2022-2023学年衡水市第十三中学数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（）A． B． C． D．3．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（）A． B． C．8 D．64．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势5．由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若变量，满足，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．107．若直线经过抛物线的焦点，则（）A． B． C．2 D．8．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．9．已知向量，，，若，则（）A． B． C． D．10．已知数列满足，则（）A． B． C． D．11．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．12．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设实数，满足，则的最大值是______.14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.15．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______．16．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.18．（12分）已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.19．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．20．（12分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821销量（万盒）1122.53.53.54.56（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．22．（10分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注:若，则，，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、D【解析】

依题意，设，由，得，再一一验证.【详解】设，因为，所以，经验证不满足，故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.3、D【解析】

作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．4、D【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.【详解】A正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.5、C【解析】

根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：若{an}是等比数列，则，

若，则，即成立，

若成立，则，即，

故“”是“”的充要条件，

故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.6、D【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．7、B【解析】

计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.【详解】可化为，焦点坐标为，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.8、A【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．9、A【解析】

根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】，，解得：故选：【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.10、C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．12、A【解析】

利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，可得：，可得，，则的渐近线方程为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．【详解】作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.由可得，此时最大为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想．14、（或写成）【解析】

设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得，故，将代入可得得到，于是与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.15、60【解析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【详解】如图所示：设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为：60【点睛】本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.16、【解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即.（2），.因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以实数的取值范围是.（3）.因为函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两不等实根，即.令，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得且.又由，所以，且当和时，单调递增，当时，单调递减，是极值点，此时令，则，所以在上单调递减，所以.因为恒成立，所以.若，取，则，所以.令，则，.当时，；当时，.所以，所以在上单调递增，所以，即存在使得，不合题意.满足条件的的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.18、(1)答案见解析(2)【解析】

（1）假设函数的图象与x轴相切于，根据相切可得方程组，看方程是否有解即可；（2）求出的导数，设()，根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．19、（1）详见解析（2）【解析】

（1）如图，作，交于，连接.因为，所以是的三等分点，可得.因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因为，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因为是等边三角形，，所以.又因为，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.设为平面的法向量，则，即，令，可得.设为平面的法向量，则，即，令，可得.所以，则，所以二面角的正弦值为.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（Ⅱ）构造函数，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.【详解】（Ⅰ）当时，，则.所以.又，故所求切线方程为，即.（Ⅱ）依题意，得，即恒成立.令，则.①当时，因为，不合题意.②当时，令，得，，显然.令，得或；令，得.所以函数的单调递