量子力学课件-7讲-角动量

第七讲一、厄密算符回顾二、厄密算符的本征值与本征函数三、角动量的本征值与本征函数习题2一、厄密算符回顾（1）1、转置算符若d*Bˆ

dAˆ

*2、共轭算符3、厄密共轭算符3~~则则称Bˆ

Aˆ

为Aˆ的转置算符。即，

d

*

Aˆ

d

Aˆ

*Aˆ和

,

若Aˆ*

(

Aˆ

*

)*则称Aˆ*为A的共~~Aˆ,

则Aˆ的共轭转置算符Aˆ

*称为Aˆ的厄密共轭算符,记为Aˆ

,即Aˆ＝Aˆ

*。4一、厄密算符回顾（2）4、厄密算符Aˆ,

若

Aˆ

Aˆ, 则称A为厄密也就是说，Aˆ,

若

Aˆ

A

,

则5、厄密算符的平均值定理：厄密算符的平均值为实数。**

3

*

3

**

3

*~*

3~*ˆ

ˆ

A，即A

Aˆ(r

)，若AAˆ和

ˆ＋

ˆ*

ˆ

(r

)

A

(r

)d r

[

(r

)

A

(r

)d

r]

A

ˆ

则

A

(r

)

A

(r

)d r

(r

)

Aˆ

(r

)d

r一、厄密算符回顾（3）推论：厄密算符平方的平均值大于等于零~ˆ

ˆ~*

A，即A

Aˆ(r

)，若Aˆ＋Aˆ和

AˆAˆ*

*d

3r

|

Aˆ

|2

d

3r

0

则

A

2

*

(

Aˆ)2d

3r

*

Aˆ

*

(

Aˆ

)d

3r5二、厄密算符的本征值与本征函数（1）（一）本征函数（本征态）Aˆ是厄密算符，，若A是Aˆ在下的平均值，ˆ~ˆ

ˆ

ˆ~

~

2*,即A

*

Aˆd

3r,设Bˆ

A

Aˆ

A,则Bˆ

*

Aˆ

*

A*

Aˆ

A

A

|

(

A

A)

|2

d

3r

0即B

B

B为厄密算符，亦即，一般情称为Aˆ的本征态，此时，Aˆ

A

,且A6Aˆ

n

An

n可能有n组，因此此式称为A的本征方程，An称为Aˆ的一个本征值，

n称为Aˆ的一个本征态。二、厄密算符的本征值与本征函数（2）(二)本征值

Aˆ

d

,

benx

,

d

nbenx

,

Aˆ

ndx

dx满足

Aˆ

A

的

和A不止一组,73*

ˆn

n

n

nnn

A

Ad r

二、厄密算符的本征值与本征函数（3）定理1：厄密算符的本征值必为实数。A是厄即A

n

An

n8即A

|

|2

d

3r

A

.

A是实数

A

也是n

n证3nmm

n

，

）＝0*d r

0,或（二、厄密算符的本征值与本征函数（4）定理2：厄密算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。即**

***

*

3*

3*3ˆ,积分，得ˆmmmm

m

A

，左乘nnm

(

A

)d r

n

m

mmm

n

A

d r

Ad

r

A是厄密算符，且

A

n

An

n

,

Aˆ

m

Am

m，A

A

,有A

910ˆ~ˆˆ3*3*3*3*3**

33**

3*

*

3

上式左边

nmm

nm

nm

nm

nd r

0

,

)

0d r

0,即（因

A

A

，必有

即（A

A

)

m

nmm

nd r

Ann

nmmnm

nn

m

n

m

m

m所以，Ad

rd r

A*

3m

nd

rA

d r

A

(

A

)d r

~

~因Aˆ是厄密算符，故Aˆ

Aˆ

*,因此Aˆ*

Aˆ,所以，

d

r，

A(

A

)d r

二、厄密算符的本征值与本征函数（5）正交归一化的表示mn或（

m

,

n

)

mnm

nn

n

n

nm

n

m

n

0,

m

n1,

m

n有

*

d

3r

以及

*

d

3r

1,或（

,

)

1

*

d

3r

0,或（

,

)

0由11三、角动量的本征值与本征函数（1）角动量及其算符(1)r

xex

yey

zez

,

l

lxex

lyey

lzez12ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

z

ez

)ˆ

ˆ角动量

l

r

p,角动量算符

l

r

py

eyx

ex在直角坐标下，

ˆ

i

i(

pzy

xlˆ

i(x

y

)yx

zlˆ

i(z

x

)xz

ylˆ

i(

y

z

),

三、角动量的本征值与本征函数（2）角动量及其算符(2)xylˆ

i

(cos

cot

sin

)zlˆ

i

则

lˆ

i

(sin

cot

cos

),

形式简洁，成为关注对象13x

r

sin

cos

y

r

sin

sin

z

r

cos在球坐标下14z

r

cos

tan

y

/

x

y

r

sin

sin

cos

z

/

r

x2

y2

z2f

f

r

f

f

x

r

sin

cos(1)(2)(3)r

2其中

x1

,

x2

,

x3

x,

y,

z

xi

xixi

r

xi

z

x

yr

z

r

r

y

y

y

r

z

z

r

x

x

x

r

或

zr

cosxy

r

sin

sin

s

r

sin

cos直角坐标与球坐标的变换关系rxz球坐标ry这表明：r

=

r

(x,

y,

z)x

=

x(r,

θ,φ)球坐标

1

sin

z

r

y

cos

sin

1

cos

cosr

x

r

1

z

x

0

y

r

sin

1

cosr

sin

1

sin将（1）式两边分别对x

y

z求偏导数得：将（2）式两边分别对x

y

z求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z

的函数）则有：将（3）式两边分别对x

y

z求偏导数得：将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：]12ˆ2(sin

2)

sin2

21

sin

L

[xyLˆ

i

[sin

cot

cos

]

Lˆ

i

[cos

cot

sin

]

iLˆz

形式简洁rxz球坐标ry

1

cos

1

sin

0

1

cos

sin

sin

1

cos

sin

1

sin

z

r

rr

sin

y

r

rr

sin

x

sin

cos

r

r

cos

cos

三、角动量的本征值与本征函数（3）例1：角动量z分量的本征值与本征函数(1)设本征函数和本征值为

和lz

,则本征方程为zzi

l

ln

il

/其解为

()

C

exp(ilz

/),其中，C为归一化常数。当

2

,系统将回到原来的位置，由波函数单值性的要求，应有

(

2

)

()。为此，要求lz

m ,

m

0,

1,

2,,是量子化的。im相应的本征函数为

m

()

Ce

,

m

0,

1,

2,,16三、角动量的本征值与本征函数（4）例1：角动量z分量的本征值与本征函数(2)由归一化条件，有0171eim，m

0,

1,

2,,2(

m

,

n

)

mnm2|

()

|2

d

2

|

C

|2

1

C

1/

2m所以，

()

不难验证三、角动量的本征值与本征函数（5）218*022002*

(02200

1

2

1

2

1

2d

1

1

2

1

2

1

2d

0(

m

,

n

)

mnnn

()

()dinmn)

()dineine d

eime d

ei

(nm)归一正交三、角动量的本征值与本征函数（6）2

22I

2222ˆlˆ2H

z

2I

2I

E

a

,

2a

,

()

i

()

aceiaceia

,a

a

E

2

22I

2例2：平面转子的本征值与本征函数绕z轴旋转的平面转子，设I为转动惯量，则a

2I

E，

()

cei19。能量本征方程为三、角动量的本征值与本征函数（7）12同样可证(

m

,

n

)

mni

a2

22I

2a

m,2

/

2I

,eimmc

1

2

，

()

方程

E的解

(

)

ce20单值性要求

(0)

(2

)m

0,

1,

2,,

E

Em

m2除m

0外，一个Em对应两个

m

能级是二重简并的。由归一化条件得到三、角动量的本征值与本征函数（8）例3：动量x分量的本征值与本征函数x

px

xxxpˆi

p

C

exp(ip x

/

)x

ix设本征函数和本征值为

和p

,若x

(,),则px

(,),是连续变化的。

p

连续谱本征函数，不能用一般的方式x归一化。21三、角动量的本征值与本征函数（9）例4：一维

粒子的能量本征态能量本征方程为一维

粒子的Hamilton量为HCeikx x

2mx22mmx2pˆ

2

22ˆ2一个E对应两个

E

能级是二重简并的。

E()x

Ce

也是连续谱本征函数，也不能用ikx一般的方式归一化。

EkE(k/,m2)20,/0mE

E

x

222222习题(1)习题