第四章常微分方程-4.2-4.一阶线性方程

dx例如

dy

y

x2

,dx

xsint

t2

,线性的;dty

cos

y

1,非线性的.dxdyP(x)dx,yln

y

P(x)dxlnC,ydy

P(x)dx,.

P(

x)

dx齐次方程的通解为

y

C

e1.线性齐次方程y

2xy

3,一阶线性微分方程的解法dyP(x)y

0.(使用分离变量法)用常数变易法求非齐次方程dyP(x)yQ(x)的通解dx作变换y

u(x)e

P(

x)dx)]e

P(x)dx

,y

u

x)e(

P(x)dx

+u(x)[-P

(x将y和y代入原方程得

P(x)dx

P(x)dxu(x)e

Q(x)

u(x)

Q(x)e积分得u(x)

Q(x)eP(x)dxdxC,.y

C

e

P(

x)

dx一阶线性非齐次微分方程的通解为:

P(x)dxdxC]y

e[Q(x)e

P(x)dx

Ce非齐次方程特解对应齐次方程通解y

u(x)e

P(

x)dx,u(x)

Q(x)eP(x)dxdxC,的通解.x例1

求方程

y

1

y

sin

xxP(x)

1

,xQ(x)

sx

in

x,x

xy

e

e

x

dxC

1

dx

1

dxsin

xx

e

ln

xs

in

x

e

ln

x

dx

C

xx

1

sin

xdx

C

1

cosxC.解，平行于

y轴的动直线被曲线例2y

f(x)0xf(x)dx

PQ(x3

y)2

,x03ydx

x

y,两边求导得y

y

3x2

,解解此微分方程y

x3

(x

0,

x3

yfx)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,

求曲线fx.dx

dxC

dx

3xe2y

e

Cex

3x2由y|x0

0,

6x

6,得C

6,所求曲线为y

3(2ex

x2

2x

2).y

y

3x2(Bernoulli)方程的标准形式dyP(x)yQ(x)yn(n

0,1)方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、方程dx当n

0,1时当n

0,1时dx

dx令z

y1n,则dz

(1

n)yndydxyndyP(x)y1n

Q(x),代入即得求出通解后，将z

y1n

y1n

z

e(1n)P(x)dx(Q(x)(1

n)e(1n)P(x)dxdxC).两端除以yn，得dzdx

(1

n)P(x)z

(1

n)Q(x),代入上式例

4

求方程

dy

4

y

x2dx

xydxxy

x2

,1

dy

4令

z

y,2

dz

4

z

x2

,

2解得

z

x2

x2

x

2

C,dx

x即y

x4

C

.解两端除以y，得y的通解.练习例5

求微分方程的通解2

y

2xy2

xex2

.解y

xy

1

xex2

y1,2令z

y2

,dx则

dz

2

y,

dz

2xz

xex2,dx

z

ex2

e

2xdxdxC]

2xdx

[

xe所求通解为22y

2

ex

2

(x

C).=1dy

1

;dx

x

y例6解法2则dydu1,dx

dx代入原式du1

1

u du

dx,

dx

u

u1分离变量法得

u

ln(u

1)

xC,所求通解为将u

x

y代回,y

ln(x

y

1)

C,1或x

Cey

y1dy令x

y

u,解法1

方程变形为

dx

x

y

x

x

y.P(y)dyP(y)dyxedyC][Q(y)e4求通解

xy

2y

3x3

y3

.例7解原式可化为2xy2y

3x

3

x2

,

1

4即

y

3

y

1令

z

y3

,原式变为2xz

3x2

,

3z3x即z

2

z

x2,一阶线性非齐方程4y

3x2

y3

,方程377x3

1

y

3

2Cx3.1fxdxC.

f

xdx1

C

dx

fxdxdxC1xC2

,

12nn1n2Cx~C~x

f

xdxdxdxy

C~

,…1

2n其中C~,C~

,C~均为任意常数.解法：yn1

yn2

§4.3一、yn

可降阶的高阶微分方程fx型例1

求微分方程y

ex

cos

x的通解.解

对给定的方程连续积分三次，得1y

e

x

sin

xC,y

e

x

cos

xCx1

2

C,1232y

ex

sin

x

1

Cx2

CxC.

0

的通解.

y(

4)求方程xy(5)

P(x),设y(4)代入原方程xP

P

0,解线性方程,得P

Cx1两端积分,得y(

5)

P(x)P

0）即y(4)

Cx,122

C,1y

1Cx

,120

6

245232

35C2Cx

x

x

CxC

,yC1原方程通解为y

dx5

dx3

dx2

dx

d1

2

345例2解二、y

f(x,

y)

型（不显含变量y）解法令y

p,将p作为未知函数,上述方程变为dxdxdy1dx又p

,

dyx,C,dp

f

x,p

通解为p

x,C

1

.将其积分

y

x,C1dxC2

.其中C1

,C2为任意常数.例3

求微分方程

x2

y

xy

1满足初始条件y1

0,

y1

1的特解.解 此方程不显含y,

作代换y

p,x2

p

xp

1121xexx

dx1dx其通解为p

e

由y1

1,

代入上式

C1

1.dxC

1dy10C20得方程特解y

ln

x

1

ln

x

2

.2221

ln

x.x

xC

1

dy

11

ln

x

y

ln

x

1

ln

x2

C不显含变量xdx三、y

f

y,y型解法：设y

p(y)代入方程得pdydp

fy,

p111dxy,Cdydx即

dyy,C21dy

y,C

xC.原方程的通解1dxdy

dx

dy

py,C

则y

dy

dp

dp

dy

p

dp,

0

的通解.解法1,p

dpdyy

设y

p(y),则代入原方程得dyy

p