鼓楼区2018九年级上学期期中数学

鼓楼区2018九年级上学期期中数学鼓楼区2018九年级上学期期中数学鼓楼区2018九年级上学期期中数学2021-2021学年江苏省南京市鼓楼区九年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔每题2分，共12分〕1．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕以下方程中是一元二次方程的是〔〕A．2x﹣1=3B．x2+x﹣1=0C．x2+y=5D．ax2+bx+c=0．〔分〕〔2021秋鼓楼区期中〕一元二次方程2﹣6x+9=0的根的状况〔〕22?xA．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根3．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图所示，那么以下结论正确的选项是〔〕A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜04．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕以下命题正确的选项是〔〕A．平面上三个点确立一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个极点必定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线5．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°6．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，可以与该弧所在的圆相切的是〔〕第1页〔共24页〕A．〔0，3〕B．〔1，3〕C．〔2，3〕D．〔4，3〕二、填空题〔每题2分，共20分〕7〔．2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为．8．〔2分〕〔1997?陕西〕设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，那么〔x1+x2〕2﹣x1x2=．9．〔2分〕〔2021秋?句容市期中〕圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，那么这条弧的长为．10．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所获得的函数图象对应的二次函数表达式为．11．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某公司2021年末缴税400万元，2021年末缴税484万元，设这两年该公司缴税额年均匀增添率为x，依据题意可列方程．12．〔2分〕〔2021秋?淮安期末〕如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，那么∠BCD=°．13．〔2分〕〔2021秋?玄武区期末〕圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，那么这个圆锥的侧面积是．14．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，假定∠P=50°，那么∠ACB=°．第2页〔共24页〕15．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，那么弦CD的长为．16．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y=ax2+bx+c〔a、b、c是常数，且a≠0〕中的x与y的局部对应值以下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8那么以下结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有．三、解答题〔本题10个小题，总分值88分〕17．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕解以下方程：1〕x2﹣3x+2=02〕x〔x+1〕﹣2〔x+1〕=0．18．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕对于x的方程x2+2mx+m2﹣1=01〕求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；2〕假定方程有一个根为1，求m2+2m+2021的值．19．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．第3页〔共24页〕20．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，以下列图，生物园的一面靠墙〔墙有足够长〕，面积为30m2．〔1〕设垂直于墙的边长为xm，那么平行于墙的一边为m〔用含x的代数式表示〕；〔2〕求〔1〕中x的值．21．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点〔1，﹣3〕和点〔﹣1，3〕，求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．22．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD均分∠CAE．求证：DB=DC．23．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某商场某种品牌鞋子均匀每日可销售20双，每双盈余44元，假定每双降价1元，那么均匀每日可多销售5双，假如每日要盈余1600元，那么每双应降价多少元？24．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的均分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；第4页〔共24页〕〔2〕假定AD=1，∠A=45°，求暗影局部的面积．25．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕△ABC，∠C=90°．1〕用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切〔不写作法，保留作图印迹〕．2〕假定AC=4，BC=3，求〔1〕中半圆的半径．26．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y1=ax2﹣2x﹣3〔a≠0〕的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．1〕求出该二次函数的表达式和图象的极点坐标；2〕填写下边的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；3〕当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1?y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣101234y1第5页〔共24页〕第6页〔共24页〕2021-2021学年江苏省南京市鼓楼区九年级〔上〕期中数学试卷参照答案与试题分析一、选择题〔每题2分，共12分〕1．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕以下方程中是一元二次方程的是〔〕A．2x﹣1=3B．x2+x﹣1=0C．x2+y=5D．ax2+bx+c=0【剖析】依据一元二次方程一定同时知足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中假如有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行剖析即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；应选：B．【评论】本题主要考察了一元二次方程的定义，重点是掌握判断一个方程是不是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后〞；“一个未知数〞；“未知数的最高次数是2〞；“二次项的系数不等于0〞；“整式方程〞．．〔分〕〔2021秋鼓楼区期中〕一元二次方程2﹣6x+9=0的根的状况〔〕22?xA．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根【剖析】依据根的鉴别式即可求出答案．【解答】解：△=36﹣4×9=0，∴该方程有两个相等的实数根，应选：D．【评论】本题考察根的鉴别式，解题的重点是娴熟运用根的鉴别式，本题属于基础题型．第7页〔共24页〕3．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图所示，那么以下结论正确的选项是〔〕A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜0【剖析】A、由抛物线的张口向下，可得出a＜0，结论A错误；B、由抛物线与y轴的交点地点，可得出c＞0，结论B错误；C、由当x=1时y＞0，可得出a+b+c＞0，结论C正确；D、由a＜0及﹣＞0，可得出b＜0，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵抛物线张口向下，∴a＜0，结论A错误；B、∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，结论B错误；C、∵当x=1时，y＞0，a+b+c＞0，结论C正确；D、∵抛物线的对称轴在y轴右边，且a＜0，∴﹣＞0，b＜0，结论D错误．应选：C．【评论】本题考察了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特点，察看函数图象，逐个剖析四个选项的正误是解题的重点．4．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕以下命题正确的选项是〔〕A．平面上三个点确立一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个极点必定在同一个圆上第8页〔共24页〕D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线【剖析】剖析能否为真命题，需要分别剖析各题设能否能推出结论，从而利用清除法得出答案．【解答】解：A、平面上不在同向来线上的三个点确立一个圆，因此A选项错误；B、三角形的外心到三个极点的距离相等，因此B选项错误；C、矩形的四个极点必定在同一个圆上，因此C选项正确；D、经过半径的外端而且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，因此D选项错误．应选：C．【评论】主要考察命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假重点是要熟习课本中的性质定理．5．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°【剖析】依据弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，依据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：∵弧AB的度数为60°，∴∠AOB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°．OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，应选：A．【评论】本题考察了圆周角定理，利用了弧的度数等于圆心角的度数和邻补角定义求解．第9页〔共24页〕6．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，可以与该弧所在的圆相切的是〔〕A．〔0，3〕B．〔1，3〕C．〔2，3〕D．〔4，3〕【剖析】依据垂径定理的性质得出圆心所在地点，再依据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的地点即可．【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点构成的圆的圆心为：O〔2，0〕，∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：〔5，1〕或〔1，3〕，∴点B与以下格点的连线中，可以与该圆弧相切的是：〔5，1〕或〔1，3〕．应选：B．【评论】本题主要考察了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的重点．二、填空题〔每题2分，共20分〕7．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为x2+x2=0．【剖析】把2移到等号左侧即可．第10页〔共24页〕【解答】解：x2+x=2，x2+x﹣2=0，故答案为：x2+x﹣2=0．【评论】本题主要考察了一元二次方程的一般形式，任何一个对于x的一元二次方程经过整理，都能化成以下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕．这类形式叫一元二次方程的一般形式．此中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．8．〔2分〕〔1997?陕西〕设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，那么〔x1+x2〕2﹣x1x2=73．【剖析】由根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入所求式子上当算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72，那么〔x1+x2〕2﹣x1x2=1+72=73．故答案为：73【评论】本题考察了根与系数的关系，娴熟掌握根与系数的关系是解本题的重点．9．〔2分〕〔2021秋?句容市期中〕圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，那么这条弧的长为2π．【剖析】利用弧长的计算公式计算即可．【解答】解：l==2π，故答案为2π．【评论】本题考察了弧长公式：l=〔弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r〕．熟记公式是解题的重点．10．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所获得的函数图象对应的二次函数表达式为y=3〔x+2〕2﹣1．第11页〔共24页〕【剖析】利用二次函数平移规律从而求出即可．【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3〔x+2〕2﹣1．故答案为：y=3〔x+2〕2﹣1．【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换：因为抛物线平移后的形状不变，a不变，因此求平移后的抛物线分析式往常可利用两种方法：一是求出原抛物线上随意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出分析式；二是只考虑平移后的极点坐标，即可求出分析式．11．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某公司2021年末缴税400万元，2021年末缴税484万元，设这两年该公司缴税额年均匀增添率为x，依据题意可列方程400〔1+x〕2=484．【剖析】利用增添率模型即可列出方程．【解答】解：2021年末缴税400万元，2021年末缴税484万元，∴设年均匀增添率为x，那么可列出方程为400〔1+x〕2=484，故答案为：400〔1+x〕2=484．【评论】本题主要考察一元二次方程的应用，掌握增添率模型是解题的重点，即a〔1±x〕2=b．12．〔2分〕〔2021秋?淮安期末〕如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，那么∠BCD=130°．【剖析】先依据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD=100°，第12页〔共24页〕∴∠A=50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣50°=130°．故答案为：130．【评论】本题考察的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答本题的重点．13．〔2分〕〔2021秋?玄武区期末〕圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，那么这个圆锥的侧面积是2．60πcm【剖析】依据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，由勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10cm，2∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=×π6×10=60πcm2故答案为：60πcm．【评论】本题考察了圆锥的侧面积的求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的重点．14．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，假定∠P=50°，那么∠ACB=65°．【剖析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，依据四边形内角和，求出∠AOB，再依据圆周角定理即可求∠ACB的度数．【解答】解：PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°．第13页〔共24页〕∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65．【评论】本题主要考察的是切线的性质，解决本题的重点是连结BC、OB，利用直径对的圆周角是直角，切线的性质，圆周角定理解答．15．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，那么弦CD的长为8．【剖析】如图，连结OC；第一证明CE=DE；其次运用勾股定理求出CE的长，即可解决问题．【解答】解：如图，连结OC；∵直径AB=10，BE=2，OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，CE=DE；由勾股定理得：CE==4，CD=2CE=8．故答案为8．【评论】该题主要考察了勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的重点是作协助线，灵巧运用勾股定理、垂径定理等几何知识点来剖析、判断、求解．16．〔2分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕二次函数y=ax2+bx+c〔a、b、c是常数，且a≠0〕中的x与y的局部对应值以下表所示：x﹣2﹣10123第14页〔共24页〕y70﹣5﹣8﹣9﹣8那么以下结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有①③．【剖析】依据表格中的数据确立出抛物线的极点坐标公式，张口方向，以及增减性，判断即可．【解答】解：由表格中的数据可得：极点坐标为〔2，﹣9〕，与x轴一个交点坐标为〔﹣1，0〕，∴抛物线张口向上，与x轴另一个交点为〔5，0〕；x=﹣2或6时，y=7；x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，获得x＜1时，y＞﹣8；正确的有：①③故答案为：①③【评论】本题考察了抛物线与x轴的交点，娴熟掌握二次函数的图象与性质是解本题的重点．三、解答题〔本题10个小题，总分值88分〕17．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕解以下方程：1〕x2﹣3x+2=02〕x〔x+1〕﹣2〔x+1〕=0．【剖析】〔1〕依据十字相乘法解方程即可求解；2〕先提取公因式〔x+1〕，依据因式分解法解方程即可求解．【解答】解：〔1〕x2﹣3x+2=0，x﹣1〕〔x﹣2〕=0，解得x1=1，x2=2；2〕x〔x+1〕﹣2〔x+1〕=0，x﹣2〕〔x+1〕=0，解得x1=2，x2=﹣1．第15页〔共24页〕【评论】本题考察认识方程的方法﹣配方法、公式法、因式分解法，娴熟掌握解方程的三种方法是解题的重点．18．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕对于x的方程x2+2mx+m2﹣1=01〕求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；2〕假定方程有一个根为1，求m2+2m+2021的值．【剖析】〔1〕依据方程的系数联合根的鉴别式，可得出△=4＞0，由此可证出：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；2〕代入x=1可得出m2+2m=0，将其代入m2+2m+2021中即可求出结论．【解答】〔1〕证明：∵△=〔2m〕2﹣4〔m2﹣1〕=4＞0，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；2〕当x=1时，m2+2m=0，m2+2m+2021=0+2021=2021．【评论】本题考察了根的鉴别式以及一元二次方程的解，解题的重点是：〔1〕切记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根〞；〔2〕代入x=1找出m2+2m=0．19．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．【剖析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE=BE，再由垂径定理可知CE=DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，第16页〔共24页〕OA=OB，∴AE=BE，又∵在⊙O中，∴CE=DE，∴AC=BD．【评论】本题考察的是垂径定理，依据题意作出协助线，利用垂径定理求解是解答本题的重点．20．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，以下列图，生物园的一面靠墙〔墙有足够长〕，面积为30m2．〔1〕设垂直于墙的边长为xm，那么平行于墙的一边为16﹣2xm〔用含x的代数式表示〕；〔2〕求〔1〕中x的值．【剖析】〔1〕由篱笆的长度联合垂直于墙的边长为xm，即可求出平行于墙的一边的长度；〔2〕依据长方形的面积公式联合生物园的面积为30m2，即可得出对于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为〔16﹣2x〕m．故答案为：16﹣2x．2〕依据题意得：x〔16﹣2x〕=30，整理，得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．答：x的值为3或5．【评论】本题考察了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的重点是：〔1〕依据篱笆的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；〔2〕依据长方形的第17页〔共24页〕面积公式列出一元二次方程．．〔分〕〔2021秋鼓楼区期中〕二次函数2+bx﹣2的图象经过点〔1，218?y=ax﹣3〕和点〔﹣1，3〕，求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．【剖析】把两点坐标代入二次函数分析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点〔1，﹣3〕和点〔﹣1，3〕，∴，解得：，所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即〔2x+1〕〔x﹣2〕=0，解得：x1=﹣，x2=2．【评论】本题考察了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的鉴别式有关：根的鉴别式大于0，有两个交点；根的鉴别式大于0，没有交点；根的鉴别式等于0，有一个交点．22．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD均分∠CAE．求证：DB=DC．【剖析】由同弧所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠DBC，联合角均分线的性质可得出∠EAD=∠DBC，依据圆内接四边形的性质可得出∠EAD=∠BCD，从而可得出DBC=∠DCB，再依据“等角平等边〞即可证出DB=DC．【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC．AD均分∠CAE，第18页〔共24页〕∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，DB=DC．【评论】本题考察了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及角均分线的性质，依据圆内接四边形的性质联合角均分线的性质，找出∠DBC=∠DCB是解题的重点．23．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕某商场某种品牌鞋子均匀每日可销售20双，每双盈余44元，假定每双降价1元，那么均匀每日可多销售5双，假如每日要盈余1600元，那么每双应降价多少元？【剖析】等量关系为：〔44﹣降价的价格〕×〔20+降价后增添的双数〕=1600，把有关数值代入即可求解．【解答】解：设每双应降价x元．44﹣x〕×〔20+5x〕=1600，解得x1=4，x2=36．答：每双应降价4元或36元．【评论】找到收益的等量关系是解决本题的重点；难点是获得降价后一共卖出的量．24．〔10分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的均分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．1〕求证：AC是⊙O的切线；2〕假定AD=1，∠A=45°，求暗影局部的面积．第19页〔共24页〕【剖析】〔1〕欲证AC是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD即可；2〕先得出△OAD是等腰直角三角形，再利用暗影局部的面积等于△OAD的面积减去扇形ODE的面积解答即可．【解答】〔1〕证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB〔等角平等边〕；∵BD均分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC〔等量代换〕，∴OD∥BC〔内错角相等，两直线平行〕；又∵∠C=90°〔〕，∴∠ADO=90°〔两直线平行，同位角相等〕，∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；2〕∵AC⊥OD，∠A=45°，∴△OAD是等腰直角三角形，∵AD=1，∴△OAD的面积=．∵∠DOE=45°，∴扇形ODE的面积=，∴暗影局部的面积=．【评论】本题综合考察了切线的判断、平行线截线段成比率等知识点．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连结圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．25．〔8分〕〔2021秋?鼓楼区期中〕△ABC，∠C=90°．1〕用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切〔不写作法，保留作图印迹〕．2〕假定AC=4，BC=3，求〔1〕中半圆的半径．第20页〔共24页〕【剖析】〔1〕先作∠B的角均分线与AC的交点为O，以O为圆心，OC为半径画半圆即可；由∠ACB=90°获得OC⊥CB且OC=r，BC与半圆O相切，再过点O作OD垂直于AB交AB于点D，因为OB均分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，因此OD=OC=r且OD⊥AB，从而证得AB与半圆O相切；〔2〕先设半圆的半径为r，半圆O与AB相切于点D，获得OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，再在△ADO和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，证得△ADO∽△ACB，利用相像三角形的性