计算方法的牛顿法课件

数值分析

非线性方程的牛顿法

(NewtonMethodofNonlinearEquations)数值分析

非线性方程的牛顿法

(NewtonMetho内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示内容提纲（Outline)取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重复上述过程作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重牛顿法的几何意义xyx*x0x

1x

2牛顿法也称为切线法牛顿法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f(x*)0，即可得结论。证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f思考题1

若，Newton法是否仍收敛？设x*是f

的m

重根，则令：且Answer1:

有局部收敛性思考题1若，Newton法是否仍收敛？设x*Answer2:

线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=结论：Newton法的收敛性依赖于x0

的选取。x*x0x0x0结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0x有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设f(x)C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f(x)0；f(x)在[a,b]上不变号

选取初始值x0

[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设f(x)将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：以为例证明

说明数列{xk}有下界故{xk}单调递减,从而{xk}收敛.令？将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极三、计算实例及其程序演示辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件三、计算实例及其程序演示辅助工具:

(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+1

(3)对于给定的允许精度，如果

则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0例题1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例题1用Newton法求方程的根,要例题2求函数的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x=7和x=8

之间有一单根；在x=1和x=2

之间有一重根。用Matlab画图，查看根的分布情形例题2求函数初值x0＝8.0

时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下：取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下：初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterati小结(1)当f

(x)充分光滑且x*是f

(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f

(x)充分光滑且x*是f

(x)=0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0

的选取。小结(1)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0练习：3.Newton迭代法是如何推出的?它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进Newton迭代公式是什么用牛顿法求方程在区间[1，2]内的一个实根，要求2.导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。

练习：3.Newton迭代法是如何推出的?它若在单根附首先导出求根方程，再对使用牛顿法得迭代公式,用全局收敛性定理或局部收敛性定理讨论其收敛性。首先导出求根方程，再对使用牛顿数值分析

非线性方程的牛顿法

(NewtonMethodofNonlinearEquations)数值分析

非线性方程的牛顿法

(NewtonMetho内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示内容提纲（Outline)取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重复上述过程作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重牛顿法的几何意义xyx*x0x

1x

2牛顿法也称为切线法牛顿法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f(x*)0，即可得结论。证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f思考题1

若，Newton法是否仍收敛？设x*是f

的m

重根，则令：且Answer1:

有局部收敛性思考题1若，Newton法是否仍收敛？设x*Answer2:

线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=结论：Newton法的收敛性依赖于x0

的选取。x*x0x0x0结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0x有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设f(x)C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f(x)0；f(x)在[a,b]上不变号

选取初始值x0

[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设f(x)将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：以为例证明

说明数列{xk}有下界故{xk}单调递减,从而{xk}收敛.令？将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极三、计算实例及其程序演示辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件三、计算实例及其程序演示辅助工具:

(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+1

(3)对于给定的允许精度，如果

则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0例题1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例题1用Newton法求方程的根,要例题2求函数的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x=7和x=8

之间有一单根；在x=1和x=2

之间有一重根。用Matlab画图，查看根的分布情形例题2求函数初值x0＝8.0

时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutio