-

,因此()21fxxax=+=-.(3)【答案】π

【解析】方法一：L的方程又可写成2

2

1(0)xyy+=≤,被积分函数在L上取值,于是

原积分=

1L

dsπ=?(半径为1的的半圆周长).

方法二：写出L的参数方程,

cossinxt

yt

=??

=?,(0)tπ-≤≤则

00

222222()(cossin)(sin)cos1L

xydsttttdtdtπ

π

π--+=+-+=?=?

??.

(4)【答案】2

【解析】直接用散度公式

22[

()()(ln(1))]zP

Pdivu

xyyexzxyz

???

=+++???r220(1,1,0)

2

2

220

()10112110zz

yexez=++?

=++?

=+=++.

(5)【答案】10

01

1

022001????-

???

?

【解析】由于

3002001002140020120003002001AE??????

???

-=-=????????????

,

为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.

方法一：如果对(2)AEE-M

作初等行变换,则由1

(2)((2))AEEEAE--→-MM可以直接得出1

(2)AE--.

本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以

1

2

,有100100100100100100

11

120010020110010022001001001001001001?

?

???????

?→-→-????????????

,从而知1

1

0011

(2)022001AE-??

??-=-

???

?

.方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：abAcd??

=

???

,则求A的伴随矩阵*abdbAcdca*

-????

==??-????

.

如果0A≠,这样

1

11abdbdbcdcacaAadbc??????

==??

???

????

.再利用分块矩阵求逆的法则：1

110000

AA

BB????

=

??????

,

本题亦可很容易求出1

10011

(2)022001AE-??

??-=-

???

?

.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)

【解析】函数1

sin

yxx=只有间断点0x=.001limlimsinxxyxx++

→→=,其中1sinx

是有界函数,而当0x+

→时,x为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以001

limlimsin0xxyxx

++

→→==,故函数没有铅直渐近线.

01sin

1sinlimlim

lim11xxxtxytxt

x

+→+∞→+∞→===令,所以1y=为函数的水平渐近线,所以答案为(A).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yfx=在其间断点0xx=处有0

lim()xxfx→=∞,则

0xx=是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim(),(xfxaa→∞

=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(C)

【解析】题设为求曲面:(,,)0SFxyz=(其中2

2

(,,)4Fxyzzxy=++-)上点P使S

在该点处的法向量nr

与平面2210xyz++-=的法向量{}02,2,1n=平行.

S在(,,)Pxyz处的法向量

{},,2,2,1FFFnxyxyz?????==??????

?,

若0//,nn则0,nnλλ=为常数,即22,22,1xyλλλ===.即1,1xy==.又点(,,)PxyzS∈,所以2

2

22(,)(1,1)

44112xyzxy==--=--=,故求得(1,1,2)P.

因此应选(C).

(3)【答案】(D)

【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,yyyy--为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()ypxyqxyfx'''++=的通解为

1132233()()yCyyCyyy=-+-+,

即1122123(1)yCyCyCCy=++--,故应选D.(4)【答案】(B)

【解析】()Sx是函数()fx先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()Sx是奇函数,于是1

1()()22

SS-=-.

当12x=时,()fx连续,由傅式级数的收敛性定理,21111

()()()2224Sf===.因此,11

()24

S-=-.应选(B).

(5)【答案】(C)

【解析】本题考查||0A=的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.

因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了

||0A=的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.

以3阶矩阵为例,若112123134A??

?

=????

,

条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A=,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.

若123124125A??

?

=????

,则||0A=,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.

这样用排除法可知应选(C).

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求

z

x

??,也可以先求zy??.

方法一：先求z

x

??,由复合函数求导法,

1

212(2)()()2zfxygxgxyfgygxxxx

????

''''''=-++=++????,再对y求偏导,得

21

2(2)2(2)zfgygfxyxyyy

???

'''''=++=-????111222122()()()()gxgxygygxygxyyyyy????????

'''''''''+++++????

????????

11

1222122200fgxggygxyg'''''''''''=-+?+++?+21

2222fxggxyg'''''''=-+++.方法二：先求

z

y

??,1

22(2)()()zfxygxgxyfxgyyyy

????

'''''=-++=-+????,再对x求偏导数,得

222

()zzfxgxyyxx

???

''==-+?????22122(2)()()fxygxgxxgxyxxx

???

''

'''''=--+++???

2

21222fgxgxyg'''''''=-+++.【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)uuxy=和(,)vvxy=在点(,)xy处偏导数存在,函数(,)zfuv=在对应点(,)uv具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]zfuxyvxy=在点

(,)xy处的偏导数存在,且

,zfufvzfufvxuxvxyuyvy

??????????=+=+??????????.(2)【解析】方法一：先求出()x?,再求曲线积分.

设(,),(,)PxyQxy有连续偏导数,在所给的单连通区域D上,

L

PdxQdy+?

与路径无

关,则在D上有

QPxy

??=??,所以()2,yxxy?'=即2

()2,()xxxxC??'==+.由(0)?=0,得

0C=,即2()xx?=,因此

(1,1)(1,1)

(1,1)2222222

(0,0)

(0,0)

(0,0)1()2

Ixydxyxdyxydxyxdyydxxdy?=+=+=+?

?

?(1,1)

(0,0)

(1,1)2222(0,0)11

1()()22

2

dxyxy===?.或取特殊路径如图：

1

1

2220

01L

Ixydxyxdydxydy=+=+???gg

1

201122

y??

==????.方法二：不必求出()x?,选取特殊的路径,取积分路径如图,则

(1,1)

2(0,0)

()Ixydxyxdy?=+?

1

10

11(0)022

ydyxdx?=+=+

=??.(3)【解析】利用三重积分的性质,

Ω关于yz平面对称,x对x为奇函数,所以0xdVΩ

=???,即()xzdVzdVΩΩ

+=??????.

Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z轴、半顶角为

4

π

的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014

π

θπ?ρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,

所以2

cossinIzdVdddρ?ρ?ρ?θΩ

Ω

=

=???????21

13

3440

0000

1

cossin2sin22dddddππ

π

θ???ρρπ??ρρ=

=?

????

1

4

40

011cos2248

π

ππ?ρ????=-?=????????.

四、(本题满分6分.)

【解析】直接展开()fx相对比较麻烦,可()fx'容易展开,

2222

211(1)(1)21

()1(1)(1)(1)11()1xxfxxxxxxx

--+?-'=

?==+--++++-.由20

11(1)(1),(||1)1nn

nnntttttt∞

==-+-+-+=-?

,为简化计算,令0

1cos20xdxkπ-=>?

,即()lnx

fxxke

=-+,

则其导数11

()fxxe

'=

-,令()0fx'=解得唯一驻点xe=,即()0,0()0,fxxe

fxex'>.又因为00lim()lim(ln)lim()lim(ln)xxxxxfxxke

xfxxke++→→→+∞

→+∞?

=-+=-∞????=-+=-∞

??,由连续函数的介值定理知在(0,)e与(,)

e+∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0

ln1cos2xxxdxeπ

=--?在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.

方法二：

20

1cos2sinxdxxdxπ

π

-=?

?

,

因为当0xπ≤≤时,sin0x≥,所以

]200

2sin2sin2cos220xdxxdxxπ

π

π

==-=>?

,

其它同方法一.

七、(本题满分6分.)

【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.

第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上,有

1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ?????????+→--+→--+??????+--+-+??????

MMMMMMMMM.由于方程组有解的充要条件是()()rArA=,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23rArAn==中,求一条曲线L,使沿该曲线从

O到A的积分3(1)(2)L

ydxxydy+++?的值最小.

五、(本题满分8分.)

将函数()2||(11)fxxx=+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

21

1

nn∞

=∑的和.

六、(本题满分7分.)

设函数()fx在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

23

3

()(0)fxdxf=?

,证明在(0,1)内存在

一点c,使()0fc'=.

七、(本题满分8分.)

已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)aα=-+,4(1,2,4,8)aα=+,及

(1,1,3,5)bβ=+.

(1)a、b为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？

(2)a、b为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE+的行列式大于1.

九、(本题满分8分)

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1)若随机变量X服从均值为2,方差为2

σ的正态分布,且{}240.3PX>=?

?其他

,求随机变量2ZXY=+的分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】

3

sincos4ttt

t-

【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果()()

xtytφ?=??

=?,则()

()dytdxt?φ'='.

所以sin2dy

dyt

dtdxdxt

dt

-==

,再对x求导,由复合函数求导法则得

22

sin1

()()22dyddydtdtdxdtdxdxdttt

-=?=?

23

2cos2sin1sincos424tttttt

ttt

-+-=

?=.(2)【答案】2dxdy-

【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1zz==-.将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得

2222

2

2

()02dxyzxyz

+

=++,

再由全微分四则运算法则得

2

2

2

()()xydzydxxdyzxyz

++=++,

令1,0,1xyz===-,得2

dy=

,即2dzdxdy=.(3)【答案】320xyz-++=

【解析】所求平面∏过直线1L,因而过1L上的点(1,2,3)；

因为∏过1L平行于2L,于是∏平行于1L和2L的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l=-r

和向量2(2,1,1)l=r

,且两向量不共线,于是平面∏的方程

12310102

1

1

xyz=,即320xyz-++=.(4)【答案】32

-

【解析】因为当0x→时,11sin,(1)1n

xxxxn

+-::

,当0x→时2

0ax→,所以有

122223

111(1)1,cos1sin,322

axaxxxx+--=--:

:

所以1223

002

1(1)123limlim1cos132

xxax

axaxx→→+-==.因为当0x→时,123

(1)1ax+-与cos1x-是等价无穷小,所以213a-

=,故32

a=-.(5)【答案】120

025

001200

33110033-??

?-???

?

?-

???

.【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.

注意：1

110000

AA

BB????

=

??????,1

110

00ABBA

??

??=??????

.对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：abAcd??

=

???

,则求A的伴随矩阵

*abdbAcdca*

-????==??-????

.

如果0A≠,这样

1

11

abdbdbcdcacaAadbc

??????

==??

???????

.再利用分块矩阵求逆的法则：1

110000

AA

BB??

??

=

??????

,易见1120025

001200

33110033A--??

?-??=?

?

?-

??

?

.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(D)

【解析】由于函数的定义域为0x≠,所以函数的间断点为0x=,

2

2

2

2

11limlim

lim

11

xxxxxxxeeye

e--→→→++===∞--,所以0x=为铅直渐近线,

2

2

2

2

11limlim

lim

111

xxxxxxxeeye

e--→∞

→∞

→∞

++====--,所以1y=为水平渐近线.

所以选(D).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yfx=在其间断点0xx=处有0

lim()xxfx→=∞,则

0xx=是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim(),(xfxaa→∞

=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(B)【解析】令2t

u=

,则2,2tudtdu==,所以20

()ln22()ln22xxtfxfdtfudu??

=+=+???

?

?,

两边对x求导,得()2()fxfx'=,这是一个变量可分离的微分方程,即

[()]

2()

dfxdxfx=.解之得2()x

fxCe=,其中C是常数.

又因为0

(0)2()ln2ln2ffudu=

+=?

,代入2()xfxCe=,得0(0)ln2fCe==,得

ln2C=,即2()ln2xfxe=?.

(3)【答案】(C)【解析】因为

1

12342121

(1)

nnnnnaaaaaaa∞

--=-=-+-++-+∑LL

1234212()()()nnaaaaaa-=-+-++-+LL21

22121

1

1

()nnnnnnna

aaa∞

∞∞

--====

-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),

所以

12211

1

1

(1)523nn

nnnnna

aa∞

∞

∞

--====--=-=∑∑∑.

而

12342121

()()()n

nnna

aaaaaa∞

-==+++++++∑LL

21

22121

1

1

()nnnnnnna

aaa∞

∞∞

--====+=+∑∑∑538=+=,

故应选(C).

(4)【答案】(A)

【解析】如图,将区域D分为1234,,,DDDD四个子区域.显然,12,DD关于y轴对称,34,DD关于x轴对称.

令12cossinD

D

IxydxdyIxydxdy?=

??=??????,

由于xy对x及对y都是奇函数,所以

12

34

0,

0DDDDxydxdyxydxdy++==??

??

.

而cossinxy对x是偶函数,对y是奇函数,故有

34

12

1

cossin0,

cossin2cossinDDDDDxydxdyxydxdyxydxdy++==??

????,

所以1

1

2(cossin)2cossinD

DxyxydxdyI

Ixydxdy+=+=????,

故选(A).

(5)【答案】(D)

【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.

由于A、B、C均为n阶矩阵,且ABCE=,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式

||||||1ABC=,得到0A≠、0B≠、0C≠,知A、B、C均可逆,那么,对于ABCE=,

先左乘1

A-再右乘A有1

ABCEBCABCAE-=→=→=,故应选(D).

其实,对于ABCE=先右乘1

C-再左乘C,有1

ABCEABCCABE-=→=→=.

三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是1∞

型未定式求极限.

1

(cos1)

cos1

lim(cos)lim(1(cos1))xx

xxxxxxππ

++

-?

-→→=+-

令1xt=,则0x+→时0t-

→,所以

1

cos1

00

lim(11))

lim(1)xt

xtxte+

-

-→→+=+=,所以01

(cos1)

(cos1)

(cos1)

lim

cos1

lim(1limxxxxx

xxxxeeπππ→+

+

?

-→→+==.

因为当0x→时,sinxx:,所以

2

20002sin21)lim

limlim2

xxxxxxxxxππππ+++→→→--????===-,

故0(cos1)

lim

2

lim)xxx

xxee

ππ

π→+

--

→==.

(2)【解析】先求方向nr的方向余弦,再求

,,uuu

xyz??????,最后按方向导数的计算公式coscoscosuuuunxyz

αβγ????=++????求出方向导数.曲面2

2

2

236xyz++=在点(1,1,1)P处的法向量为

{}

{}

{}(1,1,1)

4,6,24,6,222,3,1P

xyzxyz±==±,

在点(1,1,1)P处指向外侧,取正号,并单位化得

}}{}222,3,12,3,1cos,cos,cos.14

231

nαβγ=

=

=++r

又22222222

2222

2

2661468688814

6868686814

PPPuxxxzxyzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz?

??==

=

??++??

??===

?

?++???++?===????

,所以方向导数

coscoscosuuuunxyzαβγ????=++????11

147

1414141414=

?+?-?=.(3)【解析】由曲线22,0

yzx?=?=?绕z轴旋转一周而围成的旋转面方程是22

2xyz+=.

于是,Ω是由旋转抛物面2

21()2

zxy=

+与平面4z=所围成.曲面与平面的交线是228,4xyz+==.

选用柱坐标变换,令cos,sin,xryrzzθθ===,于是

:02,04,02zrzθπΩ≤≤≤≤≤≤,

因此22()IxyzdVΩ=++???4

2220

()z

dzdrzrdrπθ=

+?

??

2424

0242rzrrrzdzπ

==??????=+???????

?

4

20

256

43

zdzππ==

?

.

四、(本题满分6分)

【解析】曲线sin,([0,])yaxxπ=∈,则cosdyaxdx=,所以3(1)(2)L

Iydxxydy=

+++?

3

[1(sin)(2sin)cos]axxaxaxdxπ

=+++??

2330

1sin2cossin22aaxaxxxdxπ

??=

+++???

?

2

3

3

sin2cossin22

aa

xdxaxxdxxdxπ

π

π

π=+++

??

?

2

3

2

(cos1)cos2sinsin224

aa

xdxaxdxxdxπ

π

π

π=+-++

?

?

?

[][]23

3000

1coscos2sincoscos234aaxxaxxxxπ

πππ??

=+-+++-????

3

443

aaπ=+

-.对关于a的函数34

43

Iaaπ=+-两边对a求导数,其中0a>,并令0,I'=得

2440Ia'=-=.

所以1a=,且0,01

0,1IaIa'的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为sin,([0,])yxxπ=∈.

五、(本题满分8分.)

【解析】按傅式级数公式,先求()fx的傅式系数na与nb.因()fx为偶函数,所以

1()sin0(1,2,3,)lnlnbfxxdxnllπ

-=

==?L,012()cos()cosllnlnnafxxdxfxxdxllllππ

-==??

111

00022(2)cos4cossinxnxdxnxdxxdnxnππππ=+=+???

122022(cos1)

sin(1,2,3,)nnxdxnnnππππ

-=-==?L,1

00

2(2)5axdx=+=?.

因为()2||fxx=+在区间(11)x-≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以

01()2||cossin2nnnannfxxaxbxllππ

∞=??=+=

++???

∑22152(cos1)

cos2nnnxnπππ∞=-=+∑

2

2

154

1

cos(21)(11)2(21)

nnxxnππ

∞

==---≤≤-∑.令0x=,有2

2

154

1

(0)20cos02(21)nfnπ

∞

==+=--∑,所以,2211(21)8nnπ∞

==-∑.

又2222

21111111111

(21)

(2)(21)4nnnnnnnnn∞

∞

∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑,所以,2213148nnπ∞==∑,即2

21

16nnπ∞

==∑.

六、(本题满分7分.)

【解析】由定积分中值定理可知,对于

1

23

()fxdx?

,在区间2

(,1)3

上存在一点ξ使得

1

23

21

()()(1)()33

fxdxffξξ=-=?

,

即1

23

3

()()(0)fxdxffξ==?

.

由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)ccξ.

方法2：设A的n个特征值是12n,,,.λλλL由于A为n阶正定阵,故特征值全大于0.

由λ为A的特征值可知,存在非零向量α使Aαλα=,两端同时加上α,

得()()1AEαλα+=+.按特征值定义知1λ+是AE+的特征值.因为AE+的特征值是

12111n,,,.λλλ+++L它们全大于1,根据iAλ=∏,知||(1)1iAEλ+=+>∏.

【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数λ及非零的n维列向量X使得AXXλ=成立,则称λ是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.

九、(本题满分8分)

【解析】曲线()yyx=在点(,)Pxy处的法线方程为

1

()YyXxy-=-

-'

(当0y'≠时),它与x轴的交点是(,0)Qxyy'+,从而

122

22

||()(1)PQyyyyy''=+=+.

当0y'=时,有(,0),||QxPQy=,上式仍然成立.因此,根据题意得微分方程

31222

2

1(1)

(1)

yyyy''=

''++,

即2

1yyy'''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x=时,1,0yy'==.

令()yPy'=,则dPyP

dy''=,二阶方程降为一阶方程21dPyPPdy=+,即2

1PdPdy

Py

=+.即21yP=+C为常数.

因为当1x=时,1,0yPy'===,所以1C=,即2211yPy'=+=+所以21yy'=-分离变量得2

1

dxy=±-.

令secyt=,并积分,则上式左端变为

2sectanlnsectantan1

ttdt

ttCt

y==++-?

22lnsecsec1ln1ttCyyC=-+=+-.

因曲线在上半平面,所以210yy+

->,即(2ln1yyCx-=±.

故21xyyCe±-=.

当1x=时,1,y=当x前取+时,1Ce-=,211xyye--=,22

11

2221

11(1)(1)

1

xxyyyyeeyyyyyy=

=

==++-；

当x前取-时,Ce=,211xyye-+-=,22

112221

11(1)(1)

1

xx

yyyyeeyyyyyy=

=

==++-；

所以(1)(1)1()2

xxyee=+.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2

σ,否则应先根据题设条件求出μ,2

σ,再计算有关事件的概率,本题可从

2()0.8σΦ=,通过查()xΦ表求出σ,但是注意到所求概率(0)Px>(即第一象限)没有公共区域,

所以()0Fz=.

当0z>时,2xyz+=在直线20xy+=

的上方与第一象限相交成一个三角形区域D,此即为积分区间.

(2)20

()2()1zxz

z

xyxzzzFzdxedyeedxeze--+==-=--??

?.

所以2ZXY=+的分布函数0,0,

()1,0.zz

zFzezez--)()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与α有关(3)在曲线2

3

,,xtytzt==-=的所有切线中,与平面24xyz++=平行的切线()(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在

(4)设3

2()3||fxxxx=+,则使(0)n

f存在的最高阶数n为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(5)要使12100,121ξξ????????==????????-????

都是线性方程组0Ax=的解,只要系数矩阵A为()(A)()211-(B)201011-??

???

(C)102011-???-??(D)011422011-??

?--??

??

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)求2

11xxx

→--.

(2)设2

2

(sin,)x

zfeyxy=+,其中f具有二阶连续偏导数,求2z

xy

???.

(3)设2

1,0,

(),>0,

xxxfxex-?+≤?=???求31

(2)fxdx-?.

四、(本题满分6分.)

求微分方程323x

yyye-'''+-=的通解.

五、(本题满分8分)

计算曲面积分323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy∑

+++++??,其中∑为上半球面222zaxy=

--.

六、(本题满分7分)

设()0fx''>,有1212()()()fxxfxfx+时收敛；当1p≤时发散.所以有2

2

112nn

α∞

=∑收敛.1

(1)(1cos)nnnα

∞

=?--∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).

注：对于正项级数

1

nna∞

=∑,确定无穷小na关于

1

n

的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B

【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t值.

求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24xyz++=的法向量{}1,2,1n=垂直,即可以让切线与平面平行.

曲线在任意点处的切向量{}{}

2(),(),()1,2,3xtytztttτ'''==-,0nnττ⊥??=,即

31430tt-+=,解得1

1,3

tt==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)

因此,只有两条这种切线,应选(B).(4)【答案】(C)

【解析】因3

3x处处任意阶可导,只需考查2

||()xxx?@

,它是分段函数,0x=是连接点.所以,写成分段函数的形式,有

33,0,(),0,

xxxxx??-??

再考查()x?在连接点0x=处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.

30

(0)()0xx?++

=''==,30

(0)()0(0)0xx??--

='''=-=?=,

即223,0,

()3,0.

xxxxx??-≤?'=?>??

同理可得6,0,

()6,0,

xxxxx?-?(0)0?''=,即6,0()6||6,0xxxxxx?-≤?''==?>?.

对于yx=有(0)1,(0)1.yy+

-''==-所以yx=在0x=不可导,(0)?'''?不存在,应选(C).(5)【答案】(A)

【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax=两个线性无关的解,故

()2nrA-≥.由3n=知()1rA≤.

再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax=,有定理如下:

对矩阵A按列分块,有()12nA,,,ααα=L,则0Ax=的向量形式为

11220nnxxx.ααα+++=L

那么,0Ax=有非零解12n,,,ααα?L线性相关

()12nr,,,nααα?>,要证的不等式是1221()()()(0)fxxfxfxf+-,所以

12211()()()(0)()fxxfxfxffx+-,构造辅助函数

11()()()()xfxfxfxx?=+-+,

则1()()()xfxfxx?'''=-+.由()0,()fxfx'''+>.由此,11()(0)()(0)()0(0)xfxffxx??>=+-=>.改x为2x即得证.

【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()fx满足在闭区间[,]ab上连续,在开区间

(),ab内可导,那么在(),ab内至少有一点()abξξ=?

≤?根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出

2220

()()()()X

x

xxEXe

xe

fxdxxeedx+∞

+∞

∞

+=+=+??

30

14133

xxxedxedx+∞

+∞--=+=+

=?

?.

十一、(本题满分6分)

【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：

首先,因2

(,)XNμσ:,所以X的密度函数为2

2

()()2xXfxμσπσ

--

=

,

因Y服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y的密度函数为11

()()2Yfyπππ

=

=--.

因为随机变量X与Y相互独立,所以二维随机变量(,)XY的联合概率密度为

(,)()()XYfxyfxfy=.要求Z的密度函数,先求Z的分布函数

()()()ZFzPZzPXYz=≤=+≤(,)xyz

fxydxdy+≤=

??

()()XYxyz

fxfydxdy+≤=

??

2

2

()122xxyz

dxdyμσππσ--+≤=??.

2

2

2

2

()()112222xxzy

zy

dydxdydxμμππ

σσπ

π

ππ

πσ

πσ

-

∞

-

-∞

==

??

??

12zydyπ

πμπ

σ??=

Φ???

?(由标准正态分布来表示一般正态分布)求出Z的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z的密度函数为

1

1

()()2ZZzyfzFzdyπ

πμ?π

σ

σ-

--??

'==

???

?其中()x?是标准正态分布的概率分布密度.由于()x?是偶函数,故有

zyyzμμ??σσ--+-????

=

??????

于是111()22Zyzzzfzdyππμπμπμ?π

σσπσσ-+-?+--+-?

??????=

=Φ-Φ???????

?

??????.最终用标准正态分布函数()xΦ表示出来ZXY=+的概率分布密度.方法二：用卷积公式直接计算：

直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Zfz更为简单.因为随机变量X与Y相互独立,由卷积公式

1

()()()2ZXYfzfzyfydyπ

+∞

-∞

=

-?

2

2

2

2

()()11

2222zyzydydyμμπ

π

σσππ

ππ

πσ

πσ

==

??

2

2

()122yzdyμπ

σπ

π

πσ

+--

-

=

?

12yzdyπ

πμπσ-+-??=

Φ???

?112yzdyπ

πμ?π

σσ-+-??

=

???

?1

2zzπμπμπ

σσ?+--+-?????=

Φ-Φ?????

?????.最终用标准正态分布函数()xΦ表示出来ZXY=+的概率分布密度.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)函数1

()(2(0)x

Fxdtxt

=

>?

的单调减少区间为______________.(2)由曲线223212,

0xyz?+=?=?

绕y轴旋转一周得到的旋转面在点3,2)处的指向外侧

的单位法向量为______________.

(3)设函数2

()()fxxxxπππ=+->,证明ba

ab>.

七、(本题满分8分)

已知二次型222

12312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa=+++>,通过正交变换化成标准形222

12325fyyy=++,求参数a及所用的正交变换矩阵.

八、(本题满分6分)

设A是nm?矩阵,B是mn?矩阵,其中nm,所以当x→+∞时,()xfξ'→+∞,故()fx→+∞.由(0)0f,故()fx为严格单调增函数,故η值唯一.证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于

()(0)()(0)(0)x

x

fxfftdtfkdtfkx'=+≥+=+?

?,

以下同方法1.

(2)【解析】先将不等式做恒等变形:

因为bae>>,故原不等式等价于lnlnbaab>或

lnlnab

ab

>

.证法一：令()lnln,()fxxaaxxae=->>,则()lna

fxax

'=-.

因为xae>>,所以ln1,1aax>,即b

a

ab>.证法二：令ln()()xfxxex=

>,则2

1ln()x

fxx-'=

.当(,)xe∈+∞时,()0fx'>使得

lnln()()ba

fbfaba

=

.

七、(本题满分8分)

【解析】写出二次型f的矩阵为2000303Aaa???

=????

,它的特征方程是

222

00

||03

(2)(69)00

3

EAaaa

λλλλλλλ--=

--=--+-=--.

f经正交变换化成标准形222

12

325fyyy=++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A的特征值.

把1λ=代入特性方程,得2

40a-=2a?=±.

因0a>知2a=.这时200032023A??

?

=????

.

对于11λ=,由()0EAx-=,100100022011022000-??????--→????--????

,得1(0,11)T

X=-.

对于22λ=,由(2)0EAx-=,000012012003021000??????--→????--????,得2(1,0,0)T

X=.

对于35λ=,由(5)0EAx-=,300300022011022000??????-→-????-????

,得3(0,1,1)T

X=.

将123,,XXX单位化,得

1230101,0,122101γγγ?????????===??????-????

.故所用的正交变换矩阵为

123010(,,)0220

22Pγγγ?

?

??==

?

.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量12,,,nxxxL的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)

()1211

,,,,nn

nijijijfxxxaxx===∑∑L其中ijjiaa=,

称为n元二次型.令()12,,,T

nxxxx=L,()

ijAa=,则二次型可用矩阵乘法表示为

()12,,,,TnfxxxxAx=L

其中A是对称矩阵()

TAA=,称A为二次型()12,,,nfxxxL的矩阵.

八、(本题满分6分)

【解析】证法一：对B按列分块,记12(,,)nBβββ=L,若

11220nnkkkβββ+++=L,

即1212(,,,)0nnkkkβββ??

??=?

?

??LM,亦即120nkkB

k????=????M.两边左乘A,得120nkkABk????=????M,即12

0nkkEk????=????M,亦即120nkkk????=??

??

M.

所以12,,nβββL线性无关.

证法二：因为B是mn?矩阵,nm,所以21()2dxdydYdtdxdt+=.亦即21()2dydYdxdx

+=.(2)由(1),(2)消去Y,

dYdx

,便得微分方程2

210xyy'''++=.

初始条件显然是(1)0,(1)1yy'-=-=.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.

方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.

设事件iB=“第i次抽出次品”1,2,i=由已知得11210

(),(),1212

PBPB=

=121212

(|),(|)1111

PBBPBB=

=.应用全概率公式1121212211021

()()(|)()(|)121112116

PBPBPBBPBPBB=+=

?+?=.方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.

由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是

21126

=.(2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.

由已知条件,X在区间(0,2)上服从均匀分布,得X的概率密度函数为

1

,02

()2

0,XxFx?,且级数

21

nna∞=∑收敛,则级数2

1

(1)n

nnnλ

∞

=-+∑()

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2

tan(1cos)lim

2ln(12)(1)

xxaxbx