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6/6棱锥和棱台【学习目标】借助棱锥、棱台结构特征的学习,培养直观抽象的数学核心素养。【学习重难点】1.棱锥、棱台的定义和结构特征。2.棱锥、棱台中构造恰当的特征图形,研究其中的线段数量关系和位置关系。【学习过程】一、初试身手1.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形 D.六边形2.下面四个几何体中,是棱台的是()ABCD二、合作探究1.棱锥、棱台的概念【例】下列关于棱锥、棱台的说法中,正确说法的序号是________。(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;(3)棱锥的侧面只能是三角形;(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点;(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。2.几何体的计算问题[探究问题](1)计算正三棱锥中底面边长,斜高,高时,通常是将所求线段转化到直角三角形中,常用到的直角三角形有哪些?[提示]常用到的直角三角形有:①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形,②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。(2)其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法?[提示]是。(3)正棱台中的计算呢?[提示]根据正棱锥与正棱台的关系,转化到直角梯形中求解。【例】正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2eq\r(3),求正三棱锥的高。[思路探究]正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解。【母题探究】1.将本例中“侧棱长为2eq\r(3)”,改为“斜高为2eq\r(3)”,则结论如何?2.将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”,如何解答?【学习小结】1.棱锥的结构特征。定义有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的多面体图示及相关概念底面:多边形面侧面:有公共顶点的各个三角形面侧棱:相邻两侧面的公共边顶点:各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……2.棱台的结构特征。定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面:原棱锥的截面下底面:原棱锥的底面侧面:除上下底面以外的面侧棱:相邻两侧面的公共边顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得分:三棱台、四棱台……【精炼反馈】1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥。 ()(2)棱台的侧棱长都相等。 ()(3)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形。 ()(4)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形。 ()2.下列几何体中是棱柱的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个3.画一个三棱台,再把它分成:(1)一个三棱柱和另一个多面体;(2)三个三棱锥,并用字母表示。答案:【学习过程】一、初试身手1.A[棱锥的侧面都是三角形,所以底面和侧面相同只能是三角形。]2.C[棱台的侧棱延长后相交于同一点,故C正确。]二、合作探究1.【例】(2)(3)(4)[(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;(3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;(4)正确,棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点;(5)错误,如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]2.[思路探究][解]作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点。在Rt△ADO中,AD=eq\f(3,2),∠OAD=30°,故AO=eq\f(\f(3,2),cos∠OAD)=eq\r(3)。在Rt△SAO中,SA=2eq\r(3),AO=eq\r(3),故SO=eq\r(SA2-AO2)=3,其高为3.【母题探究】1.[解]在Rt△SDO中,SD=2eq\r(3),DO=eq\f(1,2)AO=eq\f(\r(3),2),故SO=eq\r(SD2-DO2)=eq\r(12-\f(3,4))=eq\f(3\r(5),2)。2.[解]如图正四棱锥SABCD中,SO为高,连接OC.则△SOC是直角三角形,由题意BC=3,则OC=eq\f(3\r(2),2),又因为SC=2eq\r(3),则SO=eq\r(SC2-OC2)=eq\r(12-\f(9,2))=eq\r(\f(15,2))=eq\f(\r(30),2)。故其高为eq\f(\r(30),2)。【精炼反馈】1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2.D[由棱柱的定义知①③是棱柱,选D.]3.[解]画三棱台一定要利
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