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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)2.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.3.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.4.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.155.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.()A. B. C. D.7.某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内为()A. B. C. D.8.若函数,在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于,若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为()A. B.C. D.10.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.11.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值12.若时,,则的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在长方体中,,,,为的中点,则点到平面的距离是______.14.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.16.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)选修4—5;不等式选讲.已知函数.(1)若的解集非空,求实数的取值范围;(2)若正数满足,为(1)中m可取到的最大值,求证:.18.(12分)在四棱锥的底面是菱形,底面,,分别是的中点,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.19.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.20.(12分)已知,,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.21.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.22.(10分)在三角形中,角,,的对边分别为,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【题目详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.【答案点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.2、A【答案解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可【题目详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【答案点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题3、C【答案解析】
由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【题目详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【答案点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.4、A【答案解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【题目详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【答案点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.5、A【答案解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【题目详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.6、D【答案解析】
利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【题目详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【答案点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.7、C【答案解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表:KS是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循环的条件应为k>5?本题选择C选项.点睛:使用循环结构寻数时,要明确数字的结构特征,决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数.尤其是统计数时,注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.8、D【答案解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得的取值范围.【题目详解】的定义域为,,所以在上递减,在上递增,在处取得极小值也即是最小值,,,,,所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则需恒成立,且,也即,也即当、时,成立,即,且,解得.所以的取值范围是.故选:D【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.9、C【答案解析】
由题得,,又,联立解方程组即可得,,进而得出双曲线方程.【题目详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为,且被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,所以②又③由①②③可得:,,所以双曲线的标准方程为.故选:C【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,圆的方程的有关计算,考查了学生的计算能力.10、B【答案解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【题目详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【答案点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.11、B【答案解析】
根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【题目详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.【答案点睛】本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.12、D【答案解析】
由题得对恒成立,令,然后分别求出即可得的取值范围.【题目详解】由题得对恒成立,令,在单调递减,且,在上单调递增,在上单调递减,,又在单调递增,,的取值范围为.故选:D【答案点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题,导数的综合应用,考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题,可采用参变量分离法去求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
利用等体积法求解点到平面的距离【题目详解】由题在长方体中,,,所以,所以,设点到平面的距离为,解得故答案为:【答案点睛】此题考查求点到平面的距离,通过在三棱锥中利用等体积法求解,关键在于合理变换三棱锥的顶点.14、【答案解析】
由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【题目详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.15、【答案解析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个,还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。【题目详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个,全为阴线的一个,1阴2阳的3个,1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。∴从8个卦中任取2卦,共有种可能,两卦中共2阳4阴的情况有,所求概率为。故答案为:。【答案点睛】本题考查古典概型,解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响,我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,这样才能正确地确定基本事件的个数。16、【答案解析】
设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【题目详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【答案点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【答案解析】试题分析:(1)讨论三种情况去绝对值符号,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因为,要证,只需证,即证,只需证即可得结果.试题解析:(1)去绝对值符号,可得所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.(2)由(1)知,,所以.因为,所以要证,只需证,即证,即证.因为,所以只需证,因为,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy设:证明:x+y-2xy==令,∴原式====当时,18、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析.【答案解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面,据此证明题中的结论即可;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量与平面的一个法向量,然后求解线面角的正弦值即可;(Ⅲ)假设满足题意的点存在,设,由直线与的方向向量得到关于的方程,解方程即可确定点F的位置.【题目详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得:,结合三角形中位线的性质可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知,,,以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:,设平面的一个法向量为,则:,据此可得平面的一个法向量为,而,设直线与平面所成角为,则.(Ⅲ)由题意可得:,假设满足题意的点存在,设,,据此可得:,即:,从而点F的坐标为,据此可得:,,结合题意有:,解得:.故点F为中点时满足题意.【答案点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理,线面角的向量求法,立体几何中的探索性问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)的取值范围是;对应的的值为.【答案解析】
(1)当时,求的导数可得函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,利用导函数,可得的范围,再表达,构造新函数可求的取值范围,从而可求取到最小值时所对应的的值.【题目详解】(1)函数由条件得函数的定义域:,当时,,所以:,时,,当时,,当,时,,则函数的单调增区间为:,单调递减区间为:,;(2)由条件得:,,由条件得有两根:,,满足,△,可得:或;由,可得:.,函数的对称轴为,,所以:,;,可得:,,,则:,所以:;所以:,令,,,则,因为:时,,所以:在,上是单调递减,在,上单调递增,因为:,(1),,(1),所以,;即的取值范围是:,;,所以有,则,;所以当取到最小值时所对应的的值为;【答案点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题,考查利用导数求函数的最值,体现了转化的思想方法,属于难题.20、(1)(2)的最小值为1,此时直线:【答案解析】
(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得.注意取值范围;(2)设:,将其与曲线的方程联立,消元并整理得,设,,则可得,,由求出,将直线方程与联立,得,求得,计算,设.显然,构造,由导数的知识求
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