人教版初中数学《分式方程解法类问题》专题突破含答案解析

专题02分式方程解法类问题【强化基础与理解记忆】1.最简公分母定义一个分式的分子与分母没有公分母时，叫最简分式。和分数不能化简一样，叫最简分数。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，看各个分解后的子因式中如果没有出现在公分母中，就将其乘进去。已经出现的可以不再添加，但是在同一个因式中出现了几次相同的因子，就要乘几次。2.解分式方程的基本思路将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．3.解分式方程的步骤（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母；（2）解所得的整式方程；（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．再注意：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．二、解分式方程技巧（能力拓展）对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。下面介绍几种解特殊分式方程的技巧。技巧1：局部通分法【举例1】解下列关于x的分式方程：【解析】局部通分得去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18，故x=4经检验知x=4是原方程的解．技巧2：分离常数法【举例2】解下列关于x的分式方程：【解析】方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数．分离常数得即注：分离常数之后达到使分式方程简化的目的，之后可以用刚才的局部通分法继续解题移项得：局部通分得：∴x2－14x＋48=x2－6x＋8解得x=5，经检验x=5是原方程的解．技巧3：换元法【举例3】解下列关于x的分式方程组：【解析】设，则原方程组可化为解得，∴解得经检验为原方程组的解．技巧4：局部换元法【举例4】解下列关于x的分式方程：【解析】通过观察发现各分式中分母都和这一式子有联系，故可用局部换元法令=y，原方程变成，解之并检验可得y=3。∴x2－x＋1=3，解之可得x1=2，x2=－1注：涉及一元二次方程简单解法，教师可适当铺垫。故原方程的根是x1=2，x2=－1．技巧5：裂项法【举例5】解下列关于x的分式方程：．【解析】方程可化为：，即故，即故或者，经检验，均是原方程的解．技巧6：倒数法【举例6】解下列关于x的分式方程：【解析】∵，方程化为，∴∴经检验是增根，舍去，∴原方程的解是技巧7：利用因式分解裂项法【举例7】解下列关于x的分式方程：【解析】原方程变化为：∴∴经检验是原方程的根技巧8：逐步通分法【举例8】解下列关于x的分式方程：【解析】解得，经检验是原方程的根【试题类型与例题解析】【例题1】（2020·江苏常州）解方程：【答案】x=0【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

去分母得：解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．【例题2】（2021哈尔滨）方程＝的解为（）A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2【答案】A【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：3x﹣1＝2（2+x），去括号得：3x﹣1＝4+2x，移项合并得：x＝5，检验：当x＝5时，（2+x）（3x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝5．【例题3】解分式方程：【答案】原分式方程无解。【解析】原方程化为方程两边同时乘以，约去分母，得，整理得，解这个整式方程，得，检验：把代入，得所以是原方程的增根，原分式方程无解．【例题4】解分式方程：【答案】．【解析】原方程可变形为：方程两边都乘以，得，整理，得，∴，检验，当时，∴原方程的解是．【例题5】（2020•上海）用换元法解方程x+1x2+x2x+1A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设x+1x2=y，则原方程化为y+1y=2，再转化为整式方程【解析】把x+1x2=y代入原方程得：y+1y=2，转化为整式方程为【强化训练与基础达标】一、选择题1.解分式方程2x-1A．2﹣（x+2）＝1 B．2﹣x+2＝x﹣1 C．2﹣（x+2）＝x﹣1 D．2+（x+2）＝x﹣1【答案】C【解析】分式方程变形后，乘以x﹣1去分母得到结果，即可作出判断．分式方程两边同乘（x﹣1），去分母得：2﹣（x+2）＝x﹣1．2.分式方程2x+5A．x＝9 B．x＝7 C．x＝5 D．x＝﹣1【答案】A【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：2（x﹣2）＝x+5，去括号得：2x﹣4＝x+5，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．3．关于的分式方程的解为（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，故选B．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．4．（2021湖北恩施州）分式方程+1＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2【答案】D【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：x+x﹣1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．5.把分式方程1x-2A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2【答案】D【解析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母（x﹣2）化简得到结果，即可作出判断．方程变形得：1x-2去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2．6．（2021湖南怀化）定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【答案】B【解析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+，4⊗2＝2×4+，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的根．7．（2021成都）分式方程+＝1的解为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1【答案】A【解析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣3≠0，∴分式方程的解为x＝2．8．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7【答案】B【解析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．根据题意，得1x-4去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．9．将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘（）A．x﹣2 B．x C．2（x﹣2） D．x（x﹣2）【答案】D【解析】分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘x（x﹣2），故选D10．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是()A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1)【答案】C【解析】方程两边都乘以(2x﹣1)，得x﹣2＝3(2x﹣1)．11．解分式方程+1=0，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【答案】A【解析】+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根.12．方程=0的解为（）A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=-5【答案】C【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得x+3-2(x-1)=0，解得：x=5，检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，所以x=5是原方程的解.二、填空题1．（2020·山东济南）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．【答案】7【解析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．根据题意得：，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的解．故答案为：7．2．分式方程的解为__________．【答案】-1【解析】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，解得：x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=-1是分式方程的解。3．（2020·山东菏泽）方程的解是______．【答案】【解析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，得出的值，再检验即可得出方程的解．方程两边都乘以，得：，解得：，检验：时，，所以分式方程的解为，故答案为：．【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．4．（2020·江苏徐州）方程的解为_______．【答案】【解析】去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案．经检验：是原方程的根，所以原方程的根是：故答案为：【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键．5．（2020·广西河池）方程＝的解是x＝_____．【答案】-3【解析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则．6．（2020·内蒙）分式方程的解是_____．【答案】x=【解析】根据分式方程的解题步骤解出即可．方程左右两边同乘x－2,得3－x－x=x－2．移项合并同类项,得x=．经检验,x=是方程的解．故答案为:x=．【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．7．（2021广西玉林）方程＝的解是．【答案】x＝．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：2x＝1，解得：x＝，检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝．8．（2021湖北黄石）分式方程+＝3的解是．【答案】x＝3．【解析】先将方程的左边进行计算后，再利用去分母的方法将原方程化为整式方程，求出这个整式方程的根，检验后得出答案即可．原方程可变为+＝3，所以＝3，两边都乘以（x﹣2）得，x＝3（x﹣2），解得，x＝3，检验：把x＝3代入（x﹣2）≠0，所以x＝3是原方程的根．9．（2021·江苏宿迁）方程的解是_________．【答案】，【解析】先把两边同时乘以，去分母后整理为，进而即可求得方程的解．，两边同时乘以，得，整理得：解得：，，经检验，，是原方程的解，故答案为：，．10．（2021·湖南常德）分式方程的解为__________．【答案】【解析】直接利用通分，移项、去分母、求出后，再检验即可．通分得：，移项得：，，解得：，经检验，时，，是分式方程的解，故答案是：．三、解答题1．（2020·陕西）解分式方程：．【答案】x＝．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4，系数化为1得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．2.（2021广西贵港）解分式方程：．【答案】见解析。【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．整理，得：，方程两边同时乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．3.（2021黑龙江大庆）解方程：【答案】【解析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程两边乘，得：，解得：，检验：当时，．∴是原分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．4．（2021江苏连云港）解方程：﹣＝1．【答案】见解析。【解析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+5）2﹣4＝（x+8）（x﹣1），整理得2x﹣2＝0，解得x＝1．检验：