人教版初中数学《其他类问题与分式方程》专题突破含答案解析

专题08其他类问题与分式方程【强化基础与理解记忆】1.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；2.浓度问题的基本关系是：=浓度．3.顺水逆水问题：v顺＝v静＋v水流，v逆＝v静－v水流.4．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．【试题类型与例题解析】【例题1】要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．【答案】加入盐2.5千克．【解析】设加入盐千克．浓度问题的基本关系是：=浓度．溶液溶质浓度加盐前4040×15%15%加盐后40＋40×15%＋20%设应加入盐千克，依题意，得=．100(40×15%＋)=20(40＋)，解得．经检验，是所列方程的根，即加入盐2.5千克．【例题2】（2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．由题意得：，故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．【强化训练与基础达标】一、选择题1．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210C．3x﹣1=6210x D．【答案】A【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】依题意，得：3（x﹣1）=62102．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000x=4200x-80 B．C．4200x=3000x【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：3000x3．（2020·辽宁抚顺）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2021湖南株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（）A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升【答案】C【解析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．根据题意得：3斗＝30升，设可以换得的粝米为x升，则＝，解得：x＝＝18（升），答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．二、填空题1．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程．【答案】10x【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．【解析】根据题意得，10x故答案为：10x2．（2020·浙江嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．【答案】【解析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．根据题意得，，故答案为：【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．三、解答题1．（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【答案】见解析。【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60x+2解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．2．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45【答案】见解析。【解析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是45x依题意，得：1204解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴45x答：现在每天用水量是8吨．3．（2020·辽宁丹东·中考真题）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？【答案】八年级捐书人数是450人．【解析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，，解得，，经检验，是原方程的解，∴x+150=400+150=450，答：八年级捐书人数是450人．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．4.（2021上海）现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G手机,三个月的生产情况如下图.（1）求3月份生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快,比4G下载速度每秒多95MB,下载一部1000MB的电影,5G比4G要快190秒,求5G手机的下载速度.【答案】见解析。【解答】（1）由扇形统计图可知：3月份生产的手机占整个第一季度的百分比为：1-30%-25%=45%故3月份生产手机：80×45%=36（万部）答：3月份生产了36万部手机。（2）设5G手机的下载速度为x(MB/秒)，则4G手机的下载速度为x-95(MB/秒),由题意可得：解出：x=100或x=-5(舍)经检验：x=100是方程的根，所以x=100(MB/秒)答：5G手机的下载速度为100(MB/秒)【点评】此题考查了扇形统计图，分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，解分式方程注意要检验．5．（2021云南中考）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金，【答案】见解析。【解析】设每间B客房租金为x元，根据“用2000元租到A客房数量与用1600元租到B客房数量相同”列出方程并解答．解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为(x+40)元，根据题意可得：，解得：x＝160，经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，160+40＝200元，∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．6.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。【答案】船在静水中的速度是10千米／时．【解析】此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即=．设船在静水中的速度为千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得=，解得．经检验