隐函数与参数方程的导数课件

1§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率小结思考题作业1§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函32.隐函数求导法隐函数求导法则

用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导32.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求4例1解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因为y是x的函数,

是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,0=x0=y0=x0=y.1=4例1解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因5

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,

求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,5虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,6例2解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法二从原方程中解出得6例2解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法7先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得7先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得8例3解8例3解9910例4解将上面方程两边再对10例4解将上面方程两边再对11或解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy11或解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy12例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证故曲线上任一点处切线的斜率为12例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距13切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为13切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为1414

解

例

把椭圆方程的两边分别对x求导得所求的切线方程为,练习1414解例把椭圆方15练习解确定,15练习解确定,163.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.

适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法

然后利用隐函数的求导法求出导数.163.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(17例6解等式两边取对数得

隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！17例6解等式两边取对数得隐函数对这类型的题用取对数求导法18两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢18两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢19

对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.19对数求导法常用来求一些20例7解等式两边取对数得20例7解等式两边取对数得21例8解两边取对数得两边对x求导得21例8解两边取对数得两边对x求导得22注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,22注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质23有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导xb+23有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求24练习24练习25解答等式两边取对数25解答等式两边取对数26解答26解答27二、由参数方程所确定的函数的导数如?

称此为由参数方程所确定的函数.

消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数,间的函数关系与确定xy27二、由参数方程所确定的函数的导数如?称此为由参数方程所28所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得28所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得29

星形线是一种圆内摆线例929星形线是一种圆内摆线例930解30解31例10解

所求切线方程为31例10解所求切线方程为32容易漏掉32容易漏掉333334如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.34如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更35例11解35例11解36例12.证36例12.证373738四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.38四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法39思考与练习求其反函数的导数

.1.

设由方程确定,

求2.设3.

4.

已知，求39思考与练习求其反函数的导数.1.设由方程确定,40思考与练习求其反函数的导数

.解:方法1方法2等式两边同时对求导1.

设40思考与练习求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同41由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得

求①2.设41由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得42运用取对数求导法两边关于x求导：解

3.42运用取对数求导法两边关于x求导：解3.43整理得43整理得44

4.

已知，求解：444.已知4545466、6466、64747练习

设求提示:

分别用对数微分法求答案:练习设求提示:分别用对数微分法求答案:49作业习题2-4(110页)

1.(2)(3)2.3.(1)(3)4.(1)(3)5.(2)6.7.(2)8.(3)(4)9.（2）49作业习题2-4(110页)1.(2)(3)250若曲线由极坐标方程给出,利用因此曲线切线的斜率为,cos)(qqrx=qqsin)(ry=qqsin)(r-可化为极角参数方程,q补充50若曲线由极坐标方程给出,利用因此曲线切线的斜率为,cos51例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为故法线方程为即参数方程

这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.51例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜52§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率小结思考题作业1§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化53定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函542.隐函数求导法隐函数求导法则

用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导32.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求55例1解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因为y是x的函数,

是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,0=x0=y0=x0=y.1=4例1解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因56

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,

求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,5虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,57例2解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法二从原方程中解出得6例2解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法58先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得7先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得59例3解8例3解60961例4解将上面方程两边再对10例4解将上面方程两边再对62或解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy11或解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy63例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证故曲线上任一点处切线的斜率为12例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距64切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为13切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为6565

解

例

把椭圆方程的两边分别对x求导得所求的切线方程为,练习1414解例把椭圆方66练习解确定,15练习解确定,673.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.

适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法

然后利用隐函数的求导法求出导数.163.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(68例6解等式两边取对数得

隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！17例6解等式两边取对数得隐函数对这类型的题用取对数求导法69两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢18两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢70

对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.19对数求导法常用来求一些71例7解等式两边取对数得20例7解等式两边取对数得72例8解两边取对数得两边对x求导得21例8解两边取对数得两边对x求导得73注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,22注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质74有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导xb+23有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求75练习24练习76解答等式两边取对数25解答等式两边取对数77解答26解答78二、由参数方程所确定的函数的导数如?

称此为由参数方程所确定的函数.

消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数,间的函数关系与确定xy27二、由参数方程所确定的函数的导数如?称此为由参数方程所79所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得28所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得80

星形线是一种圆内摆线例929星形线是一种圆内摆线例981解30解82例10解

所求切线方程为31例10解所求切线方程为83容易漏掉32容易漏掉843385如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.34如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更86例11解35例11解87例12.证36例12.证883789四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.38四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法90思考与练习求其反函数的导数

.1.

设由方程确定,

求2.设3.

4.

已知，求39思考与练习求其反函数的导数.1.设由方程确定,91思考与练习求其反函数的导数

.解:方法1方法2等式两边同时对求导1.

设40思考与练习求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同92由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①