2022-2023学年江苏省南通市如皋中学数学高三第一学期期末综合测试试题含解析_第1页
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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.82.定义在上的函数满足,则()A.-1 B.0 C.1 D.23.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为() A.45 B.60 C.75 D.1004.下列函数中,在区间上为减函数的是()A. B. C. D.5.设等差数列的前n项和为,若,则()A. B. C.7 D.26.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,,则;②若,,,则;③若,,,则;④若,,,,则.其中正确的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④7.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()A. B. C. D.8.已知圆锥的高为3,底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A. B. C. D.9.已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有.则不等式的解集为().A. B.C.或 D.或10.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c11.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.12.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设数列的前n项和为,且,若,则______________.14.在△ABC中,a=3,,B=2A,则cosA=_____.15.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.16.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求的取值范围.18.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,证明:∥平面;(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.(12分)已知抛物线:()的焦点到点的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,点、分别在第一和第二象限内,求的面积.20.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.21.(12分)已知函数(1)若,不等式的解集;(2)若,求实数的取值范围.22.(10分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;(2)已知数列满足:(ⅰ)对任意的;(ⅱ)对任意的,,且.①若,求数列是等比数列的充要条件.②求证:数列是等比数列,其中.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.2、C【解析】

推导出,由此能求出的值.【详解】∵定义在上的函数满足,∴,故选C.【点睛】本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.3、B【解析】

根据程序框图中程序的功能,可以列方程计算.【详解】由题意,.故选:B.【点睛】本题考查程序框图,读懂程序的功能是解题关键.4、C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性,进而可得出结果.【详解】对于A选项,函数在区间上为增函数;对于B选项,函数在区间上为增函数;对于C选项,函数在区间上为减函数;对于D选项,函数在区间上为增函数.故选:C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断,熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键,属于基础题.5、B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出,再利用等差数列性质可得,即可求出结果.【详解】因为,所以,所以,所以,故选:B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式,属于基础题.6、C【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解:①:、也可能相交或异面,故①错②:因为,,所以或,因为,所以,故②对③:或,故③错④:如图因为,,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为,,所以,所以,故④对.故选:C【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题.7、A【解析】

设所求切线的方程为,联立,消去得出关于的方程,可得出,求出的值,进而求得切点的坐标,利用定积分求出阴影部分区域的面积,然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为,则,联立,消去得①,由,解得,方程①为,解得,则点,所以,阴影部分区域的面积为,矩形的面积为,因此,所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型,同时也涉及了二次函数的切线方程的求解,考查计算能力,属于中等题.8、B【解析】

计算求半径为,再计算球体积和圆锥体积,计算得到答案.【详解】如图所示:设球半径为,则,解得.故求体积为:,圆锥的体积:,故.故选:.【点睛】本题考查了圆锥,球体积,圆锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9、D【解析】

先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.10、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小关系为b>c>a.故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11、D【解析】

由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.12、A【解析】

根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【详解】由于,故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、9【解析】

用换中的n,得,作差可得,从而数列是等比数列,再由即可得到答案.【详解】由,得,两式相减,得,即;又,解得,所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列,所以.故答案为:9.【点睛】本题考查已知与的关系求数列通项的问题,要注意n的范围,考查学生运算求解能力,是一道中档题.14、【解析】

由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.【详解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用,属于基础题.15、20【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.16、③④【解析】

由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2)或.【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得最小值,再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析:(1)等价于或或,解得:或.故不等式的解集为或.(2)因为:所以,由题意得:,解得或.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.18、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)连接,由比例可得∥,进而得线面平行;(Ⅱ)过点作的垂线,建立空间直角坐标系,不妨设,则求得平面的法向量为,设平面的法向量为,由求二面角余弦即可.试题解析:(Ⅰ)证明:连接,梯形,,易知:;又,则∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)侧面是梯形,,,,则为二面角的平面角,;均为正三角形,在平面内,过点作的垂线,如图建立空间直角坐标系,不妨设,则,故点,;设平面的法向量为,则有:;设平面的法向量为,则有:;,故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19、(1)(2)【解析】

(1)因为,可得,即可求得答案;(2)分别设、的斜率为和,切点,,可得过点的抛物线的切线方程为:,联立直线方程和抛物线方程,得到关于一元二次方程,根据,求得,,进而求得切点,坐标,根据两点间距离公式求得,根据点到直线距离公式求得点到切线的距离,进而求得的面积.【详解】(1),,解得,抛物线的方程为.(2)由题意可知,、的斜率都存在,分别设为和,切点,,过点的抛物线的切线:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切线的方程为,点到切线的距离为,,即的面积为.【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题,解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式20、(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出数列是以为首项,1为公差的等差数列,,,问题转化为证明:,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.【详解】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),,当时,f′(x)<2,当时,f′(x)>2,所以函数f(x)在上单调递减,在单调递增.(Ⅱ)设,则,因为x≥2,故,(ⅰ)当a≥1时,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)单调递减,而g(2)=2,所以对所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)当1<a<1时,2<1﹣a<1,若,则g′(x)>2,g(x)单调递增,而g(2)=2,所以当时,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)当a≤1时,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)单调递增,而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;综上,a的最小值为1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an•an+1,由a1=1得,an≠2,所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,,,⇔,由(Ⅱ)知a=1时,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因为,所以,故.法二:⇔下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即,则n=k+1时,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式对任何n∈N*都成立.故.考点:1利用导数研究函数的单调性;1、利用导数研究函数的最值;3、数列的通项公式;4、数列的前项和;5、不等式的证明.21、(1)(2)【解析】

(1)依题

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