弯曲内力课件

1弯曲内力一、工程实例第一节引言1弯曲内力一、工程实例第一节引言2二、基本概念◆

受力特点：◆

变形特点：外力垂直于其轴线或外力偶作用面在轴线所在平面内。变形时杆件的轴线由直线变成曲线。1.弯曲变形的特点2.梁：以弯曲为主要变形的杆件。2二、基本概念◆受力特点：◆变形特点：外力垂直于其轴线或33.梁的计算简图◆

梁的简化：通常以梁的轴线代替◆

载荷类型：集中力、分布载荷、集中力偶◆

支座类型：FRAAAA(2)活动铰支座A(1)固定铰支座FRAyAFRAx33.梁的计算简图◆梁的简化：通常以梁的轴线代替◆载荷4(3)固定端A4.静定梁的基本形式◆

简支梁◆

外伸梁◆

悬臂梁FRAyFRAxMAA4(3)固定端A4.静定梁的基本形式◆简支梁◆外伸梁◆556横截面对称轴梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴线与外力在同一平面内纵向对称面：由竖向对称轴与梁的轴线一起构成6横截面对称轴梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴7当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形后梁的轴线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。

5.平面弯曲7当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形5.平面弯曲8

[例1]起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38kN/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.q

=38kN/mF=100kN8[例1]起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L9第二节梁的支座反力梁的支座反力计算举例。[例2]试求图示简支梁A、B支座处的约束反力。解:(1)取梁AB为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得

9第二节梁的支座反力梁的支座反力计算举例。[例2]试求10[例3]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解:(1)取外伸梁AC为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得10[例3]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解11[例4]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬臂梁AB为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得11[例4]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬[例5]已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力BAalFFAyFAxFBABF第三节剪力和弯矩一、梁横截面上的内力解得[例5]已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.解求内力——截面法

弯曲构件内力剪力：FS弯矩：MFAyFAxFBABFmmxFAyFSMCFFBCFSM求内力——截面法弯曲构件内力剪力：FS弯矩：MFAyF14二、剪力和弯矩的正负号规定

◆剪力FS符号：

n-n截面的左段相对右段向上错动时，n-n截面上的剪力规定为正值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩顺时针转向为正，即“顺转向为正”。

反之为负。即n-n截面的左段相对右段向下错动时，n-n截面上的剪力规定为负值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩逆时针转向为负，即“逆转向为负”。14二、剪力和弯矩的正负号规定◆剪力FS符号：15

◆弯矩M符号

或以使其作用的微段梁产生凹变形的弯矩规定为正，即“凸向下为正”。

使横截面上部受压、下部受拉的弯矩为正。

反之为负。即以使其作用的梁产生凸变形的弯矩规定为负，即“凸向上为负”。15◆弯矩M符号或以16[例6]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支座反力画受力图，假设剪力和弯矩均为正由平衡方程得剪力由平衡方程得弯矩截取右侧梁段，16[例6]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支17三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假想的将梁截开，取其中的任一段为研究对象；

2.画出所选梁段的受力图，受力图中的剪力FS和弯矩M应假设为正

；

3.

由平衡方程求出剪力

FS；4.

由平衡方程求出弯矩M，其中C为指定截面的形心。17三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假18[例7]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作用，试计算截面1–1、2–2、3–3上的剪力与弯矩。其中1–1截面无限接近于A截面、2–2截面无限接近于B截面、3–3截面无限接近于C截面。解：（1）计算支座反力求得18[例7]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作19（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩

求得（3）计算2–2截面处的剪力和弯矩

求得19（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩求得（3）计算2–20（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩

求得20（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩求得21解：（1）计算支座反力求得[例8]图示外伸梁AC承受10kN的集中力和的集中力偶的作用，试求横截面A+、D-与D+的剪力和弯矩。其中A+代表距A无限近并位于其右侧的截面、D-则代表距D无限近并位于其左侧的截面。21解：（1）计算支座反力求得[例8]图示外伸梁AC承受22（2）计算截面A+处的内力求得（3）计算截面D-处的内力求得22（2）计算截面A+处的内力求得（3）计算截面D-处的内力23（4）计算截面D+处的内力求得23（4）计算截面D+处的内力求得四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面平行的所有外力的代数和。

其中若对截面左侧所有外力求和，则外力以向上为正；若是对截面右侧所有外力求和，外力则以向下为正。2.弯矩M等于截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和。

对于外力，无论是位于截面左侧还是右侧，只要向上，对截面形心的矩都取正值，向下则取负值。至于外力偶，若位于截面左侧，则以顺时针为正；若在右侧，则以逆时针为正。

即“左上右下”外力为正值。

即“左顺右逆”外力偶为正值。四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面25[例9]一简支梁，在CD段内受均布载荷作用，如图所示。试求跨中截面E的弯矩和C截面的剪力。解：（1）计算支座反力由对称性易得支座反力为（2）计算指定截面上的剪力和弯矩截面C：看左侧求其剪力截面E：看左侧求其弯矩25[例9]一简支梁，在CD段内受均布载荷26第四节剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

一、剪力方程和弯矩方程

若以沿梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,这两个函数数学表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

1.剪力方程2.弯矩方程26第四节剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图一、剪力方27◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所

得的图形称为弯矩图；xMM图的坐标系O◆剪力为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。◆弯矩为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。二、剪力图和弯矩图◆以x为横坐标，以剪力FS为纵坐标，绘制所

得的图形称为剪力图；xFSFS

图的坐标系O27◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所xMM图的坐标系28[例10]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷F作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。28[例10]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷29以梁的左端为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图

结论：在集中力作用处，剪力图有突变，而弯矩值没有变化，但弯矩图在该截面处发生转折。29以梁的左端为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图30[例11]如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力由对称性可得支座反力

（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点30[例11]如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷31（3）作剪力图和弯矩图31（3）作剪力图和弯矩图32[例12]如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点32[例12]如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出33（3）作剪力图和弯矩图33（3）作剪力图和弯矩图34[例13]如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集中力偶作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。34[例13]如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集35以梁的最左端A点为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图

结论：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的剪力没有变化，但弯矩图有突变，突变值就等于该处集中力偶矩的值。35以梁的最左端A点为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯36第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系

假设直梁上作用的分布载荷集度q(x)是x的函数，规定q(x)以向上为正。将x轴的坐标原点取在梁的左端.剪力、弯矩、载荷集度间的微分关系式:36第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷37◆剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的

大小；◆弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;◆根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性。说明：37◆剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的◆弯矩图上M(x)图为向上凸的二次抛物线.FS(x)图为向右下方倾斜的直线.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)=q<0xOM(x)M(x)图为向上凸的二次抛物线.FS(x)图为向右下方倾斜的2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0时,向右上方倾斜.当FS(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯403.

若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x)在该截面取得极值（极大值或者极小值）。4.在集中力作用的左、右两侧截面，剪力图有突变，突变值就等于该集中力值；弯矩值没有变化，但是弯矩图的斜率会有突变，即弯矩图将发生转折。

5.在集中力偶作用的左、右两侧截面，剪力没有变化，但是弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩值。403.若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在421.反力：计算支座反力2.分段：根据载荷分段3.画图三、快速画剪力图、弯矩图的基本步骤421.反力：计算支座反力2.分段：根据载荷分段3.43四、五个常用剪力、弯矩图43四、五个常用剪力、弯矩图44FxFS44FxFS第五章-弯曲内力课件46[例14]如图所示悬臂梁，已知均布载荷集度为q，集中力偶矩。试作其剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得46[例14]如图所示悬臂梁，已知均布载荷集度为q，集中47

x

qaB截面C左侧截面（3）画剪力图（2）分段根据载荷将梁分为AB、BC两段qaAB段上有向下的均布载荷作用，此段梁的剪力图为斜向下直线；BC梁段上无分布载荷作用，此段梁的剪力图为水平直线。47xqaB截面C左侧截面（3）画剪力图（2）分48

x

M

A截面B截面C左侧截面（4）画弯矩图AB段梁上有向下的均布载荷作用，此段梁的弯矩图为开口向下的抛物线；BC梁段上无分布载荷作用，此段梁的弯矩图为斜向下直线48xMA截面B截面C左侧截面（4）画弯矩[例15]一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：（1）计算梁的支反力FAFBqCDAB将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无荷载，CD

段有向下的均布荷载.由对称性可知0.21.6120.2（2）分段[例15]一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100（3）剪力图80kN80kN+AC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.FAFBEqCD0.21.612ABxFS1.6160（3）剪力图80kN80kN+AC段水平直线CD段向FAFBEqABCD0.21.612+80kN80kN+（4）弯矩图AC段斜向右上直线CD段开口向下方的抛物线DB段斜向右下直线最大弯矩发生E横截面上.FAFBEqABCD0.21.612+80kN80kN+（452[例16]

如图所示简支梁，在横截面D和C处各作用一集中载荷F。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力由对称性可得支座反力

（2）求控制截面处的剪力和弯矩

根据载荷情况，将梁划分为AC、CD、DB三段。FAFB52[例16]如图所示简支梁，在横截面D和C处各作用一集（2）剪力图FAC段水平直线CD段水平直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.xFSFAFBFA截面C截面D截面（2）剪力图FAC段水平直线CD段水平直线DB段（3）弯矩图AC段斜向右上直线CD段水平线DB段斜向右下直线最大弯矩发生CD段横截面上.FAFBxFSFFxM

注：CD段梁的剪力为零、弯矩为常数，这种特殊的弯曲情况称为纯弯曲。A截面（3）弯矩图AC段斜向右上直线CD段水平线DB段55[例17]如图所示外伸梁，在C处作用一矩的集中力偶，在BD段上作用集度的均布载荷。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图与弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）求控制截面处的剪力和弯矩

根据载荷情况，将梁划分为AC、CB、BD三段，利用截面法，求得各段梁的起点和终点截面处的剪力和弯矩分别为55[例17]如图所示外伸梁，在C处作用一矩解：（1）56A右侧截面C左、右两侧截面B左、右两侧截面D左侧截面56A右侧截面C左、右两侧截面B左、右两侧截面D左侧截57剪力图均为水平直线；弯矩图则均为斜直线；（3）判断剪力图和弯矩图形状

剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的凸二次抛物线。（4）作剪力图和弯矩图AC、CB段：BD段：57剪力图均为水平直线；（3）判断剪力图和弯矩图形状剪力图58[例18]图示外伸梁，在C处作用一集中载荷在AB段作用均布载荷。试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制其剪力图与弯矩图。解：（1）计算支座反力求得58[例18]图示外伸梁，在C处作用一集中载荷解：（1）59（2）求控制截面处的剪力和弯矩

根据载荷情况，将梁划分为AB、BC两段，利用截面法，求得各段梁的起点和终点截面的剪力和弯矩分别为A右侧截面B左、右两侧截面C左侧截面59（2）求控制截面处的剪力和弯矩根据载荷60在D截面处，

则AB段弯矩在D截面处取极值。（3）判断剪力图和弯矩图形状

BC段：剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；

AB段：剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的凸二次抛物线。（5）作剪力图和弯矩图（4）确定弯矩图的极值点

60在D截面处，（3）判断剪力图和弯矩图形状四、关于剪力图、弯矩图的主要结论1.

若无分布载荷，则剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；若有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。特例：当剪力恒为零时，则弯矩图为水平直线(纯弯曲)。2.

若均布载荷向上，弯矩图开口向上；若均布载荷向下，弯矩图开口向下。3.

若

FS(

x0)

=

0

，则在

x0截面处，弯矩图取得极值。4.

在集中横向力作用处，剪力图突变，突变值就等于该集中横向力值，且弯矩图发生转折。5.

在集中力偶作用处，弯矩图突变，突变值就等于该集中力偶矩值。6.

两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。四、关于剪力图、弯矩图的主要结论1.若无分布载荷，则剪62弯曲内力一、工程实例第一节引言1弯曲内力一、工程实例第一节引言63二、基本概念◆

受力特点：◆

变形特点：外力垂直于其轴线或外力偶作用面在轴线所在平面内。变形时杆件的轴线由直线变成曲线。1.弯曲变形的特点2.梁：以弯曲为主要变形的杆件。2二、基本概念◆受力特点：◆变形特点：外力垂直于其轴线或643.梁的计算简图◆

梁的简化：通常以梁的轴线代替◆

载荷类型：集中力、分布载荷、集中力偶◆

支座类型：FRAAAA(2)活动铰支座A(1)固定铰支座FRAyAFRAx33.梁的计算简图◆梁的简化：通常以梁的轴线代替◆载荷65(3)固定端A4.静定梁的基本形式◆

简支梁◆

外伸梁◆

悬臂梁FRAyFRAxMAA4(3)固定端A4.静定梁的基本形式◆简支梁◆外伸梁◆66567横截面对称轴梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴线与外力在同一平面内纵向对称面：由竖向对称轴与梁的轴线一起构成6横截面对称轴梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴68当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形后梁的轴线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。

5.平面弯曲7当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形5.平面弯曲69

[例1]起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38kN/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.q

=38kN/mF=100kN8[例1]起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L70第二节梁的支座反力梁的支座反力计算举例。[例2]试求图示简支梁A、B支座处的约束反力。解:(1)取梁AB为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得

9第二节梁的支座反力梁的支座反力计算举例。[例2]试求71[例3]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解:(1)取外伸梁AC为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得10[例3]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解72[例4]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬臂梁AB为研究对象

(2)作受力图

(3)列平衡方程

(4)解方程

，得11[例4]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬[例5]已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力BAalFFAyFAxFBABF第三节剪力和弯矩一、梁横截面上的内力解得[例5]已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.解求内力——截面法

弯曲构件内力剪力：FS弯矩：MFAyFAxFBABFmmxFAyFSMCFFBCFSM求内力——截面法弯曲构件内力剪力：FS弯矩：MFAyF75二、剪力和弯矩的正负号规定

◆剪力FS符号：

n-n截面的左段相对右段向上错动时，n-n截面上的剪力规定为正值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩顺时针转向为正，即“顺转向为正”。

反之为负。即n-n截面的左段相对右段向下错动时，n-n截面上的剪力规定为负值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩逆时针转向为负，即“逆转向为负”。14二、剪力和弯矩的正负号规定◆剪力FS符号：76

◆弯矩M符号

或以使其作用的微段梁产生凹变形的弯矩规定为正，即“凸向下为正”。

使横截面上部受压、下部受拉的弯矩为正。

反之为负。即以使其作用的梁产生凸变形的弯矩规定为负，即“凸向上为负”。15◆弯矩M符号或以77[例6]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支座反力画受力图，假设剪力和弯矩均为正由平衡方程得剪力由平衡方程得弯矩截取右侧梁段，16[例6]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩解：计算支78三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假想的将梁截开，取其中的任一段为研究对象；

2.画出所选梁段的受力图，受力图中的剪力FS和弯矩M应假设为正

；

3.

由平衡方程求出剪力

FS；4.

由平衡方程求出弯矩M，其中C为指定截面的形心。17三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假79[例7]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作用，试计算截面1–1、2–2、3–3上的剪力与弯矩。其中1–1截面无限接近于A截面、2–2截面无限接近于B截面、3–3截面无限接近于C截面。解：（1）计算支座反力求得18[例7]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作80（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩

求得（3）计算2–2截面处的剪力和弯矩

求得19（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩求得（3）计算2–81（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩

求得20（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩求得82解：（1）计算支座反力求得[例8]图示外伸梁AC承受10kN的集中力和的集中力偶的作用，试求横截面A+、D-与D+的剪力和弯矩。其中A+代表距A无限近并位于其右侧的截面、D-则代表距D无限近并位于其左侧的截面。21解：（1）计算支座反力求得[例8]图示外伸梁AC承受83（2）计算截面A+处的内力求得（3）计算截面D-处的内力求得22（2）计算截面A+处的内力求得（3）计算截面D-处的内力84（4）计算截面D+处的内力求得23（4）计算截面D+处的内力求得四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面平行的所有外力的代数和。

其中若对截面左侧所有外力求和，则外力以向上为正；若是对截面右侧所有外力求和，外力则以向下为正。2.弯矩M等于截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和。

对于外力，无论是位于截面左侧还是右侧，只要向上，对截面形心的矩都取正值，向下则取负值。至于外力偶，若位于截面左侧，则以顺时针为正；若在右侧，则以逆时针为正。

即“左上右下”外力为正值。

即“左顺右逆”外力偶为正值。四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面86[例9]一简支梁，在CD段内受均布载荷作用，如图所示。试求跨中截面E的弯矩和C截面的剪力。解：（1）计算支座反力由对称性易得支座反力为（2）计算指定截面上的剪力和弯矩截面C：看左侧求其剪力截面E：看左侧求其弯矩25[例9]一简支梁，在CD段内受均布载荷87第四节剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

一、剪力方程和弯矩方程

若以沿梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,这两个函数数学表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

1.剪力方程2.弯矩方程26第四节剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图一、剪力方88◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所

得的图形称为弯矩图；xMM图的坐标系O◆剪力为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。◆弯矩为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。二、剪力图和弯矩图◆以x为横坐标，以剪力FS为纵坐标，绘制所

得的图形称为剪力图；xFSFS

图的坐标系O27◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所xMM图的坐标系89[例10]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷F作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。28[例10]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷90以梁的左端为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图

结论：在集中力作用处，剪力图有突变，而弯矩值没有变化，但弯矩图在该截面处发生转折。29以梁的左端为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图91[例11]如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力由对称性可得支座反力

（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点30[例11]如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷92（3）作剪力图和弯矩图31（3）作剪力图和弯矩图93[例12]如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点32[例12]如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出94（3）作剪力图和弯矩图33（3）作剪力图和弯矩图95[例13]如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集中力偶作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。34[例13]如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集96以梁的最左端A点为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图

结论：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的剪力没有变化，但弯矩图有突变，突变值就等于该处集中力偶矩的值。35以梁的最左端A点为坐标原点AC段CB段（3）作剪力图和弯97第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系

假设直梁上作用的分布载荷集度q(x)是x的函数，规定q(x)以向上为正。将x轴的坐标原点取在梁的左端.剪力、弯矩、载荷集度间的微分关系式:36第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷98◆剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的

大小；◆弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;◆根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性。说明：37◆剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的◆弯矩图上M(x)图为向上凸的二次抛物线.FS(x)图为向右下方倾斜的直线.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)=q<0xOM(x)M(x)图为向上凸的二次抛物线.FS(x)图为向右下方倾斜的2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0时,向右上方倾斜.当FS(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯1013.

若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x)在该截面取得极值（极大值或者极小值）。4.在集中力作用的左、右两侧截面，剪力图有突变，突变值就等于该集中力值；弯矩值没有变化，但是弯矩图的斜率会有突变，即弯矩图将发生转折。

5.在集中力偶作用的左、右两侧截面，剪力没有变化，但是弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩值。403.若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在1031.反力：计算支座反力2.分段：根据载荷分段3.画图三、快速画剪力图、弯矩图的基本步骤421.反力：计算支座反力2.分段：根据载荷分段3.104四、五个常用剪力、弯矩图43四、五个常用剪力、弯矩图105FxFS44FxFS第五章-弯曲内力课件107[例14]如图所示悬臂梁，已知均布载荷集度为q，集中力偶矩。试作其剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力求得46[例14]如图所示悬臂梁，已知均布载荷集度为q，集中108

x

qaB截面C左侧截面（3）画剪力图（2）分段根据载荷将梁分为AB、BC两段qaAB段上有向下的均布载荷作用，此段梁的剪力图为斜向下直线；BC梁段上无分布载荷作用，此段梁的剪力图为水平直线。47xqaB截面C左侧截面（3）画剪力图（2）分109

x

M

A截面B截面C左侧截面（4）画弯矩图AB段梁上有向下的均布载荷作用，此段梁的弯矩图为开口向下的抛物线；BC梁段上无分布载荷作用，此段梁的弯矩图为斜向下直线48xMA截面B截面C左侧截面（4）画弯矩[例15]一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：（1）计算梁的支反力FAFBqCDAB将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无荷载，CD

段有向下的均布荷载.由对称性可知0.21.6120.2（2）分段[例15]一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100（3）剪力图80kN80kN+AC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.FAFBEqCD0.21.612ABxFS1.6160（3）剪力图80kN80kN+AC段水平直线CD段向FAFBEqABCD0.21.612+80kN80kN+（4）弯矩图AC段斜向右上直线CD段开口向下方的抛物线DB段斜向右下直线最大弯矩发生E横截面上.FAFBEqABCD0.21.612+80kN80kN+（4113[例16]

如图所示简支梁，在横截面D和C处各作用一集中载荷F。试利用剪力、弯