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必修5数列知识点总结及题型归纳必修5数列知识点总结及题型归纳必修5数列知识点总结及题型归纳必修5--数列知识点总结及题型归纳数列一、数列的看法1)数列定义:按必定次序摆列的一列数叫做数列;2)通项公式的定义:假如数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。比方:①:1,2,3,4,5,1111②:1,,,,2345(3)数列的函数特色与图象表示:456789序号:123456项:4567894)数列分类:①按数列项数是有限还是无穷分:有穷数列和无量数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递加数列、递减数列)、常数列和摇动数列。例:以下的数列,哪些是递加数列、递减数列、常数列、摇动数列?(1)1,2,3,4,5,6,(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,2/20a,a,(5)数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:S1(n1)anSn1(n≥2)Sn例:已知数列{an}的前n项和sn2n23,求数列{an}的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义:一般地,假如一个数列从第起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差平时用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n
2项或an1and(n1)。例:等差数列an2n1,anan1题型二、等差数列的通项公式:ana1(n1)d;等差数列(平时可称为AP数列)的单调性:d0为递加数列,d0为常数列,d0为递减数列。例:1.已知等差数列an中,a7a916,a41,则a12等于()A.15B.30C.31D.642.{an}是首项a11,公差d3的等差数列,假如an2005,则序号n等于(A)667(B)668(C)669(D)6703/20题型三、等差中项的看法:定义:假如a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的ab等差中项。此中A2a,A,b成等差数列ab即:2an1ananA22(2ananmanm)例:1.设an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,A.120B.105C.90D.75设数列{an}是单调递加的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A.1B.2C.4D.84/20题型四、等差数列的性质:1)在等差数列an中,从第2项起,每一项为哪一项它相邻二项的等差中项;2)在等差数列an中,相隔等距离的项构成的数列是等差数列;(3)在等差数列an中,对任意m,nN,anam(nm)d,anam(mn);nm(4)在等差数列an中,若m,n,p,qN且mnpq,则amanapaq;题型五、等差数列的前n和的乞降公式:n(a1an)n(n1)12(adSAn2Bn(A,B为常数)nan22212是等差数列)递推公式:Sn(a1an)n(aman(m1))n22例:1.假如等差数列an中,a3a4a512,那么a1a2...a7(A)14(B)21(C)28D)35设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23,a611,则S7等于( )A.13B.35C.495/20D.63设等差数列an的前n项和为Sn,若S972,则a2a4a9=若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且全部项的和为390,则这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a55a3则S9S5已知an数列是等差数列,a1010,其前10项的和S1070,则其公差d等于()21C.1D.2A.B.33337.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{Sn}的n前n项和,求Tn。题型六.对与一个等差数列,Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。例:1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,6/20则前3n项的和为。设Sn为等差数列an的前n项和,S414,S10S730,则S9=4.(06全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S3=1,则S6=S63S12A.3B.1C.11038D.19题型七.判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:an1and(常数)(nN)an是等差数列②中项法:2an1anan2(nN)an是等差数列③通项公式法:anknb(k,b为常数)an是等差数列④前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列例:1.已知一个数列{an}的前n项和sn2n24,则数列{an}为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断已知一个数列{an}的前n项和sn2n2,则数列{an}为)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.没法判断3.数列an满足a1=8,a42,且an22an1an0(nN)7/20①求数列an的通项公式;题型八.数列最值1)a10,d0时,Sn有最大值;a10,d0时,Sn有最小值;2)Sn最值的求法:①若已知Sn,数Snan2bn的最值;可用二次函数最值的求法(an中的正、负分界项,即:
Sn的最值可求二次函N);②也许求出若已知an,则Sn最值时n的值(nN)可以下确定an0或an0。an10an10例:1.等差数列an中,a10,S9S12,则前项的和最大。.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a312,S120,S130①求出公差d的范围,②指出S1,S2,,S12中哪一个值最大,并说明理由。已知{an}是等差数列,此中a131,公差d8。1)数列{an}从哪一项开始小于0?2)求数列{an}前n项和的最大值,并求出对应的值.8/20题型九.利用anS1(n1)求通项.SnSn1(n2)1.已知数列an的前n项和Snn24n1,则设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,求数列{an}的通项公式;3.已知数列aa3,nS1(n1)(an1)1n中,1前和n2①求证:数列an是等差数列②求数列an的通项公式4.设数列{an}的前n项和Snn2,则a8的值为()(A)15(B)16(C)49(D)64等比数列等比数列定义:一、递推关系与通项公式递推关系:an1anq通项公式:ana1qn1推行:anamqnm1.在等比数列an中,a14,q2,则an2.在等比数列an中,a22,a554,则a8=在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a13,前三项和为21,则a3a4a5()A33B72C84D1899/20二、等比中项:若三个数a,b,c成等比数列,则称b为a与c的等比中项,且为bac,注:b2ac是成等比数列的必需而不充分条件.例:1.23和23的等比中项为()(A)1(B)1(C)1(D)2三、等比数列的基天性质,1.(1)若mnpq,则amanapaq(此中m,n,p,qN)(2)qnm2anmanm(nN)an,anam3)an为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4)an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例:1.在等比数列an中,a1和a10是方程2x25x10的两个根,则a4a7( )521(A)(B)(C)222(D)122.在等比数列an中,a1a633,a3a432,anan1①求an②若Tnlga1lga2lgan,求Tn等比数列{an}的各项为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10()10/20A.12B.10C.8D.2+log35四、等比数列的前n项和,na1qn)(q1)Sna1(1a1anq(q1)1q1q例:1.已知等比数列{an}的首相a15,公比q2,则其前n项和Sn2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已a26,6a1a330,求an和Sn3.设f(n)2242721023n10(nN),则f(n)等于()A.2(8n1)B.2(8n11)C.2(8n31)777D.2(8n41)7五.等比数列的前n项和的性质若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,kN*,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列.例:1.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为()A.83B.108C.75D.63已知数列an是等比数列,且Sm10,S2m30,则S3m.等比数列的判断法(1)定义法:an1q(常数)an为等比数列;an(2)中项法:an1anan2(an0)an为等比数列;211/203)通项公式法:4)前n项和法:
ankqn(k,q为常数)anSnk(1qn)(k,q为常数)an
为等比数列;为等比数列。Snkkqn(k,q为常数)an为等比数列。七.利用anS1(n1)求通项.SnSn1(n2)例:1.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an11Sn,3n=1,2,3,,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn5(nN*),证明数列an1是等比数列.求数列通项公式方法1).公式法(定义法)依据等差数列、等比数列的定义求通项12/20例:1已知等差数列{an}满足:a37,a5a726,求an;2.已知数列{an}满足a12,anan11(n1),求数列{an}的通项公式;3.数列an满足a1=8,a42,且an22an1an0(nN),求数列an的通项公式;4.已知数列{an}满足a12,112,求数列an的通项an1an公式;5.设数列{an}满足a10且111,求{an}的通项公1an11an式6.已知数列{an}满足a12,an3an1(n1),求数列{an}的通项公式;7.已知数列{an}满足a12,a24且an2anan12(nN),求数列an的通项公式;8.已知数列an满足1且n1n1n(),求{}a2,a5n2(a5)nN13/20数列an的通项公式;9.已知数列{an}满足a12,且an152n123(an52n2)(nN),求数列an的通项公式;(2)累加法1、累加法适用于:an1anf(n)a2a1f(1)若an1anf(n)(n2),则a3a2f(2)an1anf(n)两边分别相加得an1a1nk1f(n)例:1.已知数列{an}满足a11an1an1,求数列{an}的,224n1通项公式。已知数列{an}满足an1an2n1,a11,求数列{an}的通项公式。3.已知数列{an}满足an1an23n1,a13,求数列{an}的通项公式。4.设数列{an}满足a12,an1an322n1,求数列{an}的通项公式14/20(3)累乘法适用于:an1f(n)an若an1a2a3an1anf(n),则a2f(2),anf(n)f(1),,例:1.已知数列{an}满足an12(n1)5nan,a13,求数列{an}的通项公式。2.已知数列an满足a12,an1nan,求an。3n13.已知a13,an13n1an(n1),求an。3n24)待定系数法适用于an1qanf(n)解题基本步骤:1、确立f(n)2、设等比数列an1f(n),公比为3、列出关系式an11f(n1)2[an2f(n)]4、比较系数求1,25、解得数列an1f(n)的通项公式15/206、解得数列an的通项公式例:1.已知数列{an}中,a11,an2an11(n2),求数列an的通项公式。2.在数列an中,若a11,an12an3(n1),则该数列的通项an_______________3.已知数列{an}满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式。解:设an1x5n12(anx5n)4.已知数列an中,a15,an11an(1)n1,求an6325.已知数列{an}满足an12an43n1,a11,求数列an的通项公式。(5)递推公式中既有Sn又有anS1,n1转变成数列an或Sn的递推把已知关系经过anSnSn1,n2关系,而后采纳相应的方法求解。数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an113Sn,n=1,2,3,,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.2.已知数列aa13,S1(n1)(an1)1n中,前n和n2①求证:数列an是等差数列②求数列an16/20的通项公式3.已知数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn满足1,且a2,a4,a9成等比数列,求数列{an}的通Sn(an1)(an2)6项公式。6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例:1.已知数列{an}满足an12an,a11,求数列{an}的通an2项公式。数列乞降1.直接用等差、等比数列的乞降公式乞降。n(a1an)n(n1)na1(q1)公比含字母时一Snna1dSna1(1qn)1)221q(q定要谈论例:1。已知等差数列{an}满足a11,a23,求前n项和Sn2.已知等比数列{an}满足a11,a23,求前n项和Sn3.设f(n)2242721023n10(nN),则f(n)等于()2nB.2n1C.2n32n4A.7(81)7(81)7(81)D.7(81)2.错位相减法乞降:如:an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.例:1.乞降Sn12x3x2nxn117/20123n2.乞降:Sna2a3ana设{an}是等差数列,{bn}是各项都为
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