高中数学教案(带答案)集合与常用逻辑用语

-.z.第一章集合与常用逻辑用语本章知识构造图互逆互互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：假设p，则q逆命题：假设q，则p否命题：假设┐p,则┐q逆否命题：假设,则集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的根本关系子集真子集相等集合间的根本运算交集A∩B并集A∪BVenn图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且：p∧q或：p∨q非：┐p一假则假，两真为真一真便真，两假为假补集考纲解读1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的根本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的根本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．命题趋势探究有关集合的高考试题，考察重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考察，并向无限集方向开展，考察学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．预测2020年以后的高考，将继续表达本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：〔1〕以选择题或填空题形式出现．、重庆等地也可能以集合为根底，综合其他知识在最后一题的位置出现．考察学生的综合推理能力．〔2〕热点是集合间的根本运算、数轴法的应用和表达集合的语言工具作用．知识点精讲一、集合的有关概念1．集合的含义与表示*些指定对象的局部或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征〔1〕确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．〔2〕互异性：集合中任何两个元素都是互不一样的，即一样元素在同一个集合中不能重复出现．〔3〕无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．4．常用数集的表示R一实数集Q一有理数集Z一整数集N一自然数集或一正整数集C一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作．2．集合与集合之间的关系〔1〕包含关系．子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．〔2〕相等关系．对于两个集合与，如果，同时，则集合与相等，记作．〔3〕真子集关系．对于两个集合与，假设，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的根本运算集合的根本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．表交集AAB并集AAB补集AAI1．交集由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．2．并集由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．3．补集全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．四、集合运算中常用的结论1．集合中的逻辑关系〔1〕交集的运算性质．，，，，．〔2〕并集的运算性质．，，，，．〔3〕补集的运算性质．，，，．补充性质：．〔4〕结合律与分配律．结合律：．分配律：．〔5〕反演律〔德摩根定律〕．．即"交的补补的并〞，"并的补补的交〞．2．由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．3．容斥原理．题型归纳及思路提示题型1集合的根本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1设，集合，则〔〕A．B．C．D．解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，应选C。变式1〔2012新课标理1〕集合，则中所含元素的个数为〔〕．A．B．C．D．变式2〔2013山东理2〕集合中元素的个数为〔〕．A．B．C．D．变式3假设集合，则，．题型2集合间的根本关系思路提示〔1〕判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这表达了合情推理的思维方法．〔2〕两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．一、集合关系中的判断问题例1.2假设，则，，之间的关系为〔〕．A．B．C．D．解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故．解法二：列举，．因此，应选C．评注：解法一是数学中"求同比异〞的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．变式1设集合，，则A．B．C．D．例1.3设.〔1〕假设，试判断集合与集合的关系；〔2〕假设，求实数组成的集合.分析：〔1〕先求集合，再由求集合，确定与的关系.〔2〕解方程，建立的关系式求，从而确定集合.解析：〔1〕由得或，所以.假设，得，即，所以，故.〔2〕因为，又.①当时，则方程无解，则；②当时，则，由，得，所以或，即或故集合.评注：〔1〕研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.〔2〕含参数的一元一次方程解确实定：当时，方程有唯一实数解；当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当且时，方程无解.变式1集合，集合，假设，求实数的取值范围.二、集合间的关系，求参数的取值范围例1.4〔2012大纲全国理2〕集合，则〔〕A．或B．或C．或D．或解析：由，得，故或且，所以或.应选B.变式1集合，假设，则实数的取值范围是.变式2集合，且，则实数的取值范围是.变式3集合，假设，则的取值范围是〔〕A．B．C．D．三、集合关系中的子集个数问题例1.5集合，则集合的子集个数为.分析：此题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.例1.6集合，满足条件的集合的个数为〔〕A．B．C．D．解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，应选D.变式1集合满足，求集合的个数.题型3集合的运算思路分析但凡遇到集合的运算〔并、交、补〕问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7集合，则〔〕A．B．C．D．分析：在进展集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在此题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域〔数集〕；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域〔数集〕.解析：，，即，所以，应选C.评注：几量遇到集合的运算〔交、并、补〕问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.变式1集合，则〔〕.A．B．C．D．变式2集合，则集合.变式3设全集，集合，则〔〕A．B．C．D．变式4集合，，假设，求实数的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8设集合，则的取值范围是〔〕A．B．C．D．分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.应选A.图1—1变式1〔2012天津理11〕集合，集合，且，则，.变式2全集，集合，则集合〔〕.A.B.C.D.变式3集合，则集合〔〕.A．B．C．D．三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9设为全集，，是两个非空集合，定义与的差集，则〔〕.A．B．C．D．分析：此题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.解析：①当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.②当时，.综上，.应选B.评注：但凡遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.此题也可用举例法求解，比方，根据定义得出所求集合为空集.应选B.变式1设全集，，则〔〕.A．B．C．D．变式2*班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有人．例1.10如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影局部所表示的集合是〔〕A．B．C．D．分析：此题考察对利用韦恩图表述集合关系的理解.解析：图1-3中的阴影局部为与的公共局部，即中去掉属于的那局部元素后剩余元素组成的集合，即，应选B.对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影局部涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集．如图1-4所示分别表示：〔a〕；〔b〕；(c)或.变式1为集合的非空子集，且不相等，假设，则〔〕A．B．C．D．四、以集合为载体的创新题例1.11设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，则称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有个.解析：由孤立元的定义，假设不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为、、、、和，共6个.评注：由的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个.变式1设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，假设是的两个不相交的非空子集，，且，有，，有，则以下结论恒成立的是〔〕A.中至少有一个关于乘法是封闭B.中至多有一个关于乘法是封闭C.中有且只有一个关于乘法是封闭D.中每一个关于乘法是封闭变式2集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.假设对于任意的，总有，则称集合具有性质.〔1〕检验集合与是否具有性质，并对具有性质的集合，写出相应的集合和；〔2〕对任何具有性质的集合，证明：.变式3〔2012江苏23〕变式3设集合，记为同时满足以下条件的集合的个数.①；②假设，则；③假设，则.(1)求；(2)求的解析式(用表示).最有效训练题1〔限时45分钟〕1．设集合，则等于〔〕A．B．C．D．2．假设，则〔〕A．B．C．D．3．设全集.集合，，则如图1-5所示的阴影局部表示的集合是〔〕A．B．C．D．AABU图1—54．全集，集合，并且，则的取值范围是〔〕A．B．C．D．5．设集合.假设，则实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．6．设全集,，则的充要条件是〔〕A．且B．且C．且D．且7．设集合，则实数.8．集合满足条件：当时，总有〔且〕.，则集合中所有元素的积等于.9．集合满足，且.假设，则的取值范围是.10．集合.假设，则实数的取值范围是.11．集合，假设对任意的，求证：.12．集合，对于中的一个子集，假设存在不大于的正整数数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质.〔1〕当时，试判断集合和是否具有性质？请说明理由.〔2〕假设集合具有性质，则集合是否一定具有性质？请说明理由.参考答案第一章集合与常用逻辑用语例1.1变式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因为所以即,B中所含元素的个数为10.应选D例1.1变式2解析：逐个列举可得，时，时，时，根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，应选C例1.1变式3解析：依题意得,故即，因此假设则故因此*=y=1与题意不符；假设则显然与题意不符,故，此时满足题意。例1.2变式1解析集合M中的元素，分子为奇数；集合N中的元素，分子为整数，则MN，应选B.例1.3变式1解析由，得，假设则〔1〕当B=，即时，解得〔2〕当B时，如图1-9所示，由，得，得综上所述，实数的取值范围是评注：由，勿忘B=〔空集是任何集合的子集〕例1.4变式1解析由,如图1-10所示得，故实数的取值范围是评注端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与吻合，假设成立；假设与不吻合，则假设不成立。例1.4变式2解析如图1-11所示，A为，B为，要使，只需，故实数的取值范围是例1.4变式3解析由，得，则，应选C.例1.6变式1解析由知，集合M是集合的任一非空子集与集合的并集，所以集合M的个数为28-1=255评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：结论1：含有n个元素的集合的子集个数为,真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2)结论2设，则有，①满足的集合A的个数是②满足的集合A的个数是-1③满足的集合A的个数是-1④满足的集合A的个数是-2例1.7变式1分析此题考察集合的概念与运算。解析先化简再求交集，由得，故，应选B评注：此题假设无视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合例1.7变式2解析，利用零点分段法解绝对值不等式。当时，;当时,,恒成立；当时,,综上所述,又因为，由根本不等式得,当时取，所以，故例1.7变式3解析解法一：M表示直线y=*+1上除去点〔2,3〕的局部，表示点〔2,3〕和除去直线y=*+1的局部，表示直线y=*+1上的点集，所以表示的点集中仅有点〔2,3〕，即〔2,3〕。解法二：，应选B例1.7变式4分析此题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围。解析解法一：问题等价于方程组在[0,2]上有解，即在[0,2]上有解，令，则由知，抛物线过点(0,1),所以抛物线在[0,2]上与*轴有交点等价于①或②由①得，由②得所以实数的取值范围为解法二：同解法一，问题等价于方程在[0,2]上有解，故可以转化为函数值域问题。等价转化为，当时，方程不成立；当时，方程转化为；当时，函数，即当时原方程有解，由，即所求实数的取值范围为.例1.8变式1解析先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。因为，当时，不符合题意，所以，即，又，所以.例1.8变式2解析,应选D例1.8变式3解析解法一：,所以,得.解法二：.应选D例1.9变式1解析由可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，应选B.例1.9变式2分析此题中的集合关系比拟抽象，可以考虑使用韦恩图求解。解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-人，喜爱足球不喜爱篮球的有人，故有.例1.10变式1解析如图1-13所示，因为，所以，所以，应选A例1.11变式1解析由于，故整数1一定在T,V两个集合中的一个中，不妨设，则，由于，则，即，从而T对乘法封闭；另一方面，当时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对，当时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对，应选A例1.11变式2解析〔1〕因为，故集合不具有性质P，集合具有性质P，其相应的集合S和T是.〔2〕首先，由A中元素构成的有序数对共有个，因为，所以又因为时，，所以当时，，从而集合T中元素的个数最多为,即.例1.11变式3解析〔1〕当n=4时，，满足条件的集合A有。所以.〔2〕解法一：任取偶数，则必有奇数，使得。假设，则，即为偶数，为奇数；假设，则，即为奇数，为偶数。所以，任意偶数是否属于集合A，完全由奇数确定。设集合是由集合中所有奇数组成的集合，则等于集合的子集个数，即。解法二：易得,当为奇数时，集合中满足条件的集合A有个,对于集合，考虑元素n，因为n为奇数，所以均可，故.即，叠乘得.当为偶数时，集合中满足条件的集合A有个。对于集合