平面与平面平行的性质 省赛获奖-精讲版课件

2．2.3平面与平面平行的性质1．下列四个命题中，假命题是()C

A．如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行，则α∥β

B．平行于同一平面的两个平面平行 C．如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，则α∥β

D．如果平面α内任意一条直线都与平面β平行，则α∥β2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()DA．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数多条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3．下列命题中，真命题的个数是()D

①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面没有公共点；③两个平面平行等价于一个平面内的任意一条直线与另一个平面没有公共点．A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列命题中，真命题的个数是()C

①如果两个平面平行，那么分别在两个平面内存在直线a、b，使a∥b；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；③如果两个平面平行，那么第一个平面内的直线与第二个平面内的直线平行．

B．1个D．3个A．0个C．2个解析：①、②真，③假．重点面面平行的性质定理

1．面面平行的性质(1)：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：α∥β，γ∩α

＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.如图1. 图1

2．面面平行的性质(2)：α∥β，l⊂α⇒l∥β.

特别注意：本定理既是面面平行的性质定理，也是线面平行的判定定理，因此证明线面平行，也可借助于面面平行．难点面面平行的判定及性质中的关系转换

利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题． (1)两个平面平行，可得其中一平面内的任一直线平行于另一个平面，此性质定理可简记为：面面平行，则线面平行； (2)两个平面平行，可得两个平面与第三个平面相交，它们的交线平行，而不是两个平面内的任意两条直线平行，此性质定理可简记为：面面平行，则线线平行．面面平行的性质定理的应用例1：如图

2，正方体ABCD－A1B1C1D1

中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF， 求证：EF∥平面BB1C1C.图2＝＝证法一：连接AF并延长交BC于M，连接B1M，∵AD∥BC，∴AFD∽MFB，∴

AFFMDFBF.又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.∴

AFAEFMB1E，∴EF∥B1M，B1M⊂平面BB1C1C.∴EF∥平面BB1C1C.证法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC⊂BB1C1C.＝∴FH∥平面BB1C1C.由FH∥AD可得BFBDBH

.

BA

∴EH∥B1B，B1B⊂平面BB1C1C.

∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H.

∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF⊂平面FHE.

∴EF∥平面BB1C1C.证法一为了证线面平行，先证线线平行．证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内．

1－1.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直线分别交α于A、B，交β于C、D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为_______.20或4图3证明：连接BC.取BC的中点E，分别连接ME、NE，则ME∥AC，∴ME∥α.同理：NE∥BD，∴NE∥β.又ME∩NE＝E，∴平面MEN∥平面α.∵MN⊂平面MEN，∴MN∥α.

面面平行的判定定理与性质定理的综合应用 例2：如图3，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等．此题通过巧作辅助线，得到所作平面与底面平行，由性质α

∥β，l⊂α⇒l∥β易得线面平行，进而转化为面面平行，突出了平行问题中的转化思想．图4证明：如图20，作EP⊥BB1

于P，连接PF.在正三棱柱ABC

－A1B1C1

的侧面ABB1A1

中，易知A1B1⊥BB1，2－1.如图4，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.图20＝又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且

BEBP

.A1BBB1∴PF∥BC，则PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF⊂平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理：GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.利用面面平行证线面平行

例3：已知：有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE.＝证法一：如图(1)，连接AQ并延长交BC于G，连接EG，则AQQGDQ

.QB∵AP＝DQ,PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG，

又PQ平面BCE，EG⊂面BCE，

∴PQ∥面BCE.

Ë证法二：如图(2)，分别过P、Q作PK∥AB，

QH∥AB，则PK∥QH，

连接KH，则PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.

∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，

∴PK＝QH，

∴PQHK是平行四边形．∴PQ∥KH，又PQ⊄平面BCE，KH⊂面BCE，∴PQ∥面BCE.证法三：如图(3)，过P作PO∥EB，连接OQ，则OQ∥AD∥BC，面POQ∥面BEC，又PQ⊄平面BCE，故PQ∥面BEC.证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，证法一是作三角形得到的；证法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH；证法三利用了面面平行的性质定理．证法一：如图21，连接EF、AC，AC∩BD＝G，图21显然四边形EFAG为平行四边形，又AF⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE.证法二：取A1B1中点G，连接AG、FG，证明平面AFG∥平面BDE即可．3－1.如图6，在长方体ABCD－A1B1C1D1

中，点