高等数学电子教案-第三章

一、弧微分NTRAx0M设函数f

(x)在区间(a,b)内具有连续导数.基点:A(x0

,y0

),M

(x,y)为任意一点,xyo规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;(2)

AM

s,

当AM的方向与曲线正向一致时,s取正号,相反时,s取负号.单调增函数

s

s(

x).设N

(x

x,y

y),如图，MN

MN

MT

NT当x

0时,x

1

(

y

)2

x

1

y2

dx

,MN

(x)2

(y)2MN

s

ds

,MT

(dx)2

(dy)2NT

y

dy

0,

1

y2

dx

,故

ds

1

y2

dx

.

s

s(x)为单调增函数,故

ds

1

y2

dx.弧微分公式NMTRAxyo二、曲率及其计算公式1.曲率的定义曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。M322MS1M1MM

1S2SNN

弧段弯曲程度越大转角越大1S2转角相同弧段越短弯曲程度越大S

S)

M

MCM0yxos弧段MM的平均曲率为K

.设曲线C是光滑的，0M

是基点.MM

s

,M

M

切线转角为

.定义s0

sK

lim曲线C在点M处的曲率s0

sds

ds在lim

d

存在的条件下,

K

d

.注意:(1)

直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.2.曲率的计算公式设y

f

(

x)二阶可导,tan

y,dx,y1

y2有

arctan

y,

d

3

.(1

y2

)2y

k

ds

1

y2

dx.二阶可导,

x

(t

),设

y

(t

),

k

(t

)

(t

)

(t

)

(t

)

.3[

2

(t

)

2

(t

)]2

dy

(t

)

,dx

(t

).

3

(t

)d

2

y

(t

)

(t

)

(t

)

(t

)dx2例1

抛物线

y

ax2

bx

c

上哪一点的曲率最大?解

y

2ax

b,

y

2a,[1

(2ax

b)2

]22a

k

3

.2a显然,

当x

b

时,

k最大.又(b22a

4a

4ac,

)为抛物线的顶点,b抛物线在顶点处的曲率最大.点击任意处\暂停到1

(R为圆弧轨道R的半径).的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段(如图),使曲率连续地由零过渡例2

铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处.16Rl103，RA

的曲率近似为Rl

1)(时，在终端R为零,并且当

l

很小缓冲段OA，其中l

为OA

的长度，验证缓冲段OA

在始端O

的曲率通常用三次抛物线y

．作为xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)lxyA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)证

如图x的负半轴表示直道ROA是缓冲段,AB是圆弧轨道.在缓冲段上,1y

2Rl

Rlx2

,

y

1

x.在x

0处,

y

0,

y

0,

故缓冲始点的曲率k0

0.实际要求

l

x0

,l0x22Rl1x

x0y有l

22Rl1l

,2R0x

x0Rl

1

xyRlR

1

l

1

,故在终端A的曲率为x

x03(1

y2

)2Ayk

3)24R2l

2(1

1Rl

1,R1得kA

R

.l

2略去二次项

,4R2xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)l三、曲率圆与曲率半径y

f

(

x)kMD

1定义

设曲线

y

f

(

x)

在点M

(

x,

y)

处的曲率为k(k

0).在点

M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,

使

DMk作圆(如图),称此圆为曲线在点M

处的曲率圆.

1

.以D

为圆心,

为半径D

曲率中心,

曲率半径.xyo注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.k即

1

,

k

1

.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例3

飞机沿抛物线y

xyoQP4000体重70千克.求俯冲到原点时,

对座椅的压力.单位为米

俯冲飞行,)在(

原点O

处速度为v

秒,x2解如图,受力分析F

Q

P,视在点o作匀速圆周运动,.mv

2

F

O点处抛物线轨道的曲率半径2000

x0x0yx

0,20001

.x0y.20001x

x0得曲率为

k

曲率半径为

2000

米.2000

F

70

400

25600(牛) 571.4(千克),

Q

70

千克力

.45千(71克)(力),

641.5(千克力).即:

对座椅的压力为641.5千克力.四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:

弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).思考题椭圆x

2cos

t

,些点处曲率最大？y

3sin

t上哪思考题解答3[1

(

y)2

]26|

y

|k

3(4sin

2

t

9cos2

t

)263(4

5cos2

t

)23要使k

最大，必有(4

5cos2

t

)2

最小，2

23

t

,此时k

最大，一、填空题：1、曲率处处为零的曲线为

；曲率处处相等的曲线为

.2、抛

物

线

在

(2,-1)

处

的

曲

率

为

；曲率半径为

.3、曲线

.二、求曲线径.在(0,0)处的曲率为在点处的曲率及曲率半三、求曲线在

处的曲率

.在任何一点处曲率半径为

.四、证明曲线练习题五、曲线弧

y

sin

x

(0

x

)

上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径

.六、曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指数曲线y

e

x