专题09 分式方程

专题式方程【维图【识点知点：式基概：般地，如果AB示两个整数，并且B中含有字母那么式子做分式A为子B为母。与式关条：要

表分式有意义分式无意义分式值为

分母≠0分母=分子为且母不为

分式值为正或大于0分式值为负或小于0分式值为分式值为1

分子分母同号分子分母异号分子分母值相等分子分母值互为相反数

①A>0,B>0A<0,B<0A=BA+B=0知点：式运（点基性（础分式的子和分母同乘（或除以一个不等于的整式，分式的值不变。字母表示：

其中AB、C整式C。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意个限制条件和隐含条件B。

分的分约的义根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母公式约去。最公的义分与分母没有公因式的分式。分约步：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式整式。注：1.约分前后分式的值要相.2.约分的关键是确定分式的分子分母的公因.3.约分是对分子、分母的整体进的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式

分的分通的义据分式的基本性质，把几异母分式分化成与原来分相的同母式，叫分式的通分。最公母定：各分母所有因式的最高次幂的作分母，这样的公分母叫做最简公分母。

分通的键：确定最简公分母确分的简分的法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小倍数；3.字母：各分母的所有字母的最次幂4.多项式：各分母所有多项式因的最高次幂5.积约与分相点分的则算分的方）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：除的分子、分母颠倒位后，与被除式相乘。式子表示为）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子注：1.分式乘方要把分子、分母分别方。2.分式乘方时，要首先确定乘方果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为）整式与分式加减：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为的分式，再通分。分式混合运算的运算运算顺序：

1.先把除法统一成乘法运算；➢➢➢➢➢

2.分子、分母中能分解因式的多式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.整指幂）➢➢

任何不等于零于1）其中，为整数。

科记法有了负整数指数幂后，小于的数也可以用学记数法表示。即小于的正数可以科学记数法表示为a×10-n形.(110，n是正整数注：）≤︱︱＜）是正数n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个。包小点前面的）知点分式程解式程基1）去分母两同乘最简公分母约去分母，化成整式方)

2）解整式方程去括号移项/合同类-数化为1)。3）检验把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，x=a不是式方程的解若最简公分母不为0，则x=a是式方程的解4）写出答案增的念在分式方程化为整式方程的过程时整式方程的根使最简公分为即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0），那么个根叫做原分式方程的增根。分方解实问的骤根题意找等量关系设知数列方程解程，并验根（对解分式方程尤为重要）写案【查型考题一分式有义条【题路函数自变量的范围一般从三个方面考虑）当函数表达式是整式，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分的分母不能）函数表达式是二次根式时，被开方数非负．典例四川遂宁市

中考真题）函数y＝

中，自变量x的值范围是（）A＞﹣2

B≥﹣2

C．＞﹣2且x≠1

D．x≥2且≠1【答案】D【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0分母不为0，列不等式组可求得自变量x的值范围．

【详解】根据题意得：，得：x﹣2且x≠．选D．x变式1-1湖北黄石

中考真题）函数

x

的自变量x取值范围是（）A

x

，且

B

x

C．

D．，

【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【详解】依题意可得≠0x-解

x

，且

故选A．变式1-2甘肃中考真题）使得式子

4

有意义的x的值围（

）．x≥4B＞4C≤4D．x＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：使得式子

4

有意义，则4＞0解得：x＜4即x的值范围是：x＜选D．考题二分式值0的条【题路分值为0的件是分子为0分母不为0是题的关键典例四川雅安市中真）若分式

1

的值为0则值为（

）A0B1C﹣1D．±1【答案】B【分析】根据分式值为条件，分子为母不为0列进行计算即可得.【详解】∵分式

xx

的值为零，∴，得x=1故选B．x变式2-1贵州贵阳

中考真题）当x时，下列分式没意义的是（）A

B

xx

C．

xx

D．

xx【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即.

【详解】

xx

当时,

分母为零

分式无意义故选B.变式2-2山东聊城

中考真题）如果分式

x

的值为，那么的为（）A1

B1C1或1D．或0【答案】B【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的．【详解】根据题意，得且x+1解得．故选B．考题三分式求【题路熟掌分的质解的键xyxy典例武汉模拟）若＝，则的是（）A5

B4C3D．【答案】A【分析】设x＝3，＝k，然后分别代入原式即可出答案．【详解】解：∵

xy＝，∴设x＝3k，y＝2k，∴

3k＝＝＝5故选A3k变式3-1江苏无锡

九年级零模）若取数，则使分式

xx

的值为整数的值（）A3个

B．4个

C．

D．【答案】B【分析先分式转化为【详解】

则原式的值是整数可化讨论的整数值有几个的问题．xxxx2

当

x或或，

x

是整数，即原式是整数．当

2

或时的不是整数，当等于

或满足条件．故使分式故选B．

xx

的值为整数的值4个，是2和

变式3-2湖北孝感

）使分式

x

的值为整数的所有整数x的是（）A【答案】D

B0C1D．【分析】由整除的性质知：

2

是

的约数可得答案．【详解】解：因为

x

的值是整数，则

2x是的约数所以

x

，由因为x整数，所以：所以：它们的和为2．

xx0,x

，故选D．考题四探索分的本质【题路熟掌分的质解的键典例河北中考真题）若a不等于b，则下分式化简正确的是（）A

ab

B

ab

C．

ab

22

ab

D．

1212

ab

ab【答案】D【分析】根据≠b可以判断各个选项中的式子是否正确，从可以解答本题．【详解】∵≠，∴

aabb

，选项A错；aabb

，选项B错；ab

22

ab

，选项误；1212

ab

ab

，选项D正确；故选D．变式4-12020·河北邯郸市模拟将式

yy

中的xy值同时扩大为原来的则分式的（

）A扩大倍

B扩大9倍

C．变

D．大【答案】B【分析】将原式中的x、y分用、3y代，化简，再与原分式进行比较．

【详解】解：∵把分式

yy

中的xy同时扩大为原来的倍27x2y92yx∴原式变为：＝＝9×，yxy∴这个分式的值扩大9倍故选：．变式4-2江苏淮安市三模）若

1=，的为（）4A．5

B

15

C．3

D．

13【答案】A【解析】因为

=，4所以得a=5b，所以

＝b

故选A.变式4-3山东烟台市期末）分式

可变形为（）A

1

B

1

C．

D．

1x【答案】D【分析】根据分式的性质逐项进行化简即可，注意负号的作用．【详解】

111=1)x故选项、BC错误，选项D正，故选：D．变式4-4河北模拟）eq\o\ac(△,)三的长度都扩为原来的倍则锐角A正弦函数值（）A不变

B缩小为原来的

C．大为原来的3倍D．不能确定【答案】A【解析】锐角三角函数的定义．【分析】因eq\o\ac(△,)ABC三的长度都扩大为原来的3倍得的三角形与原三角相似，所以锐角A的小没

2222改变，所以锐角A的弦函数值也不变．故选A考题五分式的算典例山东威海市

中考真题）分式

aa21

化简后的结果为（）A

aa

B

C．

D．

a2a2【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同母分式相加减的法则计算．【详解】解：21aaa故选：．变式5-1天津中考真题）计算

1(x2(

的结果是（）A

1

B

1(x2

C．D．

【答案】A【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．【详解】1x(x(x(

，

因为

x

，故

1=(x2

．故选：A．【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平公式作为解题工具．变式5-2湖北随州中真题）

2xx

的计算结果为（）A

xx

B

2x

C．

xx

D．

2xx2)【答案】B【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．【详解】x

2

2=

21(x2)(x(x=

·x=

2x

．故选：．变式5-32020·四攀枝花市

中考真题）中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪年1月12日世界卫生组织正式将2019新型状病毒名为

．该病毒的直径在.00000008米-.000000012米，将0000000012用学计数法表示为a10

的形式，则为A

B

C．D．【答案】A【分析绝值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为，较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂由原数左边起第一个不为零的数字前面的的数所决定．【详解】解：用学计数法表示为1.2×-8，∴n=-8，

故选A.变式5-4山滨州市

中考真题）冠状病毒的直径约为～纳，米＝1.0米，若用科学记数法表示110纳，正确的结果是（）A米

B1.1米

C．米

D．1.1米【答案】C【分析绝值小于正数也可以利用科学记数法表示一形为a×10与大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．【详解】解：110纳=110×10

米1.1×10

-7

米．故选：．考题六解分式程【题路熟掌握解分式方程的步是解决此类问题的关键典例黑龙江哈尔滨市中真题）方程

1xx

的解是（）A

x

B

x

C．

D．x【答案】D【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项方法，进行求解．【详解】解：方程可化简为22x经检验故选D

是原方程的解变式6-1四川甘孜藏族自治州

中考真题）分式方程

x

的解为（）A

B

C．

x

D．

【答案】D【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．

【详解】解：方程变形得

x

方程的两边同乘x-1）得3=x-1.解得x=4.经检验，是方程的解．故选：D．变式6-2四川南充中真题）若

1x

，则x的是（）A4

B

14

C．

14

D．【答案】C【分析】根据解分式方程即可求得x的．【详解】解：

1

，去分母得

，∴x

14

，经检验，

14

是原方程的解故选：．考题七分式方的【题路熟掌握解分式方程的一步骤及注意事项是解题的关注在任何时候都要考虑母不为典例肃兰州中真题于的分式方程

x

的解为负数的值范围是

()A

B

C．且a

D．a且a【答案】D【分析分式方程去分母转化为式方程表示出整式方程的解根据分式方程解为负数列出关a不等式，求出不等式的解集即可确定出a的围．【详解】分式方程去分母得：

x，x

，因为分式方程解为负数，所以

，且

，解得：

且

2

，故选D．变式7-1重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组

的解集为x且关于

的分式方程

yay2

有非负整数解，则符合条件的所有整数和为（）A-1

B-2C．D0【答案】B【分析】首先由不等式组的解集为≥5，＜3然后由分式方程有非负整数解，得a-2a≠2的数，即可得解【详解】由题意，得2x

，即

≥5x

，即x＞∴

5，yay2

，解得

有非负整数解，即

y

∴a-2且a∴

且a2∴符合条件的所有整数数有：，-1,0,1变式7-2四成都中真题已知是分式方程

xx

的解那么实数k的值

）A3B4C5D．【答案】B【分析】将

x

代入原方程，即可求出

值．【详解】解：将x代入程k2解得：．

xx

中，得故选：．变式7-3四川遂宁

中考真题）关于的式方程

﹣x

＝1有根，则m的（）Am2B．＝Cm3D．m﹣3【答案】D

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的即可．【详解】解：去分母得：+3﹣，由分式方程有增根，得到x﹣＝0即＝2，把x＝2代入整式方程得+30，解得：＝3故选：D．考题八列分式程【题路找中量系典例湖南长沙市中真）随着5G络技术的发展，市场对产的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产0万产品，现在生产500万产品所需的时间与更新技术前生产400万产品所需时间相同新技术前每天生产x万，依据题意得（）A

x

B

x30

C．

x

D．

x30【答案】B【分析】设更新技术前每天生产x万产品，则更新技术后每天生产x+30）万件产，根据工作时=工作总量÷工作效率，再结合现在生产万件产品需时间与更新技术前生产万产品所需时间相同，即可得出关于x的式程．【详解】解：设更新技术前每天生产x万产品，则更技术后每天生产x+30）万件产品，依题意，得：x30

．故选B变式8-1辽本溪中真题着快递业务的增加快公司为递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件高到4200件平均每人每周比原来多投递80，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题可列方程为（）AC．

xx

B．D．

xx80【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件件则现在平均每人每周投递快件+80件，根据人=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的式方程此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件则现在平均每人每周递快件）件，根据快递公司

的快递员人数不变列出方程，得：故选：D．

x

，变式8-22020·辽朝阳市

中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球如果给每个人一个毽球就只能按零售价付款共80元如小明多购买毽球，就可以享受批发价，总价是元．已知按零售价购买个球与按批发价购买个球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有名生，依据题列方程得（）A

50

x

B．

xC．

40xx

D．

5040xx【答案】B【分析据按零售价购买个球与按批发价购买50个球付款相同”建等量关系别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有名生，依据题意列方程得，

x故选：．考题九利用分方解实问典例2020·贵州黔西南布依族苗族自治州

中考真题“节环保，绿色出意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售额将比去年减少，求：（1）型行车去年每辆售价多少元（2）该车行今年计划新进一批A型和新款B型共辆，且B型的进货数量不超过A型数量的两倍．已知，A型和B车的进货价格分别为元1800，计划B型销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1)元）A型车辆B型辆【分析】（1设年A型每辆售价x元则年价每辆（﹣元由卖出的数量相同出方程求解即可；（2）设今年新进A车a辆则B型（60﹣）辆，获利y元由条件表示出y与a间的关系式，由的取值范围就可以求出y的大值．

最大最大【详解】解）去A型每辆售价x元则今年售价每辆为﹣200）元，题意，得8000080000(110%)x200

，解得：x=2000．经检验，是方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元（2）设今年新进A型辆则车（﹣），获利y元由题意，得y=a+（60﹣y=﹣．∵B车的进货数量不超过A型数量的两倍，∴60a，∴≥20．∵﹣300a+36000．∴k=＜，∴y随a的大而减小．∴a=20，y

元∴B车的数量为﹣辆．∴当新进A车，型40辆，这批车获利最大．变式9-12020·广中考真题）某社区拟建A两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个类位占地面积多平米建A类摊位每平方米的费用为40元建摊位每平方米的费用为30元，用60平米建类摊位的个数恰好是用同样面积建B摊位个数的

．（1）求每个，B类位占地面积各为多少方米？（2）该社拟建，两类摊位共个且B摊位的数量不少于A摊位数量的倍求建造这个位的最大费用．【答案）方米方米（）10520元【分析）A摊位占地面积平米，则B类占地面积类的倍数关系列式即可；

平方米，根据同等面积建立A类和B（2设建类摊位个则

(90)

个，设费用为

，由（1）得A类B类位的建设费用，列出

总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．【详解】解）每类摊位占地面积平米，则类地面积3由题意得x5

平方米解得

x

，∴

，经检验

为分式方程的解∴每个A类摊位占地面积方米，B类地面积3平米（2）设建类摊位

个，则B类

)

个，费用为

∵∴

3(90)022.540)110

，∵，∴z随a的增大而增大，又∵为数，∴当

22

时z有大值，此时10520∴建造个位的最大费用为10520元变式9-2浙中考真题）某企业承接了27000件品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共5名工人，合作生产完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件乙车间每人每天生产30件（1）求甲、乙两个车间各有多少名工参与生?（2）为了提前完成生产任务，该企业计了两种方案：方案一甲车间租用先进生产设，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．方案二乙车间再临时招聘若干工人（工作效率与原工人相同车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元租用期间另需一次性支付运输等费用元乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开？请说明理由．

【答案）车间有名工人参与生产，乙车间各有名人参与生产）乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．【分析】（1）设甲、乙两车间各有xy人根据甲、乙两车间共有5和甲、乙两车间20天生产零件总数之和为个列方程组，解方程组即可解决问题；（2）①设方案二中乙车间需临时招聘