函数极限保号性质及其应用

函数极限保号性质及其应用函数极限除唯一性、局部有界性、迫敛性和四则运算外，还有两保证函数在局部成前者的推论。具体叙述如下：定理（局部保号性）若[limx→af（x）=A0]，则[∃δ0]，当[x∈u0（a，δ）]时，有：1.[f（x）0].[∀（，，（）。推论1若f（∃，当[x∈u0（a，δ）]时，有：[f（x）g（x）]。2若∃δ0]，当[x∈u0（a，δ）]时，[f（x）g（x）]，则[A≥B]。分研究函数的其他性质方面有着广泛的应用，下举例说明。证明达布定理及其推论例1（达布定理）若函数[f]在[[a，b]]上可导，且[f′+（a）≠f′_为介于与之间的任一实数，则至少存在一点[ξ∈（a，b）]，使得[f′（ξ）=k]。证明作辅助函数不妨设<f′_（b）]。></f′_（b）]。> </k>由[f′+（a）<k]得：[f′+（a）> 0]即：[limx→a+F（x）-F（a）x-a0] </k]得：[f′+（a）>由函数极限的局部保号性得：∃[∀（，，有（-（）即当]同理可知：[δ20，使得当x∈（b-δ2，b）时，有F（x）<f（b）]（2）<p></f（b）]>在上连续从而有最大值与最小值。而式、式）（内的一点处取得最小值从而，即[f′（ξ）=k]。得证。注1极限值与零之间的大小比较是利用保号性质的先决条件。很自然就想到利用保号性质将极限与零的大小转化为求极限的式子保号的意义所在。2若函数在与f′_（b）可仿此证明，此处不再赘述。在判定函数的极值方面例2设函数[f]有二阶连续导数，且[limx→0f（x）-21-cosx=0]，[limx→0f″（x）ln（1+x2）=1]，则：[f（x）x=0[f（x）x=0（）（，（）是曲线x的拐点；不是的拐点。分析此题条件已知两个极限值，可分别利用不定式极限的性质和连续函数极限的保号性得到关于[f]和[f]的一阶、二阶导数的相关信息。解：由[limx→0f（x）-21-cosx=0]和函数及一阶导的连续性知：[f（0）=2]且[f′（0）=0]由[limx→0f″（x）ln（1+x2）=1]及二阶导的连续性知：[f″（0）=0]。这不足以说明[fx]在[x=0][0f0]是的拐点。又由于极限值10不是知单调递[x=0]的两侧的符号不一致，且是由极值的第一充分条件可判断[f（x）]在[x=0]处取得极小值。故（B）是正确答案。注此题极易出错的地方有二，一是由[f″（0）=0]判断[x=0]是函10判断为类似的问题还有：例3已知（-（（）（，。试讨论[x=a][m][k]在[x=a]在定积分方面的应用4设函数[f]在[[a，b]][abf（x）dx=0]。证明：在[a，b]上[f（x）≡0]分析要证在上根据函数非负连续的性质，只须说明不存在函数值为正的点即可易想到用反证法假[ 有根据函数值[x0]点为正就可推得函数[x=x0]的某领域也非负这正是连续函数的局部保号性质的意义所在然后再根性可知：[∃δ0，]当[x∈u（x0，δ）]时，[f（x）f（x0）2]。从而这与已知不符或[x0=b]的得证。类似问题还有：例5设函数[f]在闭区间[a，b]上连续，且[f（x）]不恒等于零。证明：[ab（f（x）2dxo]注解决这类问题的关键是由函数在某点的非负（正）性，得到其在某区间的非负（正）性，这就是连续函数局部保号性的应用。然后利用积分区间的可加性将积分分为若干个积分加以讨论即可。在证明不等式方面的应用[y=kx+b]∀x∈号性也很形象。6已知[x，y，z∈R+]，且满足[x+y+z=1]。求证：[xyz（1-x）（）≤18]证明在已知条件下，所证式子可化简为[xz+xy+yz≥9xyz]。由于zz设函数[f（x）=x（y+z-9yz）+yz][f（x）≥0]首先[f（0）=yz0]其次[f（13）=13（y+z-9yz）+yz]=[13（23-9yz）+yz]=[29-2yz][≥29-2∙ （y+z2）2][=0]根据一次函数保号性的性质可知[f（x）≥0]成立。得证。1保号答要略显简单。2至闭区间上任意连续函数的性质，叙述如下：定理设函数[f]在闭区间[a，b]上连续，若[f（a）0，f（b）0]，则至少存在一点[x0∈a，b]，