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文档简介

1.邻域:复习3.复合函数2.点a的去心的邻域:分解方法：从外到内.4.基本初等函数和初等函数(应认识).1第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限2回顾：1.数列的定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).2.数列的分类:3问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?由于只要只要只要5一、数列极限的精确性定义定义：如果数列没有极限,就说数列是发散的.表示每一个或任给的；表示至少有一个或存在.6注意：73.几何解释:至多有有限个点：有无限个点：当n>N时，只有有限个(至多只有N个)落在其外.结论：对数列增删有限项,不影响数列极限的存在性,也不影响极限值.8例2.

已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故也可由取10例3.证:两边取自然对数得取12例4.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.14定理2如果数列收敛，则该数列一定有界.证：由定义,2.收敛数列的有界性15说明:例如,虽有界但不收敛.数列即：数列有界是数列收敛的必要条件.3)逆否命题：无界数列必定发散.注意：有界数列不一定收敛，但收敛必有界.2)此性质的逆命题不一定成立.即有界数列不一定收敛.163.收敛数列的保号性定理3证：由定义,同理可证的情况.推论从某项起有(或局部保号性实际是保号性定理的逆否命题.则(或174.收敛数列与子数列的关系子数列定义：在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).例如，定理418三、极限的存在准则1.夹逼准则(P50)证：则使得由条件(1)准则Ⅰ:20例5.

证明证:

利用夹逼准则.且由于(P57题4(2))21证：(舍去)的极限存在.例6.证明数列23内容小结1.数列极限的“–N

”定义及应用(证明极限)2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;

保号性;收敛数列与子数列的关系.3.极限存在准

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