概率论与数理统计-概率统计课件

P21习题1.3分别为0.6(2)设甲乙两人独立地射击同一目标,其与0.5,

求已命中的目标是被甲射中的概率.解:

设

A

=

“甲命中目标”,

B

=“乙命中目标”,则A

,B

独立,P(

A

B)P(

A)1

P(

A)P(B)P(

A|

A

B)

P[

A(

A

B)]

0.61

0.4

0.5

4

3

0.75作业:1P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n(4)设甲乙丙三人在同一时间分别独立破译

,

他们译出的概率分别为0.8,0.7,0.6,

求能被译出的概率解:

设

A

=

“甲译出”,

B

=

“乙译出”,

C

=

“丙译出”,则A

,B,C

独立,P(

A

B

C

)

1

P(

A)P(B)P(C

)

1

0.2

0.3

0.4

0.976.2P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n(3)

市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一个厂家为第二个厂家的2倍,第二第三厂家相等,而且各个产品的次品率依次2％,2％,4％,求市场上供应的该种商品的次品率.解:在市场上任选一件商品,设Bi

=“该件商品是第i个厂家供货的”,则B1

,B2

,B3

是一完备事件组,设A

=“该件商品是次品”,i

1,2,33P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n

P(

A)

P(B1)

P(A|

B1)

P(B2

)

P(A|

B2)

P(B3

)

P(A|

B3)

2

2%

1

2%

1

4%4

4

4

2.5%.P24习题1.4(6)

某产品的

为0.95,

有一检查系统,

对合格品进行检查能以0.97的概率判为合格品,

对不合格品进行检查时,以0.04的概率判为合格品.求经该检查系统判为合格品的概率;若经该检查系统判为合格品,事实上为不合格品的概率.解:任选一件产品,设B=“此件产品是合格品”,则B

=“此件产品是不合格品”,则B,B

是一完备事件组,设A

=“此件产品经该检查系统判为合格品”,(1)P(

A)

P(B)

P(A|

B)

P(B)

P(A|

B)

0.95

0.97

0.05

0.04

0.9235;(2)P(B

|

A)

P(B)

P(A|

B)

0.050.04

0.0022.P(A)

0.92354P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n2.1

随量及其分布量的概念量量随离散型随连续型随随

量的分布函数5P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nF

(

x)

P(

X

x

)xoxX

X2.2.4

随离散型随量的分布函数量是由它一切可能的取值及它的概率分布来描述的;

连续型随

量是由它的概率密度来描述的.除以上两种随

量还有其它型的随

量,

而下面要讲的分布函数可用于描述一切类型的随

量.定义:

设

X为任意一个随

量,

称函数(

x

)为X的分布函数.注:

在分布函数F

(

x)

的定义中,

X是随 量,

x是参变量.分布函数

F

(

x)是

X

在区间(

,

x]

上的“累积概率”,不要与单点概率

.6P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nx

3.

F

()

lim

F

(

x)

0,x

F

()

lim

F

(

x)

1;xxox1

x2x2.

F

(x)是x

的单调不减函数,即对x1

x2

,有F

(x1

)

F

(x2

);F

(x)的性质:1.

0

F

(

x)

1,

(

x

)

.即F

的定义域为R

,值域为[0,1];4.

F

(x)至多有无穷可列个间断点,且F

(x)在其间断点处右连续,即F

(x)在其间断点x0

处有:lim

F(x)

F(x0

)0若X为连续型随上连续;若X为离散型随取值点处间断.量,则其分布函数F

(x)在(,

)量,则其分布函数F

(x)在X的所有反之,凡满足以上四个性质的实函数F

(x),必是某随机变量X的分布函数.可由此判断一个函数是否是某个随

量的分布函数.7P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n8P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n若已知X

的分布函数F

(x),则可求出X落在某些区间上的概率:P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)

,P(

X

b)

1

P(

X

b)

1

F

(b),P(

X

a)

F

(a),P(

X

a)

F(a)

F(a

0)

F(a)

lim

F(x).xa则分布函数F

(x)

P(X

x)

P(X

xi

)

pixi

x则分布函数F

(x)

P(X

x)xi

x下面先考虑离散型随量的分布函数:设X为离散型的随

量,且概率分布为P(

X

xi

)

pi

，(i

1,2,

,n

)

,设X为连续型的随 量,

且

X

~

f

(

x),x由X

的分布求其分布函数F

(x)f

(

xt

)

dxt9P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nXxc1ccXxXXF(x)

0,

1,

x

cy

F(x)xxoxy例题与讲解：例1:

设随量X只取一个值c

,求X的分布函数F

(x).解:

F

(

x)

P(

X

x)当x

c

时,F

(

x)

0

,当x

c

时,F

(

x)

P(

X

c)

1

,x

c即P(X

c)

1,10P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nX01Pqp0X1X1

Xx

F

(

x)

q

,

0

,

x

0

0

x

1

1,

x

1Xx0

0

xy

F(x)F

(

x)

P(

X

x)当x

0

时,F(x)

0,当0

x

1

时,F(x)

P(

X

0)

q

,当x

1

时,F(x)

P(

X

0)

P(

X

1)

q

p

1,xx11qyxo例题与讲解：例2:设随

量X

服从参数为p

的0

1分布,求X

的分布函数.解:11P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

ny

F(x)yx例题与讲解:例3:

设随

量X

的分布律为:X-102P0.30.50.2-1

o0.3

P(

X

2)

1,(3)

P(

X

0)

P(

X

2)

0.2,P(

0.5

X

5)

P(

X

0)

P(

X

2)

0.7.10.82(2)注意右连续F

(1.5)

0.8,

F

(

x)

0.3

,

0.8

,

1,0

,

x

1

1

x

00

x

2x

2(1)求X

的分布函数F(x),并计算F(1.5),(2)作出F(x)的图形,(3)求P(X

0)

和P(0.5

X

5).解:(1)当x

1时,F

(x)

P(X

x)

0,当

1

x

0

时,F

(x)

P(X

x)

P(

X

1)

0.3,当0

x

2

时,F

(

x)

P(

X

x)

P(

X

1)

P(

X

0)

0.8,当x

2

时,

F

(

x)

P(

X

x)

P(

X

1)

P(

X

0)12P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nX-102P0.30.50.2

F

(

x)

0.3

,

0.8

,

1,0

,

x

1

1

x

00

x

2x

2y

F(x)yx-1

o0.310.82注意右连续分析F

(x):设X是离散型随

量,

其概率分布:P(

X

xi

)

pi，(i

1,2,),则X的分布函数F(x)是分段函数,

分段点就是X

所有的取值点

xi

,

用X

所有取值点

xi

将(,

)分成若干个区间,

采用“保留左端点,去掉右端点”,即除了最左边的区间其余都是左闭右开区间,F(x)在点xi

处间断(但右连续),F(x)的曲线为“阶梯形”,曲线在点xi

处都有一个跳跃,而跳跃的高度为X在该点处的概率

pi

,

(i

1

,

2

,)

.13P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n14P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n1

0.80

x

2x

2

0

x

1F

(

x)

0.3X-102P0.30.50.2例题与讲解:例4:

上例3中,设X

的分布函数为:

1

x

0

,求X

的概率分布.解:X

的所有取值为:

1,0,

2,P(

X

1)

P(

X

1)

F

(1)

0.3,P(

X

0)

P(1

X

0)

F

(0)

F

(1)

0.8

0.3

0.5,P(

X

2)

1

P(

X

1)

P(

X

0)

0.2,即X的概率分布为:或P(X

1)

F

(1)

F

(1

0)

0.3

0

0.3P(

X

0)

F

(0)

F

(0

0)

0.8

0.3

0.5P(

X

2)

1

P(

X

1)

P(

X

0)

0.2,xxf

(t

)

dtF

(

x)

连续型随

量的分布函数:设

X

~

f

(

x),

则X

的分布函数为:由概率密度f

(x)求分布函数F(x)(

x

),F

(

x)由分布函数F(x)求概率密度f

(x)y

f

(x)由上式得F

(x)在内(,

)连续,且在f

(x)的连续点处,有f

(

x)

F

(

x)xoyS15P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nxoy0

1当x

a时,a

x

b其他xF

(

x)

f

(t

)

dt

x0

dt

0,当a

x

b时,xF

(

x)

a

b

ax

a

b

ax

1

f

(t

)

dt

dt

,当x

b时,xF

(

x)

ab

ab

1

f

(t

)

dt

dt

1,10

,

b

ax

a

F

(

x)

x

a

,

a

x

bx

b1

,y

F(x)解:

X

~

f

(

x)

b

a例题与讲解：例5：设X

服从[a,b]上的均匀分布,求X

的分布函数F

(x).ab若f

(x)是分段函数,则F(x)也是分段函数16P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n1

txoy,

01

x

e其他

a当x

1时,xf

(t

)

dtF

(

x)

x0

dt

0,x当1

x

e时,F

(x)当x

1时,

F

(

x)

f

(t

)

dt

t1x

11dt

ln

tx

0

,x

11

x

e,1,

x

e

F

(

x)

ln

x

,eaxf

(

x)

dx

1e1dx

a

ln

x

a

1,

1此时f

(x)

x

,

0,1

x

e

,其他x

ln

x,e

1,1f

(t

)

dt

e

1

dt

ln

ty

F(x)例题与讲解：解:例6：设X

~

f

(

x)

x11求(1)系数a

;(2)

X

的分布函数F

(x);(3)

P

(0

X

2).(书例)(1)(2)e(3)

P

(0

X

2)

F

(2)

F

(0)

ln

2

0

ln

2.17P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nx当x

0时,

F

(

x)

f

(t

)

dt

x

22

1

e

x

,f

(t

)

dt

x00f

(t

)

dtf

(t

)

dt

xtte

dte dt

0

012

21et

1

et0

x

2

0

2

1

1

e

x

,P

(

|

X

|

1)

P(1

X

1)12211e

F

(1)

F

(1)

1

e1

1

e1

.x当x

0时,F

(

x)解:21

et

dt

1

etx18P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n例题与讲解：例7：设X

~

f

(

x)

1

e|

x

|

, (

x

)x

0e

,

x

0

,

x

2f

(

x

)

2

12求X

的分布函数F

(x),并求P

(|

X

|

1).

1

e

x

,212

x

,x

0

,

1

e

F

(

x

)

1

e

x

,

x

0例题与讲解：接前页:设X

~求P

(|

X

|

1).2P

(|

X

|

1)

P(1

X

1)

11f

(

x)

dx0

21

1

2e

dx

x10e

dx

x119P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n0

e

x

1

e1

.

11

21e

dx|x|或:f

(

x)

1

e|x|

(

x

)0,

其他

0.777;(2)

P(1

T

5)

F

(5)

F

(1)

(1

e1.5

)

(1

e

0.3

)

e

0.3

e

0.5

0.518.试求(1)

等候时间在5分钟以内的概率;(2)

等候时间超过1分钟但不超过5分钟的概率.(书例)解:(1)

P(0

T

5)

F

(5)

F

(0)

(1

e1.5

)

(1

1)(0,)

上连续取值的随 量,

T

的分布函数为

1

e

0.3t

,

t

0F

(t

)

例题与讲解：例8:在超市顾客排队等候付款时间(简称等候时间)T是在

1

e1.520P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n例题与讲解:例9:

设连续型随量X

的分布函数为x2x2F

()

lim

(

A

B

arctan

x)

A

B

1,2

2

2 4

4

2

1

1

1

1

1

,f(

x)

F

(

x)

1

.

(1

x2

)(2)

P(1

X

1)

F

(1)

F

(1)(3)解:

(1)

由F

()

lim

(

A

B

arctan

x)

A

B

0,得A

1

,

B

1

,2从而F

(x)

1

1

arctan

x

,F

(

x)

A

B

arctan

x求

(1)

常数

A,

B

; (2)

P(1

X

1)

;

(3)

X

的密度函数

f

(

x).21P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n2F

(

x)

1

1

e

x

,Aex

,x

02当x

0

时,

f

(

x)

F

(

x)

1

e

x

,x0

x0

x0

x02

2,

lim

F

(

x)

lim

F

(

x),

即lim

Aex

lim

(1

1

e

x

),

得A

1

,22x

01

ex

,

x

01

1

e

x

,此时F(x)

2当x

0

时,f

(x)

F

(x)

1

e

x

,.21

ex

,

x

0x

0

1

e

x

,

f

(

x)

2解:F

(x)在点x

0处连续例题与讲解:例10:设连续型随量X的分布函数为,

求常数A及X的概率密度f

(x).x

022P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n这部分的题型大致有以下几种:量的概率分布,求其分布函数,1、已知离散型随或反过来2、确定连续型随量概率密度

f

(

x)中的常数;3、确定分布函数F

(x)中的常数;量的概率密度f

(x),求分布函数F

(x),4、已知连续型随或反过来5、由F

(x)或f

(x),求X

落在某区间上的概率.23P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n

第2章

随

量的分布与数字特征随

量及其分布随

量函数的分布量的数字特征随重要的离散型分布重要的连续型分布24P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n2.2

随离散型随连续型随量函数的分布量函数的分布量函数的分布25P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n4求截面面积S

d

2

的分布.一般,

设

X是一个随

量,(一般连续),

则Y

也是一个随Y

g(X

)是X

的一个函数量,Y

的分布不易求,而X

的分布已知或易求,则Y的分布可X

的分布而得到.这就是

要讲的随

量函数的分布.量X

如何去求它的分布,前面讲了对一个随包括离散型的和连续型的.在实际中,

人们常常遇到关于随

量的函数的问题.如:

已知圆柱截面直径

d的分布,26P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

nYg(x1)g(x2)…g(xn)…Pp1p2…pn…等价,

因此

P(Y

g(xi

))

P(

X