动能定理课件

1理论力学第十三章动能定理1理论力学第十三章动能定理2第十三章动能定理§13-1力的功§13-2质点和质点系的动能§13-3动能定理§13-4功率功率方程机械效率§13-5势力场势能机械能守恒定律§13-6普遍定理的综合应用举例2第十三章动能定理§13-1力的功§13-2质点和质3§13-1力的功

一、常力的功功是代数量，在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代数量，在国际单4§13-1力的功

二、变力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在无限小位移dr中作的功称为元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、变力的功力在全路程上作5力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中，i，j，k为6§13-1力的功三、几种常见力的功1．重力的功重力重力作功为在直角坐标轴上的投影为（13－6）6§13-1力的功三、几种常见力的功1．重力的功重力重7根据质心坐标公式，有对于质点系，设质点i

的质量为mi，运动始末的高度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。7根据质心坐标公式，有对于质点系，设质点i的质量为mi8§13-1力的功2．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为k——弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性力8§13-1力的功2．弹性力的功弹性范围内，弹性力9§13-1力的功点A

由A1到

A2时，弹性力作功为（13－8）弹性力的功也与路径无关9§13-1力的功点A由A1到A2时，弹性力10§13-1力的功

如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在轴上的投影。3．转动刚体上作用力的功力F在切线上的投影为刚体转动时力F的元功为因为Ft

R等于F对于转轴z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果刚体上作用一力偶，11§13-1力的功作用在点的力的元功为力系全部力的元功之和为4.平面运动刚体上力系的功其中由两端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在点的力12§13-1力的功其中:为力系主失，为力系对质心的主矩。当质心由，转角由时，力系的功为即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:为力系主失，13§13-2质点和质点系的动能

一、质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J。二、质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即13§13-2质点和质点系的动能一、质点的动能设142．转动刚体的动能§13-2质点和质点系的动能1.平移刚体的动能（13－13）（13－14）142．转动刚体的动能§13-2质点和质点系的动能1.平15§13-2质点和质点系的动能3.平面运动刚体的动能点C——质心，点P——某瞬时的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2质点和质点系的动能3.平面运动刚体的动能点16§13-3动能定理一、质点的动能定理

取质点运动微分方程的矢量形式因得上式称为质点动能定理的微分形式:即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。（13－16）16§13-3动能定理一、质点的动能定理取质点运动微17§13-3动能定理上式称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。（13－17）17§13-3动能定理上式称为质点动能定理的积分形式：在18§13-3动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，有式中δWi

为作用于这个质点上的力Fi作的元功。设质点系有n个质点，将n个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质19§13-3动能定理上式积分，得：（13－19）上式称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。19§13-3动能定理上式积分，得：（13－19）上式称20§13-3动能定理质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。

不变质点系的内力的功之和等于零。刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零。三、理想约束及内力作功20§13-3动能定理质点系内力的功只要A、B两点间距21§13-3动能定理理想约束反力的功1．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承21§13-3动能定理理想约束反力的功1．光滑固定面约束22§13-3动能定理5．柔性约束（不可伸长的绳索）4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）3．刚体沿固定面作纯滚动22§13-3动能定理5．柔性约束（不可伸长的绳索）4．23§13-3动能定理

例13-1已知：m,h,k,其它质量不计。求：23§13-3动能定理例13-1已24§13-3动能定理解：24§13-3动能定理解：25§13-3动能定理

例13-2已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上;均质轮C的R2、m2纯滚动,初始静止;θ,M为常力偶。求：轮心C走过路程S时的速度和加速度25§13-3动能定理例13-2已知26§13-3动能定理轮C与轮O共同作为一个质点系解：26§13-3动能定理轮C与轮O共同作为一个质点系解：27§13-3动能定理27§13-3动能定理28§13-3动能定理式(a)是函数关系式，两端对t求导，得28§13-3动能定理式(a)是函数关系式，两端对t求导29§13-3动能定理求：冲断试件需用的能量

例13-3冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在时静止释放，冲断试件后摆至29§13-3动能定理求：冲断试件需用的能量30§13-3动能定理得冲断试件需要的能量为解：30§13-3动能定理得冲断试件需要的能量为解：31§13-3动能定理

例13-4已知：均质圆盘R,m,F=常量，且很大，使O向右运动，f,初静止

求：O走过S路程时ω、α31§13-3动能定理例13-4已知32§13-3动能定理圆盘速度瞬心为C,

解：32§13-3动能定理圆盘速度瞬心为C,解：33§13-3动能定理均不作功。33§13-3动能定理均不作功。34§13-3动能定理将式(a)两端对t求导，并利用得34§13-3动能定理将式(a)两端对t求导，并利用得35§13-3动能定理不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：2、亦可将力系向点O简化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空间的位移，不是受力作用点的位移。35§13-3动能定理不作功的力可不考虑，因此亦可如下计36§13-3动能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均质；杆m均质，O1O2=l,M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。求：O1O2转过φ角的ω、α36§13-3动能定理例13-5：已37§13-3动能定理研究整个系统解：37§13-3动能定理研究整个系统解：38§13-3动能定理38§13-3动能定理39§13-3动能定理式(a)对任何φ均成立，是函数关系，求导得注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是理想约束，其摩擦力Fs尽管在空间是移动的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3动能定理式(a)对任何φ均成立，是函数关系40§13-3动能定理例1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA’，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：取OA杆研究对象得由40§13-3动能定理例1图示的均质杆OA的质量为30k41§13-3动能定理【例2】均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：取整体为研究对象运动学关系：由动能定理，得对ｔ求导，得41§13-3动能定理【例2】均质圆盘A：m，r42【例3】图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)§13-3动能定理解：取系统为研究对象42【例3】图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为43§13-3动能定理上面(1)式求导得：(1)43§13-3动能定理上面(1)式求导得：(1)44§13-4功率•功率方程•机械效率一、功率单位时间内力所做的功称为功率，以P表示。因为所以功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为式中Mz是力对转轴z的矩，ω是角速度。即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。（13－20）（13－21）44§13-4功率•功率方程•机械效率一、功率单位时45§13-4功率•功率方程•机械效率二、功率方程取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率•功率方程•机械效率二、功率方程取46§13-4功率•功率方程•机械效率三、机械效率有效功率=

机械效率η表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，

如一部机器有n级传动，设各级的效率分别为η1、η2

、…、ηn,则总效率为，机械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率•功率方程•机械效率三、机械效率有效47§13-4功率•功率方程•机械效率【例4】车床的电动机功率为5.4

kW。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm，转速n

=42r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n’=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？解：由题意知：当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为设切削力为F，切削速度为v，则即47§13-4功率•功率方程•机械效率【例4】车床48当n=112r/min

时，允许的最大切削力为§13-4功率•功率方程•机械效率当n=42r/min

时，允许的最大切削力为48当n=112r/min时，允许的最大切削力为§13-49§13-3动能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系统的运动微分方程。49§13-3动能定理例13-8:已知m.l50§13-3动能定理解：50§13-3动能定理解：51§13-3动能定理51§13-3动能定理52§13-3动能定理令为弹簧静伸长，即mg=k,以平衡位置为原点52§13-3动能定理令为弹簧静伸长，即mg53§13-4功率•功率方程•机械效率【例5】电动机车质量为m，由静止以匀加速度a沿水平轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg(其中k是常数)。求电动机车的功率。

解：设电动机车行驶距离s时的速度为v，发动机所做的功为W，由动能定理得：将上式对时间求导，并注意及得电机车的功率将代入上式，得：53§13-4功率•功率方程•机械效率【例5】电54§13-4功率•功率方程•机械效率【例6】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：取轮为研究对象，均质圆轮作平面运动，其动能为只有重力作功,重力的功率为54§13-4功率•功率方程•机械效率【例6】均质55§13-4功率•功率方程•机械效率应用功率方程：得当θ很小时sinθ≈0,于是得质心C的运动微分方程为55§13-4功率•功率方程•机械效率应用功率方程：得56§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

一、势力场

如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例：重力场，太阳引力场等等。

如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（或保守力场）。

在势力场中，物体受到的力称为有势力（或保守力）。例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。56§13-5势力场•势能•机械能守恒定律一、势力场57§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

二、势能

在势力场中，质点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表示为

点M0称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。

几种常见势能的计算（13－25）57§13-5势力场•势能•机械能守恒定律二、势能581．重力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点重力mg在各轴上的投影为取Mo为零势能点，则质点在点M的势能为质点系重力势能其中m为质点系全部质量，zc为质心的z坐标，zc0为零势能位置质心z坐标。（13－26）581．重力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守592．弹性力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为k。

取Mo为零势能点，则物体在点M的势能为

如取弹簧的自然位置为零势能点，则有δ0

=0，则（13－27）592．弹性力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能60§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

3．万有引力场中的势能

设质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力F作用。

取点M0为零势能点，则质点在点M的势能为式中f为引力常数。因为所以如选取点M0在无穷远处，即r1=∞，则（13－28）60§13-5势力场•势能•机械能守恒定律3．万有引61§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

一质量为m、长为l的均质杆AB。A端铰支，B端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长δ0。如弹簧刚度系数为k，

如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的“零势能位置”。质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。61§13-5势力场•势能•机械能守恒定律一62§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角φ

处，势能为(1)如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角φ

处势能为注意可得62§13-5势力场•势能•机械能守恒定律(2)如取63§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。

设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1

到点M2，该力所作的功为W12。

取点M0为零势能点，则

因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经M2到M0

即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。（13－30）63§13-5势力场•势能•机械能守恒定律质64三、机械能守恒定律§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能。质点系如只有有势力作功，则

移项后

即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变。这种质点系称为保守系统。（13－31）64三、机械能守恒定律§13-5势力场•势能•机械能守65§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作的功为W'12

，由动能定理有因则

如W'12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；

如W'12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。（13－32）65§13-5势力场•势能•机械能守恒定律如66

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索k=3.35×N/m求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.67卡住前

卡住时：解：§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

67卡住前卡住时：解：§13-5势力场•势能•68得即由有§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

68得即由69取水平位置为零势能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速时，=?解：§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

69取水平位置为零势能位置例：已知：m,,k70＊4.势力场的其他性质：(1)

（2）势能相等的点构成等势面

（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

70＊4.势力场的其他性质：(1)（2）势能相等的点71§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

【例9】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为同一瞬时的动能为由机械能守恒，有71§13-5势力场•势能•机械能守恒定律【例972§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

把V和T的表达式代入，取导数后得，于是得当θ很小时，，于是得因72§13-5势力场•势能•机械能守恒定律把V和T的73

它们从不同方面建立了质点或质点系运动量（动量、动量矩、动能）的变化与力的作用量（冲量、力矩、力的功）之间的关系。§13-６普遍定理的综合应用举例质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。

应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。

应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。73它们从不同方面建立了质点或质点系运74

工程中有的问题只能用某一定理求解，有的则可用不同的定理求解，还有些较复杂的问题，需要几个定理的联合应用才能求解。因此，在解题时就牵涉到选哪个或哪几个的问题。但普遍定理的选用具有很大的灵活性，不可能定出几条处处适用的现成规则。§13-６普遍定理的综合应用举例

动力学普遍定理选用的一般方法和步骤（仅供参考）⒈首先必须明确各个定理的内容、特点以及各定理所能解决的问题。⒉分析问题的已知条件与所求未知量之间的关系，分析质点系的运动状态与所受力的特点，根据这两方面分析的结果再来决定选用哪一定理。74工程中有的问题只能用某一定理求解，75§13-６普遍定理的综合应用举例

具体来讲：⑴如果问题是要求速度和角速度，则可根据质点系所受力的特点而定。①若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上投影的代数和为零，则可用动量守恒定理求解；②若质点系所受外力对某固定轴的力矩之代数和为零，则用对该轴的动量矩守恒定理求解；③若质点系仅受有势力作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解；④若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解；⑵如果问题是要求加速度和角加速度，则可考虑用动能定理求出速度和角速度，然后再对时间求导，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或动量定理、动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的力在方程中不出现，给问75§13-６普遍定理的综合应用举例76

问题的求解带来很大的方便。§13-６普遍定理的综合应用举例⑶若已知质点系或质心的运动，如果在x、y、z方向仅有一个外力（通常是约束反力）是未知的，则可用动量定理或质心运动定理求出未的外力，有时用动量矩定理求解也极为简单。⒊对于定轴转动问题，可用定轴转动微分方程求解；对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。通常情况下，先用动能定理或动量矩定理求出运动量，然后再用质心运动定理求出未知的约束反力。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可根据各定理的特点联合应用。76问题的求解带来很大的方便。§13-６77例：已知均质园轮m,r,R

，纯滚动求：轮心Ｃ的运动微分方程§13-６普遍定理的综合应用举例77例：已知均质园轮m,r,R，纯滚动求：轮心Ｃ的运动微78解:重力的功率§13-６普遍定理的综合应用举例78解:重力的功率§13-６普遍定理的综合应用举例79（很小）§13-６普遍定理的综合应用举例79（很小）§13-６普遍定理的综合应用举例80本题也可用机械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的综合应用举例80本题也可用机械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的综81

例：已知两均质轮m,R;物块m,ｋ，纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。求：重物下降h时，v、a及滚轮与地面的摩擦力。§13-６普遍定理的综合应用举例81例：已知两均质轮m,R;物块m,82解：§13-６普遍定理的综合应用举例82解：§13-６普遍定理的综合应用举例83将式（a）对t

求导（a）§13-６普遍定理的综合应用举例83将式（a）对t求导（a）§13-６普遍定理的综合应用84得其中§13-６普遍定理的综合应用举例84得其中§13-６普遍定理的综合应用举例85例：已知l,m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力§13-６普遍定理的综合应用举例85例：已知l,m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速86解：成角时§13-６普遍定理的综合应用举例86解：成角时§13-６普遍定理的综合应用举例87（a）（b）时§13-６普遍定理的综合应用举例87（a）（b）时§13-６普遍定理的综合应用举例88由（a）,（b）,（c）得由其中：铅直水平(c)§13-６普遍定理的综合应用举例88由（a）,（b）,（c）得由其中：89

例：已知轮I：r,

m1;轮III:r，m3;轮II：R=2r,m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度，物块：mA；摩擦力不计。求：O1

O2处的约束力。§13-６普遍定理的综合应用举例89例：已知轮I：r,m1;轮III90其中解:§13-６普遍定理的综合应用举例90其中解:§13-６普遍定理的综合应用举例91利用其中§13-６普遍定理的综合应用举例91利用其中§13-６普遍定理的综合应用举例92研究I轮压力角为§13-６普遍定理的综合应用举例92研究I轮压力角为§13-６普遍定理的综合应用举例93§13-６普遍定理的综合应用举例93§13-６普遍定理的综合应用举例94研究物块A§13-６普遍定理的综合应用举例94研究物块A§13-６普遍定理的综合应用举例95研究II轮§13-６普遍定理的综合应用举例95研究II轮§13-６普遍定理的综合应用举例96

例9：已知，m，R,k,CA=2R为弹簧原长，M为常力偶。求：圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力§13-６普遍定理的综合应用举例96例9：已知，m，R,k,CA=2R为弹簧原长，M97解：§13-６普遍定理的综合应用举例97解：§13-６普遍定理的综合应用举例98§13-６普遍定理的综合应用举例98§13-６普遍定理的综合应用举例99得§13-６普遍定理的综合应用举例99得§13-６普遍定理的综合应用举例100例均质杆AB，l,m,初始铅直静止，无摩擦求：1.B端未脱离墙时，摆至θ角位置时的，，FBx,FBy2.B端脱离瞬间的θ１3.杆着地时的vC及2§13-６普遍定理的综合应用举例100例均质杆AB，l,m,初始铅直静止，无摩擦求：1.101解：（1）§13-６普遍定理的综合应用举例101解：（1）§13-６普遍定理的综合应用举例102()()2cos3sin43sincos-=-==qqqqmgaammaFnCtCCxBx_§13-６普遍定理的综合应用举例102()()2cos3sin43sincos-=-==qq103（2）.脱离瞬间时§13-６普遍定理的综合应用举例103（2）.脱离瞬间时§13-６普遍定理的综合应用举104（3）.脱离后，水平动量守恒，脱离瞬时§13-６普遍定理的综合应用举例104（3）.脱离后，水平动量守恒，脱离瞬时§13-６105杆着地时，AC水平由铅直——水平全过程§13-６普遍定理的综合应用举例105杆着地时，AC水平由铅直——水平全过程§13-６普遍106式中§13-６普遍定理的综合应用举例106式中§13-６普遍定理的综合应用举例107第十三章动能定理结束107第十三章动能定理结束108理论力学第十三章动能定理1理论力学第十三章动能定理109第十三章动能定理§13-1力的功§13-2质点和质点系的动能§13-3动能定理§13-4功率功率方程机械效率§13-5势力场势能机械能守恒定律§13-6普遍定理的综合应用举例2第十三章动能定理§13-1力的功§13-2质点和质110§13-1力的功

一、常力的功功是代数量，在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代数量，在国际单111§13-1力的功

二、变力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在无限小位移dr中作的功称为元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、变力的功力在全路程上作112力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中，i，j，k为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中，i，j，k为113§13-1力的功三、几种常见力的功1．重力的功重力重力作功为在直角坐标轴上的投影为（13－6）6§13-1力的功三、几种常见力的功1．重力的功重力重114根据质心坐标公式，有对于质点系，设质点i

的质量为mi，运动始末的高度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。7根据质心坐标公式，有对于质点系，设质点i的质量为mi115§13-1力的功2．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为k——弹性刚度系数（或刚性系数）。弹性力8§13-1力的功2．弹性力的功弹性范围内，弹性力116§13-1力的功点A

由A1到

A2时，弹性力作功为（13－8）弹性力的功也与路径无关9§13-1力的功点A由A1到A2时，弹性力117§13-1力的功

如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在轴上的投影。3．转动刚体上作用力的功力F在切线上的投影为刚体转动时力F的元功为因为Ft

R等于F对于转轴z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果刚体上作用一力偶，118§13-1力的功作用在点的力的元功为力系全部力的元功之和为4.平面运动刚体上力系的功其中由两端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在点的力119§13-1力的功其中:为力系主失，为力系对质心的主矩。当质心由，转角由时，力系的功为即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:为力系主失，120§13-2质点和质点系的动能

一、质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J。二、质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即13§13-2质点和质点系的动能一、质点的动能设1212．转动刚体的动能§13-2质点和质点系的动能1.平移刚体的动能（13－13）（13－14）142．转动刚体的动能§13-2质点和质点系的动能1.平122§13-2质点和质点系的动能3.平面运动刚体的动能点C——质心，点P——某瞬时的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2质点和质点系的动能3.平面运动刚体的动能点123§13-3动能定理一、质点的动能定理

取质点运动微分方程的矢量形式因得上式称为质点动能定理的微分形式:即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。（13－16）16§13-3动能定理一、质点的动能定理取质点运动微124§13-3动能定理上式称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。（13－17）17§13-3动能定理上式称为质点动能定理的积分形式：在125§13-3动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，有式中δWi

为作用于这个质点上的力Fi作的元功。设质点系有n个质点，将n个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质126§13-3动能定理上式积分，得：（13－19）上式称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。19§13-3动能定理上式积分，得：（13－19）上式称127§13-3动能定理质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。

不变质点系的内力的功之和等于零。刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零。三、理想约束及内力作功20§13-3动能定理质点系内力的功只要A、B两点间距128§13-3动能定理理想约束反力的功1．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承21§13-3动能定理理想约束反力的功1．光滑固定面约束129§13-3动能定理5．柔性约束（不可伸长的绳索）4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）3．刚体沿固定面作纯滚动22§13-3动能定理5．柔性约束（不可伸长的绳索）4．130§13-3动能定理

例13-1已知：m,h,k,其它质量不计。求：23§13-3动能定理例13-1已131§13-3动能定理解：24§13-3动能定理解：132§13-3动能定理

例13-2已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上;均质轮C的R2、m2纯滚动,初始静止;θ,M为常力偶。求：轮心C走过路程S时的速度和加速度25§13-3动能定理例13-2已知133§13-3动能定理轮C与轮O共同作为一个质点系解：26§13-3动能定理轮C与轮O共同作为一个质点系解：134§13-3动能定理27§13-3动能定理135§13-3动能定理式(a)是函数关系式，两端对t求导，得28§13-3动能定理式(a)是函数关系式，两端对t求导136§13-3动能定理求：冲断试件需用的能量

例13-3冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在时静止释放，冲断试件后摆至29§13-3动能定理求：冲断试件需用的能量137§13-3动能定理得冲断试件需要的能量为解：30§13-3动能定理得冲断试件需要的能量为解：138§13-3动能定理

例13-4已知：均质圆盘R,m,F=常量，且很大，使O向右运动，f,初静止

求：O走过S路程时ω、α31§13-3动能定理例13-4已知139§13-3动能定理圆盘速度瞬心为C,

解：32§13-3动能定理圆盘速度瞬心为C,解：140§13-3动能定理均不作功。33§13-3动能定理均不作功。141§13-3动能定理将式(a)两端对t求导，并利用得34§13-3动能定理将式(a)两端对t求导，并利用得142§13-3动能定理不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：2、亦可将力系向点O简化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空间的位移，不是受力作用点的位移。35§13-3动能定理不作功的力可不考虑，因此亦可如下计143§13-3动能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均质；杆m均质，O1O2=l,M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。求：O1O2转过φ角的ω、α36§13-3动能定理例13-5：已144§13-3动能定理研究整个系统解：37§13-3动能定理研究整个系统解：145§13-3动能定理38§13-3动能定理146§13-3动能定理式(a)对任何φ均成立，是函数关系，求导得注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是理想约束，其摩擦力Fs尽管在空间是移动的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3动能定理式(a)对任何φ均成立，是函数关系147§13-3动能定理例1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA’，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：取OA杆研究对象得由40§13-3动能定理例1图示的均质杆OA的质量为30k148§13-3动能定理【例2】均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：取整体为研究对象运动学关系：由动能定理，得对ｔ求导，得41§13-3动能定理【例2】均质圆盘A：m，r149【例3】图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)§13-3动能定理解：取系统为研究对象42【例3】图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为150§13-3动能定理上面(1)式求导得：(1)43§13-3动能定理上面(1)式求导得：(1)151§13-4功率•功率方程•机械效率一、功率单位时间内力所做的功称为功率，以P表示。因为所以功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为式中Mz是力对转轴z的矩，ω是角速度。即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。（13－20）（13－21）44§13-4功率•功率方程•机械效率一、功率单位时152§13-4功率•功率方程•机械效率二、功率方程取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率•功率方程•机械效率二、功率方程取153§13-4功率•功率方程•机械效率三、机械效率有效功率=

机械效率η表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，

如一部机器有n级传动，设各级的效率分别为η1、η2

、…、ηn,则总效率为，机械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率•功率方程•机械效率三、机械效率有效154§13-4功率•功率方程•机械效率【例4】车床的电动机功率为5.4

kW。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm，转速n

=42r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n’=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？解：由题意知：当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为设切削力为F，切削速度为v，则即47§13-4功率•功率方程•机械效率【例4】车床155当n=112r/min

时，允许的最大切削力为§13-4功率•功率方程•机械效率当n=42r/min

时，允许的最大切削力为48当n=112r/min时，允许的最大切削力为§13-156§13-3动能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系统的运动微分方程。49§13-3动能定理例13-8:已知m.l157§13-3动能定理解：50§13-3动能定理解：158§13-3动能定理51§13-3动能定理159§13-3动能定理令为弹簧静伸长，即mg=k,以平衡位置为原点52§13-3动能定理令为弹簧静伸长，即mg160§13-4功率•功率方程•机械效率【例5】电动机车质量为m，由静止以匀加速度a沿水平轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg(其中k是常数)。求电动机车的功率。

解：设电动机车行驶距离s时的速度为v，发动机所做的功为W，由动能定理得：将上式对时间求导，并注意及得电机车的功率将代入上式，得：53§13-4功率•功率方程•机械效率【例5】电161§13-4功率•功率方程•机械效率【例6】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：取轮为研究对象，均质圆轮作平面运动，其动能为只有重力作功,重力的功率为54§13-4功率•功率方程•机械效率【例6】均质162§13-4功率•功率方程•机械效率应用功率方程：得当θ很小时sinθ≈0,于是得质心C的运动微分方程为55§13-4功率•功率方程•机械效率应用功率方程：得163§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

一、势力场

如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例：重力场，太阳引力场等等。

如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（或保守力场）。

在势力场中，物体受到的力称为有势力（或保守力）。例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。56§13-5势力场•势能•机械能守恒定律一、势力场164§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

二、势能

在势力场中，质点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表示为

点M0称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。

几种常见势能的计算（13－25）57§13-5势力场•势能•机械能守恒定律二、势能1651．重力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点重力mg在各轴上的投影为取Mo为零势能点，则质点在点M的势能为质点系重力势能其中m为质点系全部质量，zc为质心的z坐标，zc0为零势能位置质心z坐标。（13－26）581．重力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守1662．弹性力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为k。

取Mo为零势能点，则物体在点M的势能为

如取弹簧的自然位置为零势能点，则有δ0

=0，则（13－27）592．弹性力场中的势能§13-5势力场•势能•机械能167§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

3．万有引力场中的势能

设质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力F作用。

取点M0为零势能点，则质点在点M的势能为式中f为引力常数。因为所以如选取点M0在无穷远处，即r1=∞，则（13－28）60§13-5势力场•势能•机械能守恒定律3．万有引168§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

一质量为m、长为l的均质杆AB。A端铰支，B端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长δ0。如弹簧刚度系数为k，

如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的“零势能位置”。质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。61§13-5势力场•势能•机械能守恒定律一169§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角φ

处，势能为(1)如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角φ

处势能为注意可得62§13-5势力场•势能•机械能守恒定律(2)如取170§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点系在势能场中运动，有势力的功可通过势能计算。

设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1

到点M2，该力所作的功为W12。

取点M0为零势能点，则

因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经M2到M0

即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。（13－30）63§13-5势力场•势能•机械能守恒定律质171三、机械能守恒定律§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能。质点系如只有有势力作功，则

移项后

即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变。这种质点系称为保守系统。（13－31）64三、机械能守恒定律§13-5势力场•势能•机械能守172§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作的功为W'12

，由动能定理有因则

如W'12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；

如W'12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。（13－32）65§13-5势力场•势能•机械能守恒定律如173

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索k=3.35×N/m求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.174卡住前

卡住时：解：§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

67卡住前卡住时：解：§13-5势力场•势能•175得即由有§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

68得即由176取水平位置为零势能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速时，=?解：§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

69取水平位置为零势能位置例：已知：m,,k177＊4.势力场的其他性质：(1)

（2）势能相等的点构成等势面

（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

70＊4.势力场的其他性质：(1)（2）势能相等的点178§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

【例9】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为同一瞬时的动能为由机械能守恒，有71§13-5势力场•势能•机械能守恒定律【例9179§13-5势力场•势能•机械能守恒定律

把V和T的表达式代入，取导数后得，于是得当θ很小时，，于是得因72§13-5势力场•势能•机械能守恒定律把V和T的180

它们从不同方面建立了质点或质点系运动量（动量、动量矩、动能）的变化与力的作用量（冲量、力矩、力的功）之间的关系。§13-６普遍定理的综合应用举例质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。

应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。

应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。73它们从不同方面建立了质点或质点系运181

工程中有的问题只能用某一定理求解，有的则可用不同的定理求解，还有些较复杂的问题，需要几个定理的联合应用才能求解。因此，在解题时就牵涉到选哪个或哪几个的问题。但普遍定理的选用具有很大的灵活性，不可能定出几条处处适用的现成规则。§13-６普遍定理的综合应用举例

动力学普遍定理选用的一般方法和步骤（仅供参考）⒈首先必须明确各个定理的内容、特点以及各定理所能解决的问题。⒉分析问题的已知条件与所求未知量之间的关系，分析质点系的运动状态与所受力的特点，根据这两方面分析的结果再来决定选用哪一定理。74工程中有的问题只能用某一定理求解，182§13-６普遍定理的综合应用举例

具体来讲：⑴如果问题是要求速度和角速度，则可根据质点系所受力的特点而定。①若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上投影的代数和为零，则可用动量守恒定理求解；②若质点系所受外力对某固定轴的力矩之代数和为零，则用对该轴的动量矩守恒定理求解；③若质点系仅受有势力作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解；④若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解；⑵如果问题是要求加速度和角加速度，则可考虑用动能定理求出速度和角速度，然后再对时间求导，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或动量定理、动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的力在方程中不出现，给问75§13-６普遍定理的综合应用举例