第06讲离散型随机变量及其概率分布

第六讲

离散型随量及其分布律离散型随量分布律的定义分布律的性质几种常见离散型分布这样，随就掌握了X这个量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随量X可能取的值是0,1,21015C

3C

3取每个值的概率为

P(X

0) 3

1065C

3C

2C1P(X

1)

3 2

322

C5

10设xk

(k=1,2, …)是离散型随

量X所取的一切可能值，称k=1,2,…

…kP

(

X

x为离散型随量X的概率分布或分布律一、离散型随

量分布律的定义通常记为：xkX

x1

x2pp1

p2pk二、分布律的性质k（1）非负性

p

0,kk（2）归一性

p

1k=1,2,…

用这两条性质判断一个函数是否是概率函数（3）

F(x)

=

P(X

x)

=

pkxk

x例1.

设随

量X的概率函数为：kP(

X

k)

a

,k!k

=1,2,

…,试确定常数a

.

0

1,

21, 1

x

2x

2

0,

x

0

1

, 0

x

1F

(

x)

3例2，求F(x).12X

0p1

/

3 1

/

6 1

/2x1

3121201

61

21

6OOO分布函数图P(

X

x)

F

(

x)1画分布函数图

1,

21, 1

x

2x

2

0,

x0

1

, 0

x

1F

(

x)

312X

0p1

/

3 1

/

6 1

/2

1,

21

1

,, 1

x

2x

20

x

1

0,

x

0F

(

x)

3例3

已知随量的分布函数为，求随量的分布律3.几种常见离散型分布1)（0-1）分布设随P(X

k)量X的概率分布为：k

=0,1,

q=1-p,

k0,1,2,,k!P(

X

k)

e

k2）泊松分布设随

量X所有可能取的值为0

,

1

,2,

…

,

且概率分布为：其中λ>0

是常数,

则称

X服从参数为λ的泊松分布,

记作X~

(λ).有关泊松分布的计算可查表泊松分布的图形特点：例4

某商店出售某种商品．根据经验，此商品的月销售量服从参数为3的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率不脱销？若随机试验满足：每次试验条件相同；每次试验只考虑两个互逆结果A或A

，且P(A)=p

，P(A)

1

p

；各次试验相互独立.这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.3)二项分布3)二项分布n重贝努里试验（贝努里概型）用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则P(X

k)Ck

pk

(1

p)nk

,

k

0,1,,

nnX~B(n,p)称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从两点分布二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；n=10,p=0.7kPk0两次例5

，设每次买一张，为0.01，共买500次，试求他至少的概率．二项分布的泊松近似,

k0,1,2,k!)

elim

C

p

(1

pk

kn

n

nnnk

k泊松定理设

是一个正整数，

np

，则有二项分当

n很大，p

很小，0

np

8布近似服从泊松分布由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如

、火山爆发、特大洪水、意外事故等等两次例5

，设每次买一张，为0.01，共买500次，试求他至少的概率．例6设有同类型设备60台，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.02.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来，才能维修的概处理

.

问至少应配备多少维修保证当设备发生故障时不率小于0.01?则称X具有几何分布.k1,2,P(Xk)(1

p)k1p4）几何分布设随量X的概率分布为：例4.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X

的概率函数.解:显然，X

可能取的值是1,2,…

，为计算P(X

=k

)，k

=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k

=1,2,…，设于是

P(X=1)=P(A1)=p,P(X2)P(

A1

A2

)(1

p)pP(X

3)P(

A1

A2

A3)(1

p)2pk1,2,P(Xk)(1

p)k1p可见这就是求所需射击发数X的概率函数.Ak

={第k