简谐振动课件

第九章振动利用质点和刚体运动规律研究振动现象1第九章振动利用质点和刚体运动规律研究振动现象1§9.1简谐振动的动力学特征§9.2简谐振动的运动学§9.3简谐振动的能量转换§9.4简谐振动的合成主要内容2§9.1简谐振动的动力学特征主要内容2振动基本概念：机械运动:物体在某一位置附近往复运动的现象.按振动规律：简谐、非简谐、随机振动.按振动原因：自由、受迫、自激、阻尼.1.振动:一个物理量在某一定值附近往复变化的过程.按自由度：单自由度系统、多自由度系统.按振动位移：角振动、线振动.按系统参数特征：线性、非线性振动.2.分类

简谐运动

最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解3振动基本概念：机械运动:物体在某一位置附近往复运动的现象.

弹簧振子的振动

平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。

一.简谐振动§9-1简谐振动的动力学特征

4弹簧振子的振动

平衡位置：质点在某位置所受的力（或振动的成因b惯性a回复力

线性回复力：若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。

公式：是相对于平衡位置的位移。

5振动的成因b惯性a回复力线性回复力：若作用于质点令

弹簧振子的动力学分析得（1）弹簧振子作简谐振动的动力学方程。如质点运动的动力学方程可归结为：的形式，且其中决定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。6令弹簧振子的动力学分析得（1）弹簧振子作简谐振动的转动正向时动力学分析：OAm1.单摆二、简谐振动的几个例子令7转动正向时动力学分析：OAm1.单摆二、简谐振动的几个例子令建立自然坐标系：若很小，则近似：,则：因此，（2）上式即为单摆简谐振动的动力学方程O或：8建立自然坐标系：若很小，则近似：,则：2.

复摆

任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。

一刚体悬挂于O点，刚体的质心C距刚体的悬挂点O之间的距离是l。选角增加的方向为正方向，即：z轴垂直纸面向外,很小时：

*（C点为质心）转动正向CO92.

复摆任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。一刚体复摆动力学令*（C点为质心）转动正向CO10复摆动力学令*（C点为质心）转动正向CO10弹簧振子单摆复摆由11弹簧振子单摆复摆由11三、简谐振动的判据且常量取决于振动系统本身1.判断位移与时间是否满足微分方程：（1）2.判断所受力或力矩是否为线性回复力或力矩对机械振动，用方程（1）或用线性回复力、线形回复力矩的概念定义简谐振动是等价的。超出机械运动范围，仍可用（1）式定义简谐振动。12三、简谐振动的判据且常量取决于振动系统本身1.判断位移与时间[例题1]弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动.（证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。）Axxl根据牛顿第二定律得[解]与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动.平衡位置有13[例题1]弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.[例题2]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a,水面以下高度为b.水密度为ρ，木块密度为ρ，不计水的阻力.现用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐.[证]abρρS平衡时平衡时：重力浮力14求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.[例题2]水任意位置木块受到的合外力为：木块作谐振动.即令ρρS任意位置abxOx15任意位置木块受到的合外力为：木块作谐振动.即令ρρS证

设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则物体受力平衡，有按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x’1和x’2，即x=x’1+x’2,则物体受力为[例3]如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率。16证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则物将式（1）代入式（2）得式中

为常数，则物体作简谐运动，振动频率为讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。由式（3）得而x=x’1+x’2,，则得到)/,/2211kFxkFx-=¢-=¢17将式（1）代入式（2）得式中简谐运动动力学方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件为:解得简谐运动方程§9.2简谐振动的运动学一、简谐振动的运动方程18简谐运动动力学方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件二、描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：2.

频率（）单位时间内完成的全振动的次数：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。19二、描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用3.振幅A定义：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它的大小决定于振动的初始状态。由因此，（2）如：t=0时203.振幅A定义：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它4.

相位和初相位振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。叫简谐振动的相位。当 时，叫初相位。由：可得：（3）

相位的意义:表征任意时刻t物体振动状态（相貌）.物体经一周期的振动，相位改变2π若已知初始条件：t=0时，，则⑶式有：214.

相位和初相位振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。（4）（5）例1

一弹簧振子，t＝0时，求振动的初位相。解：因此，在第一象限，22⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。（4）（5）例1一弹簧常数和的确定初始条件

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.23常数和的确定初始条件对给定振动系统，周期由系5.相位差：两振动相位之差。讨论下列几种情况：（1）若是的整数倍，则振动同相位；（2）若是的奇数倍，则振动相位相反；（3）若，则称超前；（4）若，则称落后；相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。245.相位差：两振动相位之差。讨论下列几种情况：例2讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：设：则，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。25例2讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：设：则，图图图取26图图图取26二振动相位差(

2-1

),若(

2-1

)=2n,n为整数，称两简谐振动同相位.若(

2-1

)=(2n+1),n为整数，称两简谐振动反相位.6.两简谐振动步调的比较

[例题3]二同频率不同振幅的简谐振动表示为的情况比较两种振动.试分别就27二振动相位差(2-1),若(2-[解]（1）二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.(2)二振动相位相反，即二振动反步调.28[解]（1）二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.(2)总结：

⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。29总结：⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密集和疏散”.初相位决定曲线在横轴上的位置。txO初相位=0txO描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。三、简谐振动的图象：x-t图线

30振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密集和疏散”.[例题4]质点作简谐振动的曲线如图所示，试根据图推出该质点的振动式。t/s0241x/cm再由，在时，，从图判知，v>0，即故在两值中，只能取。又据图有，代入振动式得[解]因，从图得A=4，下面计算和。据图有时，，代入振动式得31[例题4]质点作简谐振动的曲线如图所示，试根再由时，，可知。故取于是求得质点的振动式为本题在计算过程中取的单位为rad/s，t的单位为s，的单位为rad，x和A的单位为cm。另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹或相图。位置和速度的关系曲线就是它的相图32再由时，旋转矢量

自Ox轴的原点O作一矢量

，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量

在

Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.

四、简谐振动的矢量表示法

33旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动

以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.34以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0时，矢量与坐标轴的夹角为，矢量以角速度逆时针匀速转动。35用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。⑵矢端的速度大小为，在x轴上的投影为：⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在x轴上的投影：36由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的[例题5]如图右方表示某简谐振动的x-t图，试用作图方法画出t1和t2时刻的旋转矢量的位置.txO

t1

t2

P1P2xOAABB[解]37[例题5]如图右方表示某简谐振动的x-t图，试用作以水平的弹簧振子为例动能xO=0x势能§9.3简谐振动的能量转换

38以水平的弹簧振子为例动能xO=0x势能总能总机械能守恒，即总能量不随时间变化.OxtAx=costω0EA212k=EEkEPtO39总能总机械能守恒，即总能量不随时间变化.OxtAx=co这些结论同样适用于任何简谐振动.(3)振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度.(1)任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.(2)总能量不变.弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半.结论(4)Ek与Ep相位相反.(5)Ek与Ep的变化频率都是原频率的两倍.40这些结论同样适用于任何简谐振动.(3)振幅不仅给出简谐振[例题6]弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡位置移开m，弹簧拉力为24N，随即释放，形成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（2）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能.

[解]（1）A＝0.04m(2)取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60

[cos(w0t+α)=1/2]:41[例题6]弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡位置移

[例7]质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？42[例7]质量为的物体，以振幅（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（4）时由已知（3）解；(4)何处动势能相等?求:(3)44（4）时由已知（3）解；(4)何处动势能相等?求:(3)44可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程.积分既得令45可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程.积分既得一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合位移：令：§9.4简谐振动的合成46一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简则：因此，（1）

⑴式表明：

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动47则：因此，（1）⑴式表明：两个同方向同用旋转矢量法同样得上述结果12或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频率旋转，之间的夹角不变，也以旋转，平行四边形的形状不变。

48用旋转矢量法同样得上述结果12或者：由简谐振动（1）相位差讨论：

49（1）相位差讨论：49（2）相位差50（2）相位差50（3）一般情况加强减弱小结：（1）相位差（2）相位差51（3）一般情况加强减弱小结：（1）相位差（2）相位差51二、两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成质点运动轨迹

（椭圆方程）52二、两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成质点运动轨迹（椭（1）或

讨论（2）

53（1）或讨（2）53（3）

讨论54（3）讨54

用旋转矢量描绘振动合成图55用旋转矢量描绘振动合成图55

两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图56两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图56

三、两个同方向不同频率简谐运动的合成57三、两个同方向不同频率简谐运动的合成57

频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.讨论,的情况

58频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动频率振幅部分

方法一振幅

振动频率59合振动频率振幅部分方法一振幅振动频率59拍频（振幅变化的频率）60拍频（振幅变化的频率）60

方法二：旋转矢量合成法61方法二：旋转矢量合成法61振幅

振动圆频率拍频62振幅振动圆频率拍频62四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成利萨如图形一般来说，两个相互垂直的简谐振动，由于具有不同频率，其相位差将随时间而变化，因而其合成振动的轨迹一般不能形成稳定的图形。但如果分振动的频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初位相有关，得出的图形叫利萨如图。利用电子示波器，调整输入信号的频率比，可以在荧光屏上观察到不同样式的利萨如图形。因此，可由一个振动的已知频率，通过测量求出另一个振动的未知频率。工程上常用这种方法来测定未知频率。63四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成利萨如图形一般来说不同频率比例的利萨如图形

1:11:11:24:34:38:69:78:6(方波)7:4利萨如图形的演示及绘制64不同频率比例的利萨如图形1:11:11:2作业9.2.29.2.69.2.159.3.265作业9.2.265第九章振动利用质点和刚体运动规律研究振动现象66第九章振动利用质点和刚体运动规律研究振动现象1§9.1简谐振动的动力学特征§9.2简谐振动的运动学§9.3简谐振动的能量转换§9.4简谐振动的合成主要内容67§9.1简谐振动的动力学特征主要内容2振动基本概念：机械运动:物体在某一位置附近往复运动的现象.按振动规律：简谐、非简谐、随机振动.按振动原因：自由、受迫、自激、阻尼.1.振动:一个物理量在某一定值附近往复变化的过程.按自由度：单自由度系统、多自由度系统.按振动位移：角振动、线振动.按系统参数特征：线性、非线性振动.2.分类

简谐运动

最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解68振动基本概念：机械运动:物体在某一位置附近往复运动的现象.

弹簧振子的振动

平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。

一.简谐振动§9-1简谐振动的动力学特征

69弹簧振子的振动

平衡位置：质点在某位置所受的力（或振动的成因b惯性a回复力

线性回复力：若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。

公式：是相对于平衡位置的位移。

70振动的成因b惯性a回复力线性回复力：若作用于质点令

弹簧振子的动力学分析得（1）弹簧振子作简谐振动的动力学方程。如质点运动的动力学方程可归结为：的形式，且其中决定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。71令弹簧振子的动力学分析得（1）弹簧振子作简谐振动的转动正向时动力学分析：OAm1.单摆二、简谐振动的几个例子令72转动正向时动力学分析：OAm1.单摆二、简谐振动的几个例子令建立自然坐标系：若很小，则近似：,则：因此，（2）上式即为单摆简谐振动的动力学方程O或：73建立自然坐标系：若很小，则近似：,则：2.

复摆

任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。

一刚体悬挂于O点，刚体的质心C距刚体的悬挂点O之间的距离是l。选角增加的方向为正方向，即：z轴垂直纸面向外,很小时：

*（C点为质心）转动正向CO742.

复摆任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。一刚体复摆动力学令*（C点为质心）转动正向CO75复摆动力学令*（C点为质心）转动正向CO10弹簧振子单摆复摆由76弹簧振子单摆复摆由11三、简谐振动的判据且常量取决于振动系统本身1.判断位移与时间是否满足微分方程：（1）2.判断所受力或力矩是否为线性回复力或力矩对机械振动，用方程（1）或用线性回复力、线形回复力矩的概念定义简谐振动是等价的。超出机械运动范围，仍可用（1）式定义简谐振动。77三、简谐振动的判据且常量取决于振动系统本身1.判断位移与时间[例题1]弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动.（证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。）Axxl根据牛顿第二定律得[解]与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动.平衡位置有78[例题1]弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.[例题2]水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a,水面以下高度为b.水密度为ρ，木块密度为ρ，不计水的阻力.现用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐.[证]abρρS平衡时平衡时：重力浮力79求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.[例题2]水任意位置木块受到的合外力为：木块作谐振动.即令ρρS任意位置abxOx80任意位置木块受到的合外力为：木块作谐振动.即令ρρS证

设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则物体受力平衡，有按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x’1和x’2，即x=x’1+x’2,则物体受力为[例3]如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率。81证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则物将式（1）代入式（2）得式中

为常数，则物体作简谐运动，振动频率为讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。由式（3）得而x=x’1+x’2,，则得到)/,/2211kFxkFx-=¢-=¢82将式（1）代入式（2）得式中简谐运动动力学方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件为:解得简谐运动方程§9.2简谐振动的运动学一、简谐振动的运动方程83简谐运动动力学方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件二、描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：2.

频率（）单位时间内完成的全振动的次数：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。84二、描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用3.振幅A定义：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它的大小决定于振动的初始状态。由因此，（2）如：t=0时853.振幅A定义：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它4.

相位和初相位振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。叫简谐振动的相位。当 时，叫初相位。由：可得：（3）

相位的意义:表征任意时刻t物体振动状态（相貌）.物体经一周期的振动，相位改变2π若已知初始条件：t=0时，，则⑶式有：864.

相位和初相位振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。（4）（5）例1

一弹簧振子，t＝0时，求振动的初位相。解：因此，在第一象限，87⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。（4）（5）例1一弹簧常数和的确定初始条件

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.88常数和的确定初始条件对给定振动系统，周期由系5.相位差：两振动相位之差。讨论下列几种情况：（1）若是的整数倍，则振动同相位；（2）若是的奇数倍，则振动相位相反；（3）若，则称超前；（4）若，则称落后；相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。895.相位差：两振动相位之差。讨论下列几种情况：例2讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：设：则，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。90例2讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：设：则，图图图取91图图图取26二振动相位差(

2-1

),若(

2-1

)=2n,n为整数，称两简谐振动同相位.若(

2-1

)=(2n+1),n为整数，称两简谐振动反相位.6.两简谐振动步调的比较

[例题3]二同频率不同振幅的简谐振动表示为的情况比较两种振动.试分别就92二振动相位差(2-1),若(2-[解]（1）二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.(2)二振动相位相反，即二振动反步调.93[解]（1）二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.(2)总结：

⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。94总结：⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密集和疏散”.初相位决定曲线在横轴上的位置。txO初相位=0txO描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。三、简谐振动的图象：x-t图线

95振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密集和疏散”.[例题4]质点作简谐振动的曲线如图所示，试根据图推出该质点的振动式。t/s0241x/cm再由，在时，，从图判知，v>0，即故在两值中，只能取。又据图有，代入振动式得[解]因，从图得A=4，下面计算和。据图有时，，代入振动式得96[例题4]质点作简谐振动的曲线如图所示，试根再由时，，可知。故取于是求得质点的振动式为本题在计算过程中取的单位为rad/s，t的单位为s，的单位为rad，x和A的单位为cm。另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹或相图。位置和速度的关系曲线就是它的相图97再由时，旋转矢量

自Ox轴的原点O作一矢量

，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量

在

Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.

四、简谐振动的矢量表示法

98旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动

以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.99以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0时，矢量与坐标轴的夹角为，矢量以角速度逆时针匀速转动。100用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。⑵矢端的速度大小为，在x轴上的投影为：⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在x轴上的投影：101由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的[例题5]如图右方表示某简谐振动的x-t图，试用作图方法画出t1和t2时刻的旋转矢量的位置.txO

t1

t2

P1P2xOAABB[解]102[例题5]如图右方表示某简谐振动的x-t图，试用作以水平的弹簧振子为例动能xO=0x势能§9.3简谐振动的能量转换

103以水平的弹簧振子为例动能xO=0x势能总能总机械能守恒，即总能量不随时间变化.OxtAx=costω0EA212k=EEkEPtO104总能总机械能守恒，即总能量不随时间变化.OxtAx=co这些结论同样适用于任何简谐振动.(3)振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度.(1)任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.(2)总能量不变.弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半.结论(4)Ek与Ep相位相反.(5)Ek与Ep的变化频率都是原频率的两倍.105这些结论同样适用于任何简谐振动.(3)振幅不仅给出简谐振[例题6]弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡位置移开m，弹簧拉力为24N，随即释放，形成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（2）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能.

[解]（1）A＝0.04m(2)取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60

[cos(w0t+α)=1/2]:106[例题6]弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡位置移

[例7]质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？107[例7]质量为的物体，以振幅（2）解（1）已知；(2)求:(1)108（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（4）时由已知（3）解；(4)何处动势能相等?求:(3)109