5S`m4D圆有关的比例线段市公开课金奖市赛课一等奖课件

2.5与圆有关的比例线段第1页探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?PA·PB=PC·PD1.相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长积相等。ACBPDOCABPDOACBPDO第2页A(C.P)BD探究2:把两条相交弦交点P从圆内运动到圆上.再到圆外，结论是否还能成立?PA·PB=PC·PDP在圆外:易证△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圆上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC第3页

2.割线定理

从圆外一点引圆两条割线，这一点到每条割线与圆交点两条线段长积相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割线PB绕P点运动到切线位置,是否还能成立?APBODC第4页A(B)PODC连接AC,AD易证△PAC∽△PDA

上式可变形为PA²=PC·PD3.切割线定理从圆外一点引圆切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点两条线段长百分比中项.故PA·PB=PC·PD仍成立因为A,B重合，第5页探究4:使割线PD绕P点运动到切线位置,能够得出什么结论?A(B)PODC易证Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切线长定理从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等,圆心和这一点连线平分两条切线夹角.A(B)POC(D)PA²=PC·PD第6页思索:1.由切割线定理能证实切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思索:2.你能将切线长定理推广到空间情形吗?O第7页

例1.圆内两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD长.CDABP解:设CD=x,则PD=,PC=由相交弦定理,得PA•PB=PC•PD∴4×4=•求得x=10,∴CD=10第8页

例2.E是圆内两条弦AB,CD交点,直线EF//CB,交AD延长线于F,FG切圆于G.

求证:(1)△DFE∽△EFA;

(2)EF=FG

ABCOFGED321△DFE∽△EFAEF²=FA•FD又GF²=FA•FDGF²=EF²EF=FG第9页

例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上任一点,从P引两圆切线PC,PD.

求证:PC=PDPABDC析：PC²=PA•PB又PD²=PA•PBPC²=PD²PC=PD第10页例4.如图,AB是⊙O直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:AC•AD+BC•BE=AB².ABDECOF分析:A,F,C.E四点共圆BC•BE=BF•BA.F,B,D,C四点共圆AC•AD=AF•AB.AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA=AB(AF+BF)=AB²第11页例5.如图,AB,AC是⊙O切线,ADE是⊙O割线,连接CD,BD,BE,CE.

B

A

E

C

O

D问题1

由上述条件能推出哪些结论?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE

⑴CD•AE=AC•CE

⑵同理BD•AE=AB•BE

⑶因为AC=AB,由⑵⑶可得BE•CD=BD•CE

⑷图⑴第12页探究2:猜测并可证实问题2

在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?

B

A

E

C

O

D图⑴

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵△ADC∽△ACE

⑸一样可得⑵⑶⑷第13页证实以下:

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵∵AB²=AD•AE,而AB=AC,∴AC²=AD•AE,即∵∠CAD=∠EAC,(对应边成百分比且夹角相等).∴

△ADC∽△ACE⑸

其次连接FG由于F,G,E,D四点共圆∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹第14页

B

A

E

C

O

D

F

G图⑵问题3

在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?

B

A

E

C

O

D

F

G图⑶

P探究3:能够推出（1）~（6）全部结论。第15页

B

A

E

C

O

D

Q

G图⑶P另外∵AC//DG.∴AD•CE=AE•CG⑺∵

△ACD∽△AEC∴AC•CD=AD•CE⑻由⑺⑻可得：AC•CD=AE•CG

⑼连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四点共圆

⑽第16页习题2.55.如图,⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O切线,求证:PN²=NM•NQQNPO´OABM第17页6.如图,PA是⊙O切线,M是PA中点,求证:∠MPB=∠MCP∵MA²=MB•MC=PM²∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思绪：习题2.5第18页习题2.57.如图,AD,BE,CF分别是△ABC三边高,H是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,求证:DH=DGACEGBFHD132第19页AECDPBFO习题2.58.如图,⊙O直径AB延长线与弦CD延长线交于点P,AE=AC.求证:PF•PO=PA•PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF•PO=PD•PC又PD•PC=PB•PAPF•PO=PB•PA思绪：第20页习题2.5

9.将例5图(1)作以下改变:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其它条件同例5,能推出哪些结论?假如∠BAD=∠CAD,又有什么结论?

B

A

E

C

O

D图⑴

B

A

EC

O

DFG第21页习题2.59题将例5图(1)作以下改变:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其它条件同例5,你能推出哪些结论?假如∠BAD=∠CAD,又有什么结论?

B

A

EC

O

DFGAB²=AD•AE①CF•CE=CD•CG②∴AC²=AD•AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

第22页假如∠BAD=∠CAD,如图,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?)

=∴

BD=CD

④