高等数学第七章微分方程试题和复习资料

高等数学第七章微分方程试题和复习资料高等数学第七章微分方程试题和复习资料高等数学第七章微分方程试题和复习资料四．线性微分方程解的性质与结构五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程我们谈论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很简单地实行到更高阶的1．二阶常系数齐次线性方程线性微分方程。2pqypyqy0其中p，q为常数，特色方程0二阶齐次线性方程ypxyqxy0（1）特色方程根的三种不相同状况对应方程通解的三种形式二阶非齐次线性方程ypxyqxyfx（2）（1）特色方程有两个不相同的实根1，2则方程的通解为yCe1xCe122x1．若y1x，y2x为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（2）特色方程有二重根12则方程的通解为yC1Cx2ex1C1y1xC2y2x（C1，C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xcossin（3）特色方程有共轭复根i，则方程的通解为yeCxCx12y12（为常数），也即y1x与y2x线性没关时，则方程的通解xyx2．n阶常系数齐次线性方程ynn1n2p1ypypypy2n1n0其中pii1,2,,n为常数。为yCyxCyx1122nppppn1n2相应的特色方程1012nn2．若y1x，y2x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1xy2x为特色根与方程通解的关系同二阶状况很近似。对应的二阶齐次线性方程的一个特解。（1）若特色方程有n个不相同的实根,2,,1则方程通解n3．若yx为二阶非齐次线性方程的一个特解，而yx为对应的二阶齐次线性yCe1xCeCenxx122n方程的任意特解，则yxyx为此二阶非齐次线性方程的一个特解。（2）若0为特色方程的k重实根kn则方程通解中含有4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1xC2y2x为对应的二y=C1C2xk1Ckxe0x阶齐次线性方程的通解（C1，C2为独立的任意常数）则（3）若i为特色方程的k重共轭复根2kn，则方程通解中含有yyxC1y1xC2y2x是此二阶非齐次线性方程的通解。ex1cossinkk1CCxCxxDDxDx12k12kx5．设y1x与y2x分别是ypxyqxyf1x与因此可知，常系数齐次线性方程的通解完好被其特色方程的根所决定，但是ypxyqxyf2x的特解，则y1xy2x是三次及三次以上代数方程的根不用然简单求得，因此只能谈论某些简单求特色方程ypxyqxyf1xf2x的特解。的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。2.求微分方程dydxyxy4的通解2yyy2.2y''(y')，(0)2,'(0)1解：变形得：dxdyxyy41dx3即，是一阶线性方程xydyy解：令dpdp2y'p，则y''p，获取2ppydydy1111dydy3y3y4(y),Q(y)yxeyedyCyCyPy3du2,获取uy令pudy为关于y的一阶线性方程.三、伯努力方程xy3'yxy62y2up(0)['(0)]1，解得|x0uy1cey解：6y'yx53xy，dydxy5y6xx2，因此y0),c0.(2121uy(0)1cece|x05u6yu令,y5y'',u5uxx2，52u'u5x.x于是uy1,py155cx2解得)ux(，于是2四、可降阶的高价微分方程55ycx523xdyy1dx,2y1xc1,y1x2c121.求(1x)yyln(x1)的通解cx1y(0)2,获取1,得解y1122五、二阶常系数齐次线形微分方程解：令yp,则yp,原方程化为(x1)ppln(x1)1ln(x1)pp属于一阶线性方程x1x111dxln(x1)dxx1x1peedxC1x1(5)y(4)yyyy1.y2'''2'''05432解：特色方程221022(1)(1)01,i,i，12,34,5x1C1ln(x1)dxCln(x1)111x1于是得解ycex(ccx)sinx(ccx)cosx12345C1yln(x1)1dxC(xC1)ln(x1)2xC22x1(4)yyy2.y5''10'60，y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)1442解：特色方程510602,(1)(3)(22)01,23,3,41i1解联立方程得__3131A,B，因此ycos2xsin2x10101010x3xx得通解为yc1ecee(ccosxcsinx)234312xxsin2故原方程的通解为yCeCexxcos2121010由y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)143.y''yx3sin2x2cosx获取1c,121c,c31,c4122解：特色根为i，齐次方程的通解为：yc1cosxc2sinx113xxx得特解(cossin)yeeexx22?0,1?y''yx，yccxccyx1212六、二阶常系数非齐次线形微分方程?0xcossinsin2cos2y''y3sin2x，yxecxcxcxcx12121.求xy2y3y2e的通解?待入原式得出：1,0c1c，因此ysin2x2解：先求齐次方程的通解，特色方程为2230，特色根为3,11。2?1xcossin(cossin)y''y2cosx，yxecxcxcxcxx1212因此齐次方程通解为3xCexYCe21?待入原式得出：0,1c1c，因此yxsinx2设非齐次方程的特解为y,由于1为特色根，因此设xyxAe,代入原方程可得1A，故原方程的通解为2yCe113xCexexx22故原方程的通解为yccosxcsinxxsin2xxsinx12七、作变量代换后求方程的解2.求方程yy2y2cos2x的通解dy32(12)1.求微分方程2(yx)1xy的通解dx解：特色方程为220，特色根为2,11，2因此齐次方程的通解为2xCexYCe21设非齐次方程的特解为y,由于题目中0,2,i2i不是特色根，因此设yAcos2xBsin2x，代入原方程可得(2A2B4A)cos2x(2B2A4B)sin2x2cos2x2secudu3解：令ytanu,xtanv,原方程化为u(tanutanv)secvsec2secvdvdudzdu化简为sin( )1uv再令zuv,则1,方程化为dvdvdvdzsinz(sinz1)1sinz1sinz，dzdvc,dzvc,dv1sinz1sinzz11sinzdz2sinzvc1sinz，dzvcz2coszztanzseczvc最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。6A2B2，6B2A02.x(y1)sin(xy)0，y( )021.设f（x）＝xsinx－x0(xt)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）dydu解：设1xyuyuxdxdxdududxxsinu0lncscucotulnxlndxsinuxc解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得fxxcosxsinxx0ftdt再对两边关于x求导，得fxxsinx2cosxf(x)c1cosxyccscucotu，由于xsinxyxx,y0c22即fxfxxsinx2cosx属于常系数二阶非齐次线性方程.1cosxsinxy因此11y2x2x2'sin22sin2213.xyyxyu'e2解：令usiny,u'y'sin2y则.获取22xeu211x2xuxue,2'22'221x12x2x为一阶线性方程对应齐次方程通解yCcosxCsinx1，2__非齐次方程特解设yxAxBcosxxCxDsinx代入方程求出系数__123A,B,C,D则得yxcosxxsinx44，故f（x）的一般表达式132f(x)xcosxxsinxC1cosxC2sin44x由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f00可确定出0,0C1C因此222cxx1x2解得ue(ln|1|).即sin(ln|1|)2ye2cxx2ye2cxx.21x2132f(x)xcosxxsin44x4.xy'lnxsinycosy(1xcosy)02.已知xe2xyxe1，xexy2xe，xe2exxy3xe是某二阶线性非齐解：令cosyu,则u'y'siny.原方程化为u'xlnxu(1xu)0次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.解：由线性微分方程的解的结构定理可得，u'xulnxuln2x,为贝奴利方程，u'1112.uxlnxulnxxyye1，32xexy1ye，2y1y3y1y22xe令z1uu',则2z'.方程化为u11z'z,为一阶线性方程.xlnxlnx对应的齐次方程的解，由解xe与2xe的形式，可得齐次方程为yy2y0.解得z(xlnc)x.即1cosxylncx,(xc)cosylnx.设该方程为yy2yf(x)，代入xe2xyxe1，得xfx12xe.八、综合题因此，该方程为xyy2y12xe，其通解为xCexee2xx2xCe1.23.设F(x)f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在(,)内满足以下条件设方程（*）的特解为__y＝Acosx+Bsinx，xf(x)g(x),g(x)f(x),且f(0)0,f(x)g(x)2e代入方程（*）求得A＝0，B＝－12，故__y＝－12sinx，（1）求F(x)所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出F(x)的表达式xxsin1从而yysinx的通解是yxCeCex( )12.2解：F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)f2(x)[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2ex)22F(x)由3y(0)0,y0，得C11,C21，2可知F(x)所满足的一阶微分方程为F(x)2F(x)4e2x1故所初值问题的解为yxexexsinx( ).2（2）F(x)e2dx4eedxce2x4e4dxcexce2x2dxx22x5.设(x)是以2为周期的连续函数，(x)(x),(0)0,(2)0将F(0)f(0)g(0)0代入，可知c1于是F(x)2xee2x（1）求微分方程dydxcosxysinx(x)e的通解（2）以上这些解中，有没有4.设函数yyx在,内拥有二阶导数，且y0,xxy是yyx的32dxdx反函数（1）试将xxy所满足的微分方程sin0yx2dydy变换为以2为周期的解？若有，求出，若无，说明原由。解：（1）先解对应的齐次方程：dydxysinx0ycxcoscoscosxxxsindyecxecxedxycosxecccosxex带入上式cxxcxxdx，由于(x)(x)xxdxyyx满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件y00，3y0的解。2cxxcyxcosxcecosxe解：（1）由反函数导数公式知dx1dyydx即y1，两端关于x求导dy（2）若有以2为周期的解，满足：fx2fx0fx2fxcosex2x2cfxdxy2dxdyy2dxdx2得y0，因此223y2dydydyyy。cosxcosxex2cexcx要点是看x可否为周期函数：xxdx0代入原微分方程得yysinx（*）20xdx200，x不是周期函数，因此没有2为周期的解。（2）方程（*）所对应的齐次方程yy0的通解为xCeYC1e2x6.已知曲线y＝f(x)（x>0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线解：yy(x)在点P(x,y)的切线方程为：YyxyxXx经过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y＝f(x)到x轴的最大距离。（2）计算0f(x)dxy它与x轴的交点为x,0，由于yx0,y01，因此yx0y1y111x2解：,1yy23xe01222222齐次方程通解为：1xx2yc1ec2e，依照已知条件特解为：?Yxa特解代入原式得：a0,b1，因此Y?2x，xebxex21yyxSxyx2，2S1S211，又由于Sytdt2y2y0于是有2yx2y0ytdt1，两边求导并化简得：yyy2因此通解为：y1xx2x12，由已知得：f00,f002cecexe解上述微分方程：设py，则上述方程化为ypdpdyp2dppdyy2x因此0c1c，因此yxe2求yfx到x轴的最大距离，即求y的最大值。pC1y，即dydxC1yyCxe1C2，yex22xx，当y0时，x0,x2，f00,f24e2依照01,011,0yyC1C。因此曲线方程为：2yxe2.设曲线L的极坐标方程为rr( )，M(r,)为L任一点，M0(2,0)为L上必然f2xx2xlimxelimxex0点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0M两点2因此yfx到x轴的最大距离为九、微分方程的几何和物理应用f24e。2x2x（2）( )2022fxdxxdexeexdx0000间弧长值的一半，求曲线L的方程。12222ds1ydxrrdsrd211222由已知可得：rdrrrd，两边对求导可得：22001.设函数y(x)(x0)二阶可导，且f(x)0,y(0)1,过曲线yy(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面dr2r2r22r，即rrr1d2rr1，设rsect，积记为,S区间0,x上以yy(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1S21rdr2r1arcsin1rCarcsin1rCC6恒为1，求此曲线yy(x)的方程。rsin1rcscx3y662令ydyduduu,yxu,ux，x3uu1，当u0,u1时xdxdxdx3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的圆滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴uduu13dxx两边积分后得u1u3cx，方程通解为的交点之间的长度为S2，且3S12S2=2(x1)x3，求该曲线的方程。yxcxy，再由2y，可得c1x29yx31xx2解：设曲线方程为yfx，Sydx1105.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比率常数K0，假设在融化过程中雪堆向来保持半球体状，已知半径为r0的雪堆开始融化曲线在P点的切线方程为：YyyXx7的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时。8由于222因此与y轴的交点为：0,yyx，因此3S122(x1)=S2xS2xxyx213122，因此21yxxyx0232解：设雪堆在时辰t的体积dV由已知可得KsdtVr，表面积为S2r。32222，dV3rdrrdr3222两边求导得出：1y2x1yy，解方程得出：yx334.设函数fx在1,上连续，若曲线yfx，直线x1，xtt1与x轴2ftf围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积1Vtt，试求322drdr22rKr，于是KrKtC，由r0r0dtdt1r0，又由于0rKtV3V，82333121121r3Kr，Kr0030861rr0r0t6，雪球全部融化时，r0t6，即雪球全部融化需要6小时。36.有一房间容积为100m，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改进房间yfx所满足的微分方程，并求2y的解.x29的空气质量，用一台风量为103m/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空解：由题意可知Vtt1f212xdxtftf3气，同时以相同的风量将混杂均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？则t2122223fxdxtftf，两边对t求导，3fttfttft1解：设t时辰二氧化碳的浓度为x，在时间间隔t,tdt，浓度改变dx22tx,ftfxy，得xy3y2xy，dydx3yx22yx100.04%dx10xdt10xdt100dx0.004dt10xdt100dxdtdxdt，两边积分可得：4100x41010lnx410t4410Cx104Cet10可降至m0以内。（设湖水中A的浓度是均匀的）。解：设从2000年初（令此时，t0）开始，第t年湖泊中污染物A的总量为mt，48104由于t0,x1210Ct44etx因此4108101010,0.07%x7.有一容积为5003m的水池，原有1003m的清水，现在每分钟放进23m浓度为50%浓度为m0VV6mVdtm06drmVm，，排出量为：dtdtV33，则在时间间隔t,tdt上，，则在时间间隔t,tdt上，排入湖泊中A的量近似为的某溶液，同时每分钟放出13m溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。tmmm0，分别变量解方程：03mt的改变量为：dmdtmCe632解：设t时辰溶液中溶质的量为x，在时间间隔t,tdt，质量改变dx250%1x100tdtdxdxdtx100t1，这是一阶线性微分方程代入初始条件t9mm05m，m0meC，于是3219022先解对应的齐次方程：x12ctt100tc2xc10012t，再解非齐次方程t2100tc100cxct100t令mm，t6ln3，即至多需要经过t6ln3年，湖泊中污染物A的含量才03m0.12%，其中的空气含的二氧化碳，现以可以降至m0以内。9.已知某车间的容积为30306t0,x0c0x由于122t100100tt，当水池充满时，含二氧化碳0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不高出0.06%，（假设输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。x100t500,t400分钟，溶液浓度为48%