高中数学中对称性问题

高中数学中对称性问题高中数学中对称性问题高中数学中对称性问题合用标准对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1.函数yf(x)有f(ax)f(bx)（若等式两端的两自变量相加为常数，如(ax)(bx)ab），则f(x)的图像对于xabb时，若2轴对称；当af(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，则f(x)对于xa轴对称；2.函数yf(x)有f(xa)f(xb)（若等式两端的两自变量相减为常数，如(xa)(xb)ab），则f(x)是周期函数，其周期Tab；当ab时，若f(xa)f(xa)，则f(x)是周期函数，其周期T2a；3.函数yf(x)的图像对于点P(a,b)对称f(x)f(2ax)2b(或f(x)=2bf(2ax))；函数yf(x)的图像对于点P(a,0)对称f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax))；奇函数yf(x)偶函数yf(x)

的图像对于点P(a,0)的图像对于点P(a,0)

对称yf(x)是周期函数，且T2a是函数的一个周期；对称yf(x)是周期函数，且T4a是函数的一个周期；5.奇函数yf(x)的图像对于直线xa对称yf(x)是周期函数，且T4a是函数的一个周期；偶函数yf(x)的图像对于直线xa对称yf(x)是周期函数，且T2a是函数的一个周期；6.函数yf(x)的图像对于点M(a,0)和点N(b,0)对称函数yf(x)是周期函数，且2(ab)是函数的一个周期；7.函数yf(x)的图像对于直线xa和直线xb对称函数yf(x)是周期函数，且2(ab)是函数的一个周期。文档合用标准关系图像特色f(x)f(x)对于y轴对称f(x)f(x)对于原点对称f(ax)f(xa)对于y轴对称f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)对于直线xa对称f(x)f(ax)a对于直线x轴对称2f(ax)f(bx)ab对于直线x对称2f(x)f(xa)周期函数，周期为a对点称、点直对(直线P(a,b)l:AxByC0C:f(x,y)0称线轴)(对称中心)原点（0，0）(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0M(x0,y0)(2x0a,2y0b)A(2x0x)B(2y0y)C0f(2x0x,2y0y)0x轴(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0y轴(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0直线xy(b,a)BxAyC0f(x,y)0直线xy(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0点对于点的对称中心对称问题（点对称问题）直线对于点的对称曲线对于点的对称对称问题点对于直线的对称轴对称问题（线对称问题）直线对于直线的对称曲线对于直线的对称一、点对称点对于点的对称点问题文档合用标准若点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点M的坐标是(x1x2,y1y2)；据此可以解求点与点的22中心对称，即求点M(x0,y0)对于点P(a,b)的对称点M'的坐标(x,y)，利用中点坐标公式可得ax0x,by0y，解算的M'的坐标为(2ax0,2by0)。22比方点M(6,-3)对于点P(1,-2)的对称点M'的坐标是(4,1).①点M(x0,y0)对于点P(a,b)的对称点M'的坐标(2ax0,2by0);②点M(x0,y0)对于原点的对称点M'的坐标(2ax0,2by0)=(x0,y0).直线对于点对称①直线L：AxByC0对于原点的对称直线设所求直线上一点为M(x,y)，则它对于原点的对称点为M'(x,y)，因为M'点在直线L上，故有A(x)B(y)C0，即AxByC0；②直线l1：AxByC0对于某一点P(a,b)的对称直线l2它的求法分两种情况：1)、当P(a,b)在l1上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。、当P点不在l1上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线l2上任取一点M(x,y)，则它对于P的对称点为M'(2ax,2by)，因为M'点在l1上，把文档合用标准M'点坐标代入直线在l1中，便获取l2的方程即为A(2ax)B(2by)C0，简化为：AxByC2aA2bB0.解法（二）：在l1上取一点M(x1,y1)，求出M对于P点的对称点M'(2ax1,2by1)的坐标。再由Kl1Kl2A，可求出直线l2的方程。B解法（三）：由Kl1Kl2，可设l1:AxByC0对于点P(a,b)的对称直线为AxByC'0AaBbCAaBbC'且A2B2A2求设C'进而可求的及对称直线方程。B2(3)曲线对于点对称曲线C1:f(x,y)0对于P(a,b)的对称曲线的求法：设M(x,y)是所求曲线的任一点，则M点关于P(a,b)的对称点为(2ax,2by)在曲线f(x,y)0上。故对称曲线方程为f(2ax,2by)0。二、直线的对称点对于直线的对称1)点P(a,b)对于x轴的对称点为P'(a,b)2)点P(a,b)对于y轴的对称点为P'(a,b)对于直线对于直线

xm的对称点是P'(2ma,b)yn的对称点是P'(a,2nb)5)点P(a,b)对于直线yx的对称点为P'(b,a)6)点P(a,b)对于直线yx的对称点为P'(b,a)7)点P(a,b)对于某直线L:AxByC0的对称点P'的坐标BB(xAxByC0解法（一）：由PP'⊥L知，KPP'直线PP'的方程→yba)，由bB(xa)AAyA可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。文档合用标准解法（二）：设对称点为P'(x,y)，由中点坐标公式求得中点坐标为(ax,by)把中点坐标代入22L中获取AaxBbyC0①；再由KPP'B得byB②，联立①、②可获取P'点坐标。22AaxA解法（三）：设对称点为P'(x,y)，由点到直线的距离公式有AaBbCAxByCA2B2A2①，再B2由KPP'BbyBP'点坐标。A得x②，由①、②可获取aA(2)直线l1对于直线l的对称直线l2设直线l:AxByC0，则l对于x轴对称的直线是AxB(y)C0对于y轴对称的直线是A(x)ByC0对于yx对称的直线是BxAyC0关于yx对称的直线是A(y)B(x)C01)当l1与l不订交时，则l1∥l∥l2在l1上取一点M(x0,y0)求出它对于l的对称点M'的坐标。再利用Kl1Kl2可求出l2的方程。2)当l1与l订交时，l1、l、l2三线交于一点。解法（一）：先解l1与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线l2上。再在l1上找一点B，点B的对称点B'也在l2上，由A、B'两点可求出直线l2的方程。解法（二）：在l1上任取一点P(x1,y1)，则P点关于直线l的对称点Q在直线l2上，再由PQ⊥l，KPQgKL1。又PQ的中点在l上，由此解得xf(x,y),yg(x,y)，把点(x,y)代入直线l的11111文档合用标准方程中可求出l2的方程。解法（三）：设l1对于l的对称直线为l2，则l2必过l1与l的交点，且l2到l的角等于l到l1的角，进而求出l2的斜率，进而求出l2的方程。例：求直线l1:2xy30对于直线l:xy10对称的直线l２的方程l解：设Mx,y为所求直线l２上任意一点，则其对于l对称的点M'x1,y1.在直线１上yy111(MM'l,即KMM'gKl=-1)xxx11y1xx1yy110(MM'的中在l上)y11x22又Q2x1y13021y1x30故所求直线方程为x2y40曲线对于直线对称曲线C1对于直线l的对称曲线C2的方程，在C2上任取一点M(x,y)，可求出它对于l的对称点坐标，再代入C1中，即可求得C2的方程。例：求圆x2y21对于直线l：xy10的对称圆的方程解法（一）：设Mx,y为所求圆上任意一点，则其对于l对称的点M'x1,y1在x2y21上.yy111(MM'l,即Kgxx1MM'Kl=-1)x11yxx1yy110(MM'的中在l上)y11x22Qx12y121y2x21--即为对称圆的方程11解法（二）：求圆心（0，0）对于l对称点C（1，1）所求圆方程为y2x2111例：求椭圆x2y21对于直线l：xy10对称椭圆的方程2y2解：设Mx,y为所求椭圆上任意一点，则其对于l对称的点M'x1,y1在x21上.2x11y121y2x1Q1x2y1综合上述，求对称问题平时采用变量代替、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴求对文档合用标准称点一般采用，先设对称点P(x,y)，再利用中点坐标公式或垂直、均分等条件，列出x,y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点M(x,y)，再利用求对称点的方程求出M点的对称点M'点坐标，将M'点坐标代入已知曲线方程中，所得的对于x,y的关系式，就是所求对称曲线的方程。经过上述研究，剖析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表以下：对点称、点(直直P(a,b)l:AxByC0C:f(x,y)0对线线称轴)(对称中心)原点（0，0）(x0,y0)轴轴直线xy直线xyxym0xym0

(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0(2x0a,2y0b)A(2x0x)B(2y0y)C0f(2x0x,2y0y)0(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0(b,a)BxAyC0f(x,y)0(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0三、函数图像自己的对称(1)一般地，函数yf(x)的图象对于xabyf(x)满足f(ax)f(bx)对称2证明:1)若yf(x)满足f(ax)f(bx),设P(x0,y0)是yf(x)的图象上的任意一点,则abbx0,y0)y0f(x0),P(x0,y0)对于直线x2的对称点是Q(a由条件知f(abx0)f(b(bx0))f(x0)y0文档合用标准所以Q(abx0,y0)在yf(x)的图象上,故函数yab对称.f(x)的图象对于x22)若函数yabf(x)的图象上的任意一点，则f(x)的图象对于x对称.设P(x0,y0)是yab2P(x0,y0)对于xQ(abx0,y0)也在yf(x)的图象上。进而有2对称点y0f(x0)f(abx0)。令bx0x则有f(ax)f(bx)特例：①当b=a时，函数yf(x)的图象对于xa对称yf(x)满足f(ax)f(ax)②当a=0,b=2m时，函数yf(x)的图象对于xm对称yf(x)满足f(x)f(2mx)③当a+b=0时，函数yf(x)的图象对于x0对称yf(x)满足f(ax)f(ax)或f(ax)f(ax)(2)函数yf(x)对于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b，或f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，经过f(2ax)f(x)2b可知，f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)对于(a,b)对称。得证。关系图像特色f(x)f(x)对于y轴对称f(x)f(x)对于原点对称f(ax)f(xa)对于y轴对称f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)对于直线xa对称f(x)f(ax)a对于直线x轴对称2f(ax)f(bx)ab对于直线x对称2f(x)f(xa)周期函数，周期为a文档合用标准四、两个函数图像的对称关系yf(x)与yf(x)换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)yf(x)与yf(x)yf(x)与yf(x)yf(x)与yf1(x)yf(ax)与yf(bx)yf(ax)与yf(ax)或yf(x)与yf(2ax)yf(x)与y2af(x)换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2ayf(x)与y2bf(2ax)换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b五、周期性

图像特色对于y轴对称对于x轴对称对于原点对称对于直线yx对称对于直线xab对称2对于直线xa对称对于直线ya对称对于点(a,b)对称1、一般地，对于函数f(x)，若是存在一个非零常数T，使适合x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。实行：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期2.若T是周期，则kT(k0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期文档合用标准是指函数的最小正周期。说明：周期函数其实不是都有最小正周期。如常函数f(x)C；3、对于非零常数A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。证明：f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。4、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)1yf(x)的一个周期为2A。，则函数f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。f(xA)5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。f(xA)6、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a证明：f(x)f(xa)f(xa)（1）f(xa)f(x)f(x2a)（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)f(x)f(x3a)f(x6a)六、对称性和周期性之间的联系性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。证明：∵f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)文档合用标准∴f(x)f(2b2ax)∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，ccf(x)是周期函数，且）、（b，）时，函数y22对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax