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文档简介

宝石纪念币题解考虑这样一个子问题，用m不同颜色的宝石（不一定全用这可以利用Polya定理求解所有的置换共有n即顺时针一格两格…n顺时针旋转k的置换显然可以表示成(n,k1 (n,k个长为n的循环。因此，这个子问题的答案就是：nm (n,

k现在原问题要求的是恰好使用了17种颜色的宝石的方案数 17

m117 (n,k)故由容斥原理，答案为：n

mm m1 k 计算中的一些细节问题这里先这些问题后文就不再一一叙述（1）由于求和最后要除以n，所以应该保存答案modn10len的结果也就是说，高精度的最后len为都是mod10位，但第len+1位无法避免小减大。因此要。第len+1位要退n，而不是10，（3）120直接处理较长，可考虑为压缩，2一缩、3一缩、4位一缩都是可以考虑的，考虑到int64longint计算慢很多使用3一缩。，下介绍算法度为O(cn2len2。其中c颜色数17，len输出长度120。时间复杂度为O(clen2nlogn)。同的m循环一次，保留计算的结果，时间复杂度为O(cnlen2。算法（标准算法注意到对于不同的k(n,k)的值相等m(n,k的值也是相等的因此考虑统计有多少个k(nk的值为给定的正整数t。由于(nk)t

t|

，所以这样的kn个 tk,n tt tt n所以n

m(n,k

nmt k

t|n(k

注意到n是可以在O(d(n))时间内全部算出（其中d(n)表示 t ，于时间复杂度为O(clen2d(nlogn。对于3的时间来说是足够了。算法五：这里再给出一种DP的思路，尽管时间复杂度较高，但也能得一定的分数为1,2…n。再规定17种颜色出现的顺序。记DPi,j表示到位置i为止恰好出现j颜色的方案数。则可写出状态转移方程：注意到不涉及高精度与高精度乘法而只涉及高精度数与低度数的乘法，故计算所有DPi,j的时间复杂度为O(cnlen)不过需要注意的是，17!DPn,17不是最终的答案，因为循环的安n会导致重复计算。正确的方法是使用容斥原理。具体推导过程不再出，最后的公式是 n

。依旧不涉及高精度数与高精度nt

t 的乘法。总时间复杂度是O(cnlen)（在这个算法基础上，利用矩阵乘法可加速DP，但无法避免高精度数与高精度数的乘法时间复杂度O(c3lognlen2d

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