2021年湖南省永州市零陵区水口山镇中学高三数学文联考试卷含解析

2021年湖南省永州市零陵区水口山镇中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当xR时，f（x）＋x<0成立（其中是f（x）的导函数），若a＝(30.3)·f(30.3)，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）

A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b参考答案：C2.设,则“”是“”的 （）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.若展开式中存在常数项，则n的值可以是

(A)8

(B)9

(C)10

(D)12参考答案：答案：C4.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D5.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：设点，所以，由此可得，，所以选B.6.中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为

（

）

A．2

B．

C．1

D．参考答案：A略7.已知非零向量与满足（+）·=0,且·=-,则△ABC为

（

）

A．等腰非等边三角形

B．等边三角形

C．三边均不相等的三角形

D．直角三角形参考答案：A略8.定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（

）A． B．C．

D．参考答案：D略9.设集合，，则下列关系正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C详解：由题意，，∴，只有C正确.故选C.

10.若，则直线被圆所截得的弦长为(

)A．

B．1

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为1的正三角形ABC中，设，，，则=

．参考答案：答案：12.向平面区域.内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率等于_______．参考答案：13.已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为

．参考答案：14.已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．参考答案：[﹣3，0]【考点】数列与函数的综合．【分析】利用已知条件，结合等差数列的性质，，得到an=2n﹣1，n∈N*，然后①当n为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3，②当n为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解λ≤0，然后推出实数λ的取值范围．【解答】解：，?an=2n﹣1，n∈N*?①当n为奇数时，，是关于n（n∈N*）的增函数．所以n=1时f（n）最小值为f（1）=2﹣2+3=3，这时﹣λ≤3，λ≥﹣3，②当n为偶数时，恒成立，n为偶数时，是增函数，当n=2时，g（n）最小值为g（2）=4+1﹣5=0，这时λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．15.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是

.参考答案：16.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，DABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体积为_________________.参考答案：17.设：，：，若是的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ．参考答案：试题分析：，，，是的充分不必充要条件，所以，解得.考点：充要条件，绝对值不等式，一元二次不等式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）由题在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．（2）利用导数求得cosα=﹣时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=，∠CDA=α，∴∠ACD=﹣α．又AB=BC=CA=20，△ACD中，由正弦定理知==，得CD=，AD=，…（3分）∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20=++20=10?+20（＜α＜）．…（7分）（2）S′=10?，令S′=0，得cosα=﹣．…（10分）当cosα＜﹣时，S′＜0；当cosα＞﹣时，S′＞0，∴当cosα=﹣时S取得最小值．…（12分）此时，sinα=，AD=10﹣，∴中转站距A处10﹣千米时，运输成本S最小．…（14分）【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.

参考答案：证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以.

..............4分又平面，平面，所以平面.

..............6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面.

..............8分而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面.

.............12分又面，所以面面.

..............14分

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90o，点D是棱B1C1的中点。

（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）求三棱锥B1－ADC的体积。

参考答案：

略21.设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）参考答案：（Ⅰ）或（Ⅱ）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.试题解析：解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或，

…………2分故所求方程的根为或.

………4分（2）因为，所以（），

……6分①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.

………10分（3）方法一：当时，，，所以单调递增，，，所以存在唯一，使得，即，

……………12分当时，，当时，，所以，记函数，则在上单调递增，

……14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为.

………16分方法二：当时，，所以，由得，当时，不等式有解，

……………12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得，

………14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为.

.……………16分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首