三角形中的一类最值问题转化为三角函数求最值

三角形中的一类最值问题：转化为三角函数求最值1.（

sinsin

型）1.1在

中，内角B

所对的边分别为b,a222

.（）B

的大小；（）

2cos

的最大值．1.2如图，在ABC中，已知B

，D为BC边上一点．（）

S

DAC

，求

DC

的长；（）AD

，试求

ADC

的周长的最大值．2.（

sinB

型）在

中，内角B,

所对的边分别为b

，且满足ccB)C（）角C的小（）面的最大值sin3.(型）sin的大小；在中内角C（）A

所对的边分别为,b,，asin

3ccosA

.（），且

B

，求c的取值范围．其他：4.在

中内A,,C

所对的边分别为abc

若AsinA,

且B

的最大值是()7C1D.在锐角角形ABC中内角A,B,

所对的边分别为bc

且满足

a(1cosA

则(c)

的取值范围是)A2)．(8,82＋8)D.(8－8,8)

22222ac224ππeq\o\ac(△,S)DAC32222222ac224ππeq\o\ac(△,S)DAC322＋＋3，C－sinC＋43＋cos＋＝8sin3答案：1.1解：由a＋＝b＋，得a＋－＝2.＋－bac2π∴cosB＝＝＝.∵∈，，＝3(2)由(得＝－，∴cosA2cosC＝A2cos

3－Acos－＋sinAsinA∵∈，，∴当＝，A取最值，A的大值1.解∵＝，·ADAC∠DAC＝3π2π∴sin∠DAC∵<∠<－＝，∠＝.在中，余定得＝＋AC－AD·AC

π，∴＝＋48－2×2×3×

＝，∴DC＝7.π(2)∵AB＝AD，B＝，△为三形．43在中，据弦理可＝，sinππsin－Cπ∴AD＝8sin，DC＝8sin，π∴的周为＋＋AC8sin＋8sin－C＋＝sin＋

3π232ππ2∵ADC＝，0<<，<＋<，πππ∴C＋＝，＝时△ADC的长得大，最值＋2.解(1)正定及意，sin＋sincosC－2sin＝0.∵＋＋＝，sin(B＋)＝sin，sinA－2sinAC＝0.π∵A≠0，＝.∵∈，，∴＝.(2)由弦理得c2＝＝＝＝，a＝4sin，＝sinsinCπsin22又A＋＝，∴＝A

－A＝－＋∴ABC的面＝C＝43sinAsinB＝3sin＋A，因B>，以B＝＋，以4.解：－A＝－＋∴ABC的面＝C＝43sinAsinB＝3sin＋A，因B>，以B＝＋，以4.解：B因为＝＝，以sinB＝cos＝sin2442eq\o\ac(△,S)ABC2222πππ当＝时有大，＝解：由意

csinAC＝.由弦理得＝＝1.A3cosACπ∴＝∵∈(0π)，A＝πc(2)∵＝，＝，在ABC中，正定＝，BCbCC得＝＝＝sinB

22sin－sinB

＝

＋＝＋1.sintanππ∵≤≤，1B3，∴≤c≤3＋13即的取范为，3＋1]bbππsincosB2πsinA＋＝sin＋sin(＋B＝sinA＋＋A＝＋＝－Asin＋＝2sin－

4

2＋，所以sinA＝时sin＋sinC取最值，.解析选根据弦理cosB＝b＋A)可为sinAcos＝sinB＋cos)，即－B)＝由eq\o\ac(△,于)为锐三形故－B＝B即＝2BCπ3ππ2所A＋＝∈，，C∈，，以tanC＝C－

，解－1

C1由＝absin