与圆的基本性质有关的计算与证明

九年级数学下册解法技巧思维培优专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明考点一弧、弦、圆心角【典例1】（2019-港南区四模）P是。。外一点，四、PB分别交。。于C、D两点，已知而、亦的度数别为88°、32°，则NP的度数为（ ）A.26°BA.26°B.28° C.30°D.32°【点拨】先由圆周角定理求出ZA与ZADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出ZP的度数即可.【解析】解：\•崩和亦所对的圆心角分别为88°和32°，1 1AZA=2x32°=16°，ZADB=2x88°=44°，•「ZP+ZA=ZADB，...ZP=ZADB-ZA=44°-16°=28°.故选：B.【典例2】（2019•福建模拟）如图，AB是。。的直径，ZBOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（ ）V3 B.V5 C.2V3 D.2V5【点拨】连接。。.首先证明ZAOD=ZDOC=60。,想办法证明DE=OE=1即可解决问题.【解析】解：连接OC.VZDOB=120°,AZAOD=60°, •:CD=BC,AZDOC=ZBOC=60°, :.AD=CD,1AODXAC,设OA=r,则OE=^r=DE=1,.OA=2,:.AE=^0A2-OE2=V3,故选：A.【典例3】（2019-洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角器与三角板的示意图.已知图中点M处的读数是145°，则/FND的读数为55。.【点拨】求出ZFOC,利用平行线的性质即可解决问题.【解析】解：由题意：匕COM=145°,ZEOF=90°,:.ZFOC=55°,.:AD//BC,AZFND=ZFOC=55°,故答案为55°.【典例4】（2019-长白期末）如图，AB和DE是。O的直径，弦AC//DE,若弦BE=3,则弦CE=3【点拨】连接OC,根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到Z1=Z2,从而即可求得CE的长.【解析】解：连接OC,•：AC〃DE,AZA=Z1.Z2=ZACO,,?ZA=ZACO,AZ1=Z2.•.・CE=BE=3.【典例5】（2019•句容市期中）如图，已知AB是。。的直径，弦AC^OD.求证：BD=CD.（2）若丘的度数为58°,求匕AOD的度数.【点拨】（1）欲证弧BD=mCD,只需证明它们所对的圆心角相等，即ZBOD=ZCOD.（2）利用圆周角、弧，弦的关系求得而=61°+85°=119°,则ZAOD=119°.【解析】解：（1）证明：连接OC.VOA=OC，AZOAC=ZACO.•「AC〃OD，AZOAC=ZBOD.AZDOC=ZACO.AZBOD=ZCOD， ABD=CD.(2)，：BD=CD，ABD=CD=1bC=(180°-58°)=61°.乙

:,AD=61°+85°=119°,:.ZAOD=119°.考点二圆周角【典例6】（2019•陕西）如图，AB是。O的直径，EF,EB是。O的弦，且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若ZAOF=40°,则NF的度数是（ ）A.20°B.A.20°B.35°C.40°D.55°【点拨】连接FB,得到ZFOB=140°，求出ZEFB,ZOFB即可.【解析】解：连接FB.EEVZAOF=40°,:.ZFOB=180°-40°=140°,.一―1一…—:.ZFEB=2ZFOB=70°.：EF=EB?.ZEFB=ZEBF=55°,.；FO=BO,:.ZOFB=ZOBF=20°,:.ZEFO=ZEBO,ZEFO=ZEFB-ZOFB=35°,故选：B.【典例7】（2020-望花区二模）如图，在8中，届所对的圆周角ZACB=50°,若P为疝上一点，匕AOP=55°,则ZPOB的度数为45°.【点拨】先利用圆周角定理得到ZAOB=2ZACB=100°,然后计算ZAOB-ZAOP即可.【解析】解：\•疝所对的圆周角ZACB=50°,...ZAOB=2ZACB=2x50°=100°,VZAOP=55°,•.・ZPOB=ZAOB-ZAOP=100°-55°=45°.故答案为45°.【典例8】（2019•黑龙江）如图，AC为。O的直径，点B在圆上，OD±AC交。O于点D,连接BD,ZBDO=15°,则ZACB=60°.【点拨】连接QG得出ZBDC的度数，进而得出匕刀的度数，利用互余解答即可.VAC为。。的直径，OD±AC,AZDOC=90°,ZABC=90°,VOD=OC,AZODC=45°,VZBDO=15°,AZBDC=30°,AZA=30°,AZACB=60°,故答案为：60°.【典例9】(2019-肇源期末)如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且ZD=ZE.(1)求证：ZADC=ZCBE；(2)求证：CB=CE；(3)设AD不是圆O的直径，AD的中点为M且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.【点拨】(1)连接AC,BD,由圆周角定理得出ZACB=ZADB,ZBAC=ZBDC,再由ZCBE+ZABC=180°得出ZCBE=ZACB+ZBAC=ZADB+ZBDC=ZD，进而可得出结论；由圆内接四边形的性质得出ZD=ZCBE,再由ZD=ZE,故可得出ZCBE=ZE,进而得出结论；设BC的中点为N,连接MN,由等腰三角形的性质得出MNLBC,故点O在直线MN上，因为AD不是圆O的直径，M为AD的中点可得出OMLAD，MN±AD，BC〃AD，故可得出ZA=ZCBE，再由ZA=ZE可得出ZD=ZE，进而可得出结论.【解析(1)证明：连接AC，BD，VZACB=ZADB，ZBAC=ZBDC，ZACB+ZBAC+ZABC=180°，又.../CBE+ZABC=180°，；・ZCBE=ZACB+ZBAC=ZADB+ZBDC=ZD，:.ZD=ZCBE；证明:.:ZD=ZCBE，ZD=ZE，：・ZCBE=ZE，:,CB=CE；解：设BC的中点为N，连接MN，,:BM=MC，:.MN±BC，

...点O在直线MN上.又•「AD不是圆O的直径，M为AD的中点，.OMLAD,:.MNLAD,.•.BC//AD,.ZA=ZCBE.又「/4=4,.ZD=ZE,.△ADE为等边三角形.卡点三垂径定理【典例10】（2019*渝中区校级三模）如图，。0的半径OD上弦AB于点C,连结AO并延长交。O于点E,连结EB.若AB=4,CD=1,则EB的长为（ ）A.3B.A.3B.4C.5D.2.5【点拨】设。O的半径为儿在RtWOC中，利用勾股定理求出，，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.

【解析】解：设。。的半径为rVODXAB,.AC=BC=2,在RtAAOC中，・「ZACO=90°,：.OA2=OC2+AC2,•.・r2=(r-1)2+22,・_52,.一〜3...OC=万,.；OA=OE,AC=CB,.BE=2OC=3,故选：A.【典例11】（2019•利川市一模）如图，CD为。O直径，CDLAB于点F,AE±BC于E,AE过圆心O,且AO=1.则四边形且AO=1.则四边形BEOF的面积为（ ）A.V3V3B.—2V3C.—4V3D.一8【点拨】根据垂径定理求出AF=BF,CE=BE,AD=BD，求出ZAOD=2ZC,求出ZAOD=2ZA,求出ZA=30°,解直角三角形求出OF和BF,求出OE、BE、BF,根据三角形的面积公式求出即可.【解析】解:...CD为直径，CDLAB,

ZAOD=2ZC,\'CD±AB,AE±BC,:.ZAFO=ZCEO=9Q°,在△刀户。和△CE。中AAFO="EOZ.AOF=乙COE、。刀=OCAAFO^ACEO(AAS),:.ZC=ZA,:.ZAOD=2ZA,/AFO=90。,:.匕4=30。,•.崩。=1,OF=IAF=®F=OF=IAF=®F=岛,

乙 乙同理同理CE=写，OE=4,连接。8,连接。8,'：CD±AB,AE±BC,CD.'：CD±AB,AE±BC,CD./E过。,..•由垂径定理得：BF..•由垂径定理得：BF=AF=3,BE=CE=号，「•四边形BEOF的面积S=SABFO+SABEO=1X1X亨+1X1X*=£3,故选：C.【典例12】(2019-海南模拟)如图，。0的半径为5,AB为弦，点C为疝的中点，若ZABC=30°,则弦AB的长为_5^3—.【点拨】连接OC、OA,利用圆周角定理得出ZAOC=60°,再利用垂径定理得出AB即可.【解析】解：连接OC、OA,VZABC=30°,...ZAOC=60°,.：AB为弦，点C为海的中点，AOC±AB,在RtAOAE中，AE=5(3,.AB=5够，故答案为：5(3.

【典例13】(2019-金山区一模)如图，AB是。。的弦，/OAB=30。.OC±OA,交AB于点C,若OC=6,则AB的长等于18.【点拨】过O点作OD上AB于D,根据三角函数可求OA,再根据三角函数可求AD,再根据垂径定理可求AB的长，【解析】解：过O点作OD上AB于D,VZOAB=30°.OC±OA,OC=6,AOA=6V3,VODXAB,，一、/3一..AD=6/3X~2=9,•.・AB=9x2=18.故答案为：18.5050【典例14】(2019•青州市期中)如图，在。O中，DE是。O的直径，AB是。O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm,CD=2cm(1)求。O的面积；(2)连接AE,过圆心。向AE作垂线，垂足为凡求OF的长.

D【点拨（1）连接04根据AB=8cm,CD=2cm,C为AB的中点，设半径为,，由勾股定理列式即可求出,，进而求出面积.（2）在RtAACE中，已知AC、EC的长度，可求得AE的长，根据垂径定理可知：OFLAE,FE=FA,利用勾股定理求出OF的长.【解析】解：（1）连接OA，如图1所示VC为AB的中点，AB=8cm，...AC=4cm又VCD=2cm设。O的半径为，，则（r-2）2+42=r2解得：r=5.'.S=nr2=n^25=25n（2）OC=OD-CD=5-2=3EC=EO+OC=5+3=8:.EA=JAC2+EC2=V42+82=4V52：,OF=VFO2—EF2=V25—20=V*5虱【典例15】(2019•杨浦区三模)如图，已知AB是圆O的直径，弦CDLAB,垂足H在半径OB上，AH=5,CD=4V5，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F.求圆O的半径；如果AE=6，求EF的长.【点拨】(1)连接OD，根据垂径定理得：DH=2V5，设圆O的半径为，，根据勾股定理列方程可得结论；(2)过O作OGLAE于G，证明AAGO^AAHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长.【解析】解：(1)连接OD，..•直径ABL弦CD，CD=4/5，:.DH=CH=1CD=2扼，在RtAODH中，AH=5,设圆O的半径为r，根据勾股定理得：OD2=CAH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20,解得：r=4.5,则圆的半径为4.5；(2)过O作OG±AE于G,:.AG=|AE=§X6=3,•../A=/A,/AGO=/AHF,:.△AGOsWHF,AGAH•——=——AOAF.AF.AF=15,：.EF=AF-AE=孕-6=3.巩固练习1.（2019-南关区校级期末）如图，AB是直径，BC=CD=DE,ABOC=40°,则ZAOE的度数为（ ）

3 pA.30B3 pA.30B.40C.50D.60【点拨】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，点BOC=ZCOD=ZEOD=40°从而求得ZAOE的度数.【解析】解：•肮=^=施，ZBOC=40°,...ZBOC=ZCOD=ZEOD=40°,...ZAOE=180°-ZBOE=60°.故选：D.2.（2019-鼓楼区校级月考）如图，在。O中，AC=2AB，则以下数量关系正确的是（ ）A.AB=A.AB=ACAC=2ABACV2ABAO2AB【点拨】如图连接BC，首先证明AB=BC，利用三角形的三边关系即可解决问题.【解析】解：如图.连接BC. .AB=BC，:.AB=BC,:.AB+BOAC,：.2AB>AC,故选：C.3.（2019-成都校级月考）如图，。。中，ZAOB=80°,点C、D是。。上任意两点，则ZC+ZD的度数是（）A.80° B.90° C.100° D.110°【点拨】根据圆周角定理解决问题即可.【解析】解：•.•匕刀。8=80。，1「・ZC=ZD=^ZAOB=4Q°,.*.ZC+ZD=80o,故选：A.4.（2019•玄武区期末）如图,是。。的直径，弦CDLAB于点M若CD=Scm,MB=2cm,则直径48的长为（ ）B

A.9cmA.9cmB.10cmC.11cmD.12cm【点拨】如图，连接OC.设OA=OB=OC=r.在RtKOCM中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【解析】解：如图，连接OC.设OA=OB=OC=r.55VABXCD,•一…1“，..CN=MD—~^CD=4cm,在RtAOCM中，：OC2=CM2+OM2,.*.r2=42+（r-2）2,解得r=5,.AB=2OA=10,故选：B.5.（2019•南沙区一模）如图，8的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交。O于点E,连结EC.若AB=8,OC=3,则EC的长为（ ）0CA.2面B0CA.2面B.8C.2V10D.2面【点拨】根据垂径定理求出AC=BC,根据三角形的中位线求出BE,再根据勾股定理求出EC即可.【解析】解：连接BE,'：AE为。。直径，:.ZABE=90。,：ODLAB,OD过O,:.AC=BC=§AB=§X8=4,:AO=OE,:.BE=2OC,：OC=3,:.BE=6,在RtACBE中，EC=7BE2+CB2=V42+62=2^13,故选：D.6.（2019•余杭区期末）如图，点A,B,C都在。O上ZAOC=130o,ZACB=40°,ZAOB=80。，弧BC=50。.【点拨】直接利用圆周角定理得到ZAOB=80°,再计算出ZBOC=50°,从得到死的度数.【解析】解：•.•Z/Q8=2Z/S=2x40°=80°:.ZBOC=ZAOC-匕AOB=130°-80°=50°,...死的度数为50°.故答案为80°,50°.7.（2019-扬州）如图，AB为。O直径，点C、D在。O上，已知匕BOC=70°,ADIIOC,则/AOD=40度.【点拨】首先由ADIOC可以得到ZBOC=ZDAO,又由OD=OA得到ZADO=ZDAO，由此即可求出ZAOD的度数.【解析】解：：ADIOC，...ZBOC=ZDAO=70°，又•OD=OA，:.ZADO=ZDAO=70。，...ZAOD=180-70°-70°=40°.8.（2020-新宾县二模）如图，在。O中，直径EFLCD，垂足为M若CD=2，EM=4，则。O的半径为17.8—【点拨】根据垂径定理求出CM,根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【解析】解：设。。的半径为R,,:EM=4,：.OC=R,OM=4-R,..•直径EFLCD，垂足为M,CD=2,AZOMC=90°,CM=DM=1,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2,即R2=(4-R)2+12, 17解得：R=-Q,故答案为：马.89.(2019•沙坪坝区校级期中)如图，0O是△ABC的外接圆，AB是。O的直径，CD是。O的弦，匕ABD=57°,则匕BCD等于33°.D【点拨】先根据圆周角定理由AB是。O的直径得到ZADB=90°,再根据互余得到ZA=90°-ZABD=34°,然后根据圆周角定理求解.

【解析】解：连接AD, ■''：AB是。。的直径，:.ZADB=90°,:.ZBAD=90°-ZABD=90°-57。=33。，:,ZBCD=ZBAD=33°.故答案为：33°10.（2019-海南一模）如图，AB是。。的直径，M、C为。。上的点，四边形POMN为矩形，BC=4,AC=6,则AN=_4r3-3.OBCOBC【点拨】利用勾股定理求出AB，利用垂径定理求出PA即可解决问题.【解析】解：•:AB是直径...ZACB=90：BC=4，AC=6，：.AB=V42+62=2/13•:四边形OPNM是矩形:.PN:.PN=OM=/13,ZOPN=90°：.OP±AC,:.PA=PC=3,:.AN=PN-PA=V13-3,故答案为413-3.11.(2019-海淀区校级月考)如图，。0的直径AB垂直于弦CQ,垂足为E,点F为。O上一点，且满足/AFC=22.5。,AB=8，则CD的长为4血_.【点拨】利用圆周角定理证明^COE是等腰直角三角形即可解决问题.【解析】解：•.•/AOC=2NAFC=45。，AZBOC=2ZA=45°,VOO的直径AB垂直于弦CD,：,CE=DE,△OCE为等腰直角三角形，CE=^~OC=2^2,••・CD=2CE=4/2.故答案为4互12.(2019•东城区校级期中)如图，点P是。O内一点，(1)过点P画弦AB,使点P是AB的中点，并简述作图过程.(2)连接OP并延长交。O于点C,若AB=8,PC=2,求。O的半径.【点拨】(1)过P作直径QE,再根据垂径定理作DE的垂线即可;(2)连接04根据勾股定理和垂径定理求解.【解析】解：(1)①过P作直径DE,交。。于点D和E；②过P作弦ABLDE于P；(2)连接OA,设。。的半径为'，则OP=r-2,VOP±AB,,\AP=§AB=2X8=4,根据勾股定理可得：OA2=OP2+AP2,.*.r2=42+(r-2)2,r=5,答：0O的半径为5.13.(2019-自贡)如图，0O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD，连接AD、BC.求证：(1)而=耽；(2)AE=CE.【点拨】(1)由AB=CD知而=赤，即AD+AC=BC+AC,据此可得答案；(2)由AD=BC^]AD=BC,结合ZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE可证△0DE*CBE,从而得出答案.【解析】证明(1)'：AB=CD,:.AB=CD,即AD+AC=BC+AC,:.AD