电路分析(第10章)课件

10.1正弦量及其相量表示

第十章正弦稳态电路的分析10.2电路定律的相量表示

10.3正弦稳态电路的分析

10.4单口网络的相量模型10.5正弦稳态响应的叠加正弦波形是周期波形当中，最简洁，最平滑的波形正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。在第十章到十三章里，将研究电路在正弦信号激励下的稳态响应问题，即正弦稳态分析在通讯，无线以及电力系统中，正弦电压、电流是最基本最常见的。§10.1正弦量及其相量表示

一、正弦量随时间按照正弦规律或者余弦规律变化的量，统称为正弦量。本书采用余弦函数。设右图中正弦电流i的数学表达式为iu+_1.振幅Im

Im称为正弦量的振幅，即正弦量的最大值imax。当时，正弦量有最小值imin=

-Im。imax-imin=2Im

称为正弦量的峰－峰值。正弦量在t

=0时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称初相。即3.初相(位)ψi

初相的单位用弧度或度表示，通常取|ψi|≤1800。它与计时零点有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的.正弦量随时间变化的图形称为正弦波。Im0Im0Im0Im4.正弦波形二、两个同频率正弦量之间的相位差设两个同频率正弦量u和i分别为：两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果。设j

表示电压u和电流i之间的相位差。则当一个正弦信号作用于电路时，电路各部分的电压、电流都是同一频率的正弦量，但他们的相位往往不同，许多情况下，常需要研究他们之间的相位关系上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数。若

=0，称u和i同相；若

>0，称u超或称i滞后u；若

<0，称u滞后i或称i超前u；若|

|

=

π，称u和i反相；若|

|

=

π/2

，称u和i正交。

电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。三、正弦量的有效值正弦量的有效值用来表示正弦交流电的大小。有效值定义：设两个相同的电阻，分别流过周期电流和直流电流。如果在周期信号的一个周期内，两个电阻消耗的能量相等，则该直流电流的数值为周期电流的有效值，表明两者在能量消耗方面具有相同的效果。周期电流i(t)在一个周期T时间内在电阻R上消耗的电能为直流电流I在一个周期T时间内在电阻R上消耗的电能为四、正弦量的相量表示相量——用于表示正弦量的复数1.复数的表示形式

FabO+j+1θ2)乘法运算

(a)代数形式

(b)指数形式

即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角的和。(c)极坐标形式

可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。3)除法运算

(a)代数形式

(b)指数形式

(c)极坐标形式

可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。4)旋转因子

根据欧拉公式可得e

jπ/2=j，e

-jπ/2=

-j，e

jπ=

-1。因此“±j

”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以j

，等于把该复数乘以-j，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2。复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。复数ejθ

=1∠θ是一个模等于1，辐角为θ的复数。任意复数F1=∣F1∣ejθ1乘以ejθ等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ

，而F1的模值不变，所以ejθ称为旋转因子。一个正弦量可用带有旋转因子的的相量表示1.相量的概念

3、正弦量的相量表示

如果复数中的辐角，则F就是一个复指数函数。利用欧拉公式可展开为从而，正弦交流电流2.相量的运算

正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相量运算如下：1)同频率正弦量的代数和

设它们的代数和为正弦量i，则设上式在任何时刻都成立，则有2)正弦量的微分

上式表明：复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；正弦量的导数是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以jω，即表示di/dt

的相量为该相量的模为ωI，辐角则超前原相量π/2。对

i的高阶导数

dni/dt

n，其相量为。设3)正弦量的积分

上式表明：复指数函数实部的积分等于复指数函数积分的实部；该相量的模为I/ω，辐角则滞后原相量π/2。对

i的

n重积分，其相量为。正弦量的积分结果为同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以jω，即表示的相量为设(3)由题意，设

，其相量为(2)由题意，设

，其相量为§10.2电路定律的相量形式

一、电阻元件中电压与电流的相量形式

则从而(电压与电流同相)根据欧姆定律，有+_即+_电阻元件的相量模型

O+j+1电阻元件的相量图三、电容元件中电压与电流的相量形式

+_则(电压滞后于电流)电容相量模型+_电容的相量图O+j+1容抗XC=

UC/IC=1/(ωC)

的量纲与电阻相同，为欧姆(Ω)。

ω=

0

时，1/(ωC)→∞，此时电容相当于开路。

四、基尔霍夫定律的相量形式

正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率正弦量。对电路中的任一结点(或闭合面)，在时域内有KCL方程：

KCL方程的相量形式对电路中任一回路(或闭合结点序列)，在时域内有KVL方程：

KVL方程的相量形式RjωLabcd+_+_+_RLabcd+_+_+_例2：正弦电流源iS的有效值为5A，ω=1000rad/s，初相为0，R=3Ω，L=1H，C=1μF。求uad和ubd。解：

画出相量形式的电路图。则同电阻的串联电路相似，对于n

个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：五、阻抗及导纳的串并联

各个阻抗的电压分配为ZeqZ1Z2++--+-Zn+-1.阻抗的串联

同电阻的并联电路相似，对于n

个导纳并联而成的电路，其等效导纳为：2.阻抗的并联

各个导纳的电流分配为Yeq+-Y1Y2Yn例4已知

Z1=(10+j6.28),Z2=(20-j31.9),Z3=(15+j15.7)。求Zab。Z1Z2Z3ab解：解：RjL+_+++___例5已知图示RLC串联电路中

R=

15，L=

12mH，C=

5F，端电压，

试求等效阻抗

Zeq、电路中

的电流

i

及各元件的电压相量。例6图示电路中

R1=10，

L=0.5mH，R2=1000，

C=10F，U=100V，

ω=314rad/s，求各支路电流和电压。解：ZR2与ZC的并联等效阻抗为Z10，有则

设R1jL+_++__+_R21总的输入阻抗

Zeq

为各支路电流和电压

计算如下：OR1jL+_++__+_R21小结：1.正弦稳态解是微分方程的特解，应用相量法可将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入相量运算电路，不必列写时域微分方程，而直接列写代数方程。3.直流电路可看成f=0时正弦稳态分析的一个特例。电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较：可见二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路的相量分析中。在用相量法分析时，电路方程是以相量形式表示的代数方程，计算为复数运算。§10.3正弦稳态电路的分析ïïîïïíì====ååGuiRiuuKVLiKCL

：

0

：

0

：

：

或元件约束关系电阻电路

：

0

：

0

：

：

ïïîïïíì====ååUYIIZUUKVLI

KCL&&&&&&或元件约束关系正弦电路相量分析列写电路的回路电流方程。例7

解：+_R1R2R3R4例8列写电路的结点电压方程。

解：+_+_21Y1Y2Y3Y4Y5结点1：

结点2：

方法(1)电源变换

解：例9

Z2Z1Z3Z+-Z2Z1ZZ3方法(2)戴维宁等效变换

ZeqZ+-Z2Z1Z3+-例10用叠加定理计算电流。解：Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3(1)单独作用时（短路）(2)单独作用时（开路）一、阻抗与导纳（1）阻抗Z

N0+-

线性无源一端口N0在正弦激励下处于稳态时，端口电压相量与电流相量的比值定义为该一端口的复阻抗Z，即：Z+-单位为Ω§10.4单口网络的相量模型其中复阻抗模–阻抗阻抗角电阻电抗如果N0内部仅含单个元件R、L或C，或串联组合，则对应的复阻抗分别为：感抗容抗N0内部为RLC