教学案：4三个正数的算术-几何平均数

三个正数的算术一几何平均数课题三元基本不等式主导人审核人上课教师上课班级上课时间教学目标.理解掌握三元基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题，能类比推理得到n元基本不等式..如何将问题转化出积为定值，或和为定值..进一步掌握类比推理、演绎推理等方法与途径.教学重点.基本不等式成立时的三个限制条件（即一正、二定、三相等）..利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值.教学难点难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法.教学过程师生活动设计意图引入（一）二元基本不等式的内容和研究方法是什么？（二）二元基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，此不等式能否推广？例如，对于三个正数会不会有类似的不等式成立？体验类比与猜想复习（一）二元基本不等式的内容和研究方法：重要不等式：若a,b£R，则a2+b2三2ab（当且仅当a=b时取“=”）..指出定理的适用范围：a,b£R；.强调取“=”的条件：a=b；基本不等式：若a,b£R+，则巴芋》Oab（当且仅当a=b时取“=”）..这个不等式的适用范围为a,b£R+；.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.利用此不等式时一定要注意条件：一正二定三相等！有一个条件达不到就不能取得最值..二元基本不等式及其常用变式a2+b2三2ab（a,b£R）a+b、L, ,n、 〉Nab（a,b£R+）2强化记忆体验演绎推理1

TOC\o"1-5"\h\za.b 1、\o"CurrentDocument"—I—》2(ab>0)^^xH—》2(x>0)ba xa+b a2+b2abW( )2W (a,beR)2 2a2+b2+c2三ab+bc+ca(a,b,ceR)（二）你认为三元基本不等式有什么内容，今天研究什么？怎样研究?一、内容（问题1.1）请类比二元基本不等式的形式、猜想对于三个正数a,b,c可能有什么形式的不等式成立?【板书】若a,b,ceR+,则a+1b+c》3.成（当且仅当a=b=c时（问题1.2）如何证明？请类比二元基本不等式的研究方法尝试证明!【学生板书】先证明：若a,b,ceR+,则a3+b3+c3三3abc(当且仅当a=b=c时取“=”)体验猜想、类比与演绎利用比较法证明，感受函数思想=Q+bI=(a+b)3一3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+体验猜想、类比与演绎利用比较法证明，感受函数思想=Q+bI=(a+b)3一3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)xa+b1-(a+b=(a+b+c=(a+b+c2+2ab+b2一ac一bc+c2+b2+c2-ab-bc-ca)3ab渗透研究事物的途径和方法=1(a+b+c为-b)+(b-J+(c2所以a3+b3+c3》3abc(当且仅当a=b=c时取“=”)对此结果作简单的整体替换、恒等变形，即可得到a+b+c若a,b,ceR+,则——3——》3abc(当且仅当a=b=c时(问题1.3)能否用文字语言将此不等式表述出来?前后贯串(问题1.4)能否尝试变形?(问题1.5)能否推广到更一般的情形?【板书】形成整体认知结构.三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数;.常见变式：a3+b3+c3三3abc（当且仅当a=b=c时取"=”）a+b+c、abcw(——3——)3(当且仅当a=b=c时取“=”)；.对于n个正数a1a2,……,an,它们的算术平均不小于它们的几何a+a+ + a, 平均，即T一2 n》naa......a （当且仅当n 12na1=a2=……=a时取"=”）；.三个及三个以上正数的算术一一几何平均值不等式其应用条件与二元基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”.二、例题选讲（应用）（问题2.1）以上不等式可用于解决哪些问题呢?【板书】1.证明不等式（从代数结构一一数运算角度：和与积的相互转化，可用于含和积不等式的证明）.例1.已知X,y,zeR+，求证：（x+y+z）3三27xyz.设置意图：综合运用三元基本不等式，培养学生的转化化归能力.分析引导：（问题1）式中有几个字母？结构如何？（问题2）采用哪一个基本不等式来证明？【板书】方法步骤：因为x+；+z三3xyz>0（x+y+z）3所以^——— 》xyz，即（x+y+z）3》27xyz.4/b+c-ac+a-ba+b一c、例2.已知a,b,ceR+,求证： +——-——+ 》3.abc设置意图：综合运用三元基本不等式，培养学生的转化化归能力.分析引导：（问题1）式中有几个字母？结构如何？（问题2）能否将左边的式子进行恒等变形？【板书】,b+c一a c+a-b a+b一c b c c a a b方法步骤：因为+ + =+-+7+7+-+--3a b c a a b b c cbca、cab、 qbca、：cab=（—++-）+（—++-）-3》3「--+3「---3=3abcabcAabc飞abc（当且仅当a=b=c时取“="）.【板书】2.求解最值问题（积定和最小，和定积最大）- 3，〜一例3.求函数y=2x2+-（x>0）的最小值,指出下列解法的错误,并给出正确解法.

解一：解二：一3一12 ，12一二 一，「y=2x2+—=2x2+—十—》3qi2x2 =3“4 /.y=3V4.x xx\xx min- 3 .1 3 〜匚-y=2x2+—》22x2—=2J6xx \x3 312 |"12 ■当2x2=—即x= 时y=2讨6 =24324.X 2 minh2设置意图：让学生体会转化出定值以及等号成立的条件才是利用基本不等式解决最值问题的关键.分析引导：(问题1)上述解法对吗？错在哪里？如何保证等号成立？(问题2)如何拆项转化？【板书】.八 3 - 3方法步骤：y=2X2+-=2X2+—x 2x(当且仅当2x2=3-=2x3+ 》3、2x飞3即即x=32x %33 i'9 31—2x2 =331 =31362x2x \223E“4时取“=”).解题小结bz 八 ，八、 一求形如y=ax2+—(x>0,a、b>0)的最小值的方法；x,一 b bb拆^项y=ax2+—=ax2+—+—x 2x2x运用三兀算术一一几何不等式关注等号成立的条件.课堂总结.内容：一个不等式、二种思想、二个注意..方法思想：转化化归思想、归纳类比思想..三个注意：基本不等式求函数最值时注意“一正一定三相等”..不能直接利用不等式时，要善于转化变形，达到化归的目的.当堂检测.求函数y=6+3x2(x>0)的最小值.x分析：对于和的形式求最小值，应构造三个数的积为定值..求函数y=x(1-x2)(0<x<1)的最大值.分析：对于积的形式求最大值，应构造三个数的和为定值, 1 、 1c八 、八 、 1/2x2+1—x2+1—x2. 4解：y2=x2(1x2)2=22x2(1x2)(1x2)<2( 3 )3=才

3 2<3当且仅当2%2=1—%2即%=—时y取最大值一9一变式1：求函数y=%2(1—x)(0<%<1)的最大值.XXr—+—+1—x4解：y=%2(1—%)=4——(1—%)W4(—— )3=——乙乙 J 乙/- %% 2(当且仅当1—%=-=-即%=-时取“=”)变式2：变式3：求函数y=%2H-x2(0<%变式2：变式3：兀求函数y=sin0cos20(0<9<—)的最大值.分析:目标函数是积的形式，应构造和为定值，sin分析:目标函数是积的形式，应构造和为定值，sin9+cos29不为定值，联想到sin29+cos29=1解：1 1,2sin29+cos29+cos29y2=sin29cos49=—2sin29cos2y2=sin2TOC\o"1-5"\h\z2 23 2v;3当且仅当2sin29=cos29=1-sin29即sin9=—时y取最大值—9―.，C ， 27 „变式4：若a，bgR+,且a>b，求a+-———-的最小值.答案：9(a—b)b问题：此题如何添项转化成三元基本不等式?3.已知a,b,cgr+，求证：(a+b+c)(—+—+—)N9.bc证明：a,b,cgR+,证明：a,b,cgR+,a+b+c》33abe・•.(a+b+c)(i+1+，)》9abc(当且仅当a=b=c时取“=").设计意图：让学生体会转化出定值才是利用基本不等式解决最值问题的关键题后反思：1.应用定理时注意满足的条件一正二定三相等，2.利用拆添项、配系数、分离常数、平方变形等凑出定值，验证是否满足等号成立条件

课后作业.求函数y=3x+巨（x>0）的最小值. 答案：9X2TOC\o"1-5"\h\z/ 16.求函数y=4X2+的最小值.答案：8（X2十-L）216 16简析.y=4X2+ =2(X2+1)+2(X2+1)+ 4简析： (X2+1)2 (X2+1)2, 16》3q,'2(X2+1)2(X2+1) 4=8(X2+1)216一(当且仅当2(X2+1)〕———即x=±1时取"=”)(X2+1)232.求函数y二x4（2-x2）（0<x<、；2）的最大值•答案：力.设x,y为正实数，x2y=4，求x+y的最小值及此时x,y的值.解：X,y为正实数，X2y=4X °.XX_'X2y-+y》33——y=33：--二32 322 34Xx . 一一（当且仅当y=-=5时取“="，又X2y=4，所以X=2,y=1时取最小值3）..已知X,j为正实数，求证：(1+x+y2)(1+x2+y)》9xy.证明：因为X,y为正实数，所以1+X+y2》3、：xy2>01+X2+y三3qx2y>0，，(1+x+y2)(1+x2+y)三33：xy23、%2y=9xy..如下图，把一块边长是〃的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？F=F=(n-2x)2x22a3]3=——27解：设切去的正方形边长为X，无盖方底盒子的容积为V,1 1「4x+(a-2x)+(a-2x)则V=x(a—2x)2=4x(a—2x)(a—2x)w[4 4

当且仅当a—2x=4x，即当x=-时取“=”6答：当切去的小正方形边长是原来正方形边长的1时盒子的容积最大.6.如下图所示，在一张半径为2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角0的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E=k任0.这里r是一个和灯光强r2度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮?sin0分析：根据题设条件建立r与0的关系式f将它代入E=k-r2T得到以0为自变量，E为因变量的函数关系式f用算术一一几何不等式求函数的最值f获得问题的解一2解：一2解：一二嬴0'..•E=ksin0cos20(0<0<夕，E2=—sin20cos40=—(2sin20)cos20cos20TOC\o"1-5"\h\z16 32)3="108k2z2sin20+cos20+cos20w)3="