棱锥与棱台学案-高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

6/6棱锥和棱台【学习目标】借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。【学习重难点】1．棱锥、棱台的定义和结构特征。2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。【学习过程】一、初试身手1．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形 D．六边形2．下面四个几何体中，是棱台的是()ABCD二、合作探究1．棱锥、棱台的概念【例】下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。2．几何体的计算问题[探究问题]（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？[提示]是。（3）正棱台中的计算呢？[提示]根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。【例】正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq\r(3)，求正三棱锥的高。[思路探究]正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解。【母题探究】1．将本例中“侧棱长为2eq\r(3)”，改为“斜高为2eq\r(3)”，则结论如何？2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？【学习小结】1．棱锥的结构特征。定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体图示及相关概念底面：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……2．棱台的结构特征。定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……【精炼反馈】1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。 ()（2）棱台的侧棱长都相等。 ()（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。 ()（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。 ()2．下列几何体中是棱柱的个数有()A．5个B．4个C．3个D．2个3．画一个三棱台，再把它分成：（1）一个三棱柱和另一个多面体；（2）三个三棱锥，并用字母表示。答案：【学习过程】一、初试身手1．A[棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形。]2．C[棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确。]二、合作探究1．【例】（2）（3）（4）[（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]2．[思路探究][解]作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。在Rt△ADO中，AD＝eq\f(3,2)，∠OAD＝30°，故AO＝eq\f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq\r(3)。在Rt△SAO中，SA＝2eq\r(3)，AO＝eq\r(3)，故SO＝eq\r(SA2－AO2)＝3，其高为3．【母题探究】1．[解]在Rt△SDO中，SD＝2eq\r(3)，DO＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),2)，故SO＝eq\r(SD2－DO2)＝eq\r(12－\f(3,4))＝eq\f(3\r(5),2)。2．[解]如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝eq\f(3\r(2),2)，又因为SC＝2eq\r(3)，则SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(12－\f(9,2))＝eq\r(\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2)。故其高为eq\f(\r(30),2)。【精炼反馈】1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）[答案]（1）√（2）×（3）×（4）×2．D[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]3．[解]画三棱台一定要利