恒成立问题与零点问题

恒成立问题与零点问题知识回顾.函数的极值函数f(x)在点X0附近有定义，如果对X0附近的所有点都有f(X)<f(x0),则称f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点都有f(X)>f(x0),则称f(X0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(X0).极大值与极小值统称为极值，称X0为极值点..求函数的极值的三个基本步骤1)求导数f'(X)；2)求方程f'(x)=0的所有实数根；3)检验f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号，如果是左正右负(左负右正)，则f(x)在这个根处取得极大(小)值.3,求函数最值1)求函数f(X)在区间(a,b)上的极值；2)将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.知识讲解不等式的恒成立问题.若xeD,f(x)>m在D上恒成立，等价于f(X)在D上的最小值f(X) >m成立.min.若xeD,f(x)<m在D上恒成立，等价于f(x)在D上的最大值f(X) <m成立.max.对任意xeD，都有f(X)<g(X)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)<0..对任意XeD，都有f(X)>g(X)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x),F(x).>0.对任意X],x2eD，都有f(X1)<g(x2)成立的充要条件是f(x)max<g(x)血口..对任意X],x2eD，都有f(xj三g(x2)成立的充要条件是f(x)向口三g(x)max.不等式的能成立(存在性)问题.若存在xeD，使得f(x)>m在D上能成立，等价于f(X)在D上的最大值f(x)>m成立.max.若存在xeD，使得f(x)<m在D上能成立，等价于f(x)在D上的最小值f(x)<m成立.min.若存在xeD，使得f(X)<g(X)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x),F(x).<0.第1页共1页.若存在％eD，使得f(x)>g(x)成立，等价于构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)max>0..若在x1,x2eD，至少存在一个x1,x2使得f(x)<g(x2)成立等价f(x)mi^<g(x)max.不等式的恒成立与存在性的综合问题.对任意x1eD,存在x2e石，使得f(x1)<g(x2)成立，等价于f(x)在D上的最大值f(x)max<g(x)max在E上的最大值2.对任意xieD，存在x2eE，使得f(x)>g(x2)成立，等价于f(x)在D上的最小值f(x)min>g(x)min在E上的最小值.1 7【例1】(2013房山一模理)已知函数f(x)=—ax2一(a+1)x+lnx,g(x)=x2一2bx+—.2 8(I)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)当a=1时，函数f(x)在(0,2]上的最大值为M，若存在xe[1,2],使得g(x)>M4成立，求实数b的取值范围.第2页共2页【例2]f(x)=xlnx,g(x)=一x2+ax—3.(I)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值；(II)对一切xG(0,+8),2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.第3页共3页ax2+x+a【例3】(2013门头沟一模理)已知函数f(x)= .ex(1)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值;(II)当xg[0,2]时，f(x)>-1恒成立，求a的取值范围.e2第4页共4页【例4】(2010崇文一模文理)已知/(%)=%3-6ax2+9a2x(aeR).(I)求函数f(x)的单调递减区间；(II)当a>0时，若对任意xe[0,3]有f(x)W4恒成立，求实数a的取值范围.第5页共5页1 2【例5】(顺义区2012届高三尖子生综合素质展示)已知a>0，函数于(x)=3a2x3—ax2+3g(x)=—ax+1,xeR.(I)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))的切线方程；1(ii)求函数f(x)在［—1,1］的极值；(ni)若在区间(0,,］上至少存在一个实数x0，使f(x0)>g(x0)成立，求正实数a的取值范围.第6页共6页b, —【例6】(2012丰台高三期末理)设函数f(x)=x-alnx+-在％=1处取得极值.x(I)求a与b满足的关系式；(II)若a>1,求函数f(x)的单调区间；1(III)若a>3,函数g(x)=a2x2+3，若存在勺，m2g[于2],使得|f(m)—g(m)\<9成立，求a的取值范围.第7页共7页【例7】(2011海淀一模理)已知函数f(x)=x—alnx,g(%)=-1+a,(aeR).X(I)若a=1,求函数f(x)的极值；(II)设函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的单调区间；(III)若在I1，e](e=2.718…)上存在一点x0，使得f(x)<g(x0)成立，求a的取值范围.第8页共8页【例8】(2013朝阳一模理)已知函数f(x)=x2—(a+2)x+aInx+2a+2，其中a<2.(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若函数f(x)在(0,2］上有且只有一个零点，求实数x的取值范围.第9页共9页【例9】(2011西城期末理)已知函数f(%)=ax2-(2a+1)x+2lnx(agR).21(I)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；(11)求f(x)的单调区间；(III)设g(x)=x2-2x，若对任意xig(0,2],均存在x2g(0,2],使得f(xj<g(x2)，求a的取值范围.第10页共10页【例10】(2013海淀二模理)已知函数f(%)=ex,点A(a,0)为一定点,直线％=t(twa)分别与函数f(%)的图象和％轴交于点M,N，记AAMN的面积为5(t).(I)当a=0时,求函数5(t)的单调区间；(II)当a〉2时，若310e[0,2],使得5(10)>e,求实数a的取值范围.第11页共11页 ._mx j, … 八 ， 、一【例11】(2013朝阳二模理)已知函数f(x)=——-+1(m丰0),g(X=x《ax〃)eR.X2+1(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当m>0时，若对任意x1,x2e[0,2],f(x)>g3)恒成立，求a的取值范围.第12页共12页【例12】(2013东城二模理)已知函数f(x)=lnx+a(a>0).x(I)求f(x)的单调区间；1(II)如果尸(x0,y0)是曲线y=f(x)上的任意一点，若以P(x0,y0)为切点的切线的斜率k<2恒成立，求实数a的最小值；(III)讨论关于x的方程f(x)=x3+2(b+0)-1的实根情况.2x2第13页共13页随堂练习X【练】(2013房山二模理)已知函数f(x)=(x2+x-a)ea(a>。).(I)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(II)当x=-5时，f(x)取得极值.①若m>-5，求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值；②求证：对任意q,x2e[-2,1],都有lf(xj-f(x2)l<2.第14页共14页课后作业【题1】(2012昌平区高三期末理)已知函数f(x)=(x2-x--)瓯(a>0).a(I)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(II)若不等式f(x)+5>0对xGR恒成立，求a的取值范围.a第15页共15页【题2】(2008天津理)已知函数f(x)=x+"+b(xw0),其中a,beR.x(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性； 「1 1一，，，「1 1 ....一(3)若对于任意的ae-,2，不等式f(x)W10在“1上恒成立，求b的取值范围.