中学物理学中的数学问题上

中学物理学中的数学问题目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言:中学数学与物理关系ー窥 3\o"CurrentDocument"第一章比例、方程与方程组在中学物理学中的应用举例 6!比例法在中学物理学中的应用 62力学中的方程与方程组应用举例 93稳恒电流中方程与方程组问题 174电磁场中的方程与方程组应用举例 19\o"CurrentDocument"第二章函数的性质在中学物理学中的应用 221函数的定义域在物理学研究中的作用 222函数的值域在中学物理学中的应用 273一次函数在中学物理学中的应用 284线性回归在中学物理学中的应用 325二次函数与一元二次方程在中学物理学中的应用 33\o"CurrentDocument"6分段函数在中学物理学中的应用 397函数的单调性在中学物理学应用及其局限性 428函数的周期性在中学物理学中的应用 46\o"CurrentDocument"第三章导数和定积分在中学物理学中的应用 501利用导数求某些物理量的变化率问题 502利用导数求某些物理量的最值问题 563定积分及其在中学物理学中的应用（选学） 624极限思想在中学物理学中的应用（选学） 66\o"CurrentDocument"第四章不等式在中学物理学中的应用 721不等式的解法在中学物理学中的应用 722利用均值不等式求最值在中学物理学中的应用 773判别式在中学物理学中的应用 834线性规划在中学物理学中的应用（选学） 87第五章三角函数在中学物理学中的应用 87!锐角三角函数在中学物理学中的应用 882同角的三角函数之间的关系在中学物理学中的应用 933三角函数的单调性在中学物理学的应用 1004三角函数的值域在物理学中的应用 1035三角函数的图象在中学物理学中的应用 1066反三角函数在中学物理学中的运用 1097两角和与差的三角函数公式在物理学中的应用 1168辅助角公式在中学物理学中的应用 1199二倍角公式在物理学中的应用 12310半角公式在中学物理学中的应用 12611积化和差、和差化积公式的应用（选学） 128\o"CurrentDocument"12正弦定理和余弦定理在中学物理学中的应用 130\o"CurrentDocument"13三角函数在几何光学中的应用 138引言一一中学数学与物理关系ー窥数学作为ー门工具,在高中物理的学习中时时存在数学方法的影子,在解题的过程中,除了面对物理知识的考察和理解外,可能也面临着数学方法、数学知识的考验，而有时数学方法的使用对解题能力的提升起到关键的作用.新的高中物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求:ー是理解能力，二是推理能力,三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力,五是实验能力，尤其是创新实验能力.其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是:要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式,进行相关推导和求解,并根据计算结果得出物理结论:必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析.物理学利用种种数学表述手段为理论和实践开辟道路、使物理学的结论可随时加以严格检验.华东师大朱鉱雄教授说得好：“与欧几里得几何学的‘公理’不同的是，与几何学相比,物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符。”高中物理重视定量分析，要用到数学方面的知识,数学基础的好坏直接影响着物理成绩的高低.比如在谈到力的正交分解时要涉及到平面直角坐标系和三角函数的知识.而匀变速直线运动的规律中就是一次函数和二次函数及有关图象的斜率问题.还有研究电磁感应的感应电流和感应电压时,也经常用函数图象来表示,例如在力学中,我们可以从不同角度来研究力的作用效应，每种效应分别对应相应的规律，这便构成了力学的三条主线.力的瞬时作用效应，是使物体产生相应的加速度,对应规律牛顿第二定律F=ma的数学表达式.カ的时间积累效应，是使物体的动量发生改变,对应规律动量定理F・t=P'-P的数学表达式.カ的空间积累效应，是使物体的动能发生改变,对应规律动能定理W=El氏的数学表达式.我们要训练学生从实际问题的已知条件出发,适当地选择物理规律来解决问题.特别是近几年来高考对数学表达能力的考查要求提高了，所以对一些在高中物理中要用到的数学知识，如ー次函数图象、图线的斜率和截距、几何中心、三角函数、解比例、二次函数的极值等等，都有必要进行补充复习和训练，培养和提高数学表达能力.数学是与物理联系最为紧密的学科之一,随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的学习中要随时注重数学知识和物理内容的整合.所谓的思而不学则罔,学而不思则殆，物理的数学和物理的哲学分别就是学与思.运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面.一是从物理现象与过程出发,经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题;二是综合运用数学知识,例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等,正确、简洁地进行有关问题的求解.数学知识不仅是解决物理问题的工具，本身也是ー种物理思维方法.具体地讲,物理中考查的主要数学方法有：.图象处理能力（1）给定图象图表信息,要求学生提取信息并处理，寻找规律.每年的物理试题中都会有大量的图表图例,包括示意图、各种规律图象、数据列表等，尤其是是些空间立体示意图,要求学生从这些图表图象示意图中获取相关的信息ー即读图的能力;（2）用图象描述物理规律.要求学生用图象来描述物理现象、物理规律、计算结果等.如描述线框进入有界磁场区域时切割磁感线产生的感应电流或感应电动势随时间的变化图线（全国髙考多次考查,是学生的难点），实验题中的描点连线等;（3）用图象法解决物理问题.图象法解题属于物理解题方法与技巧,是ー种非常好的物理思维方法.如速度一时间图象、位移ー时间图象、加速度ー时间图象、磁通量一时间图象、感应电流或电动势ー时间图象、分子力一分子间距离图象、分子势能一分子间距离图象、弹簧弹カ一变化量图象等,由于这些图象能生动形象、一目了然地反映问题，因此,若能巧妙地运用对解题带来很多方便.特别是动力学综合题中运用速度一时间图象是ー种很好的辅助方法.（4）辅助法比如运动过程草图、受力分析图、电路图、光路图、原子能级跃迁图等,都是解题过程中的一种辅助手段,若能熟练地画出相应的辅助图,对解题带来很大的帮助。.特殊数学思维方法在物理解题中要经常用于ー些比较特殊的数学方法,比如数学归纳法（碰撞或往复运动模型中常见），正弦定理法（静力学三カ平衡且三カ不是直角三角形时多见），相似三角法,三角函数极值法，二次函数判别式法（追赶问题、求极值问题等中多见）,不等式法（判断题中多见），数列和二项式定理（能级跃迁求光子种类等中多见）,数形结合法（力学和电学中多见）,等等.还比如圆的对称性及相关知识的运用就是个重要的物理方法，如带电粒子在电磁场中的运动求半径、求圆心、画运动轨迹、判断相关的角度（如进入磁场边界时的对称性）等,求相关极值,如圆形磁场的最小面积（最大弦长对应最小磁场面积）等。.估算法在物理学中经常用到估算的办法和近似的办法以及小量的处理办法.数学研究的是数量关系和几何形态,而这些必须是以自然界的物质及其运动为对象的.离开了现实世界，数学研究就没有意义,即使是数论和数理逻辑等抽象数学分支也不能例外.数学是解决物理问题的工具，是精确表述物理现象及其规律的语言，而不是向大自然发号施令的权杖.美国物理教师协会（AAPT）在1988年发表《中学物理课程内容》的报告中指出:“应当让中学生体验到物理学是ー门发展中的科学,是现代前沿科学中最为激励人心的学科之一.”数学和物理学的相互影响和促进,在整个近代科学史的发展过程中具有根本意义.不仅物理学离不开数学，数学也离不开物理学。早在20世纪30年代狄拉克就认为,基础物理学是通过越来越能体现数学之美的理论取得进展的。数学、物理本是科学的李生子，有着共同的根源,几个世纪以来,它们沿着各自的脉络发展，至今已门类林立，内容迥异.然而，今天应用的数学物理方法已经不在局限于18世纪的导出的方程.这些方程反映相关物理现象的本质和运动的基本规律.它们的确立，体现了人们的认识从表象走向本质的飞跃，是这些学科走向成熟的ー个标志.当我们沉湎于具体方程的研究和学习时,往往并不满足于这些方程抽象的表述形式和单纯的理论探讨，而迫切需要熟悉它们物理现象的本源,了解它们的物理和数学的直观意义，以便进ー步开拓思维，把握实质，发现内在联系,找到新的灵感.但要做到这一点，在今天已经太不容易了，因为他们面前是一条横在数学与物理学两大学科之间的鸿沟.自然界中的一切事物都是质和量的统一体,认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察,量变到质变是事物发展的普遍规律.反映事物本质属性及其规律的物理学,不仅应有正确的定性描述,还必须准确地刻画出量的变化规律,而且也只有当物理学由定性进入到定量的阶段,オ算是真正把握住了事物的质，オ标志着物理学已经成熟,这当然离不开数学.物理学逐渐发展成为一门成熟的自然科学,它不仅用实验方法代替了以往整体的观察法而且引进了数学方法.在物理学研究中针对研究对象不同的特点,运用数学概念、方法和技巧,对研究对象进行量的分析、描述、计算和推导,从而找出能以数学形式表达事物的量的规律性.为了体现数学学科的工具性和实用性,加强学科间的渗透,并由此强化对学生的能力考查,我们编辑本书时特别注意两点:ー不求全,物理学作为ー门学科,触及的领域相当的广泛,所涉及的知识面也十分的复杂.由于方程与方程组、锐角的三角函数、比例在物理学中应用得最多,而且在化学课中方程、比例也经常应用，同学们也比较熟悉，不写难以保证其完整性，因此本书略写.陆游在《次韵和杨伯子见赠》中所要求的:“文章最忌百家衣，火龙触敲（fufu）世不知.谁能养气塞天地,吐出自足成虹霓.”对ー门学科的ー个体系或者ー个对象进行研究,所要掌握的数学知识也是要相当丰富的，采取的手段和方法也要准确、有意义.本书选题仅涉及中学物理学中数学问题的冰山一角,难以对浩如烟海的物理学中的数学问题做全面的概括;康托曾经讲过:'’在数学领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.数学的本质在于其自由.”海森堡讲:“提出正确的问题往往等于解决了问题的大半.”李政道讲:“对于科研工作者来说，最重要的是自己会不会提出问题.”本书仅仅是提出这些问题抛砖引玉，供同学们思考.有些内容应用频率较低，本书没有单列,例如排列组合在中学物理学中的应用较少，但并不是没有应用，例如原子能级的跃迁发射或者吸收光子的种类为CM,其它实例不再列举.著名物理学家巴丁(J.Bardeen)的一段话很有启发性:“处在这日益专业化的时代之中，得以认识到基本物理概念可能应用于一大批看起来五花八门的问题,是令人欣慰的。在理解某ー领域所获得的进展常常可以应用于其他领域。这不仅对材料科学的众多领域是确实的，对广义而言的物质结构亦复如此。作为阐述的例证，为理解磁性、超流性和超导性所发展的概念也被推广应用于众多的领域，如核物质,弱与电磁相互作用，高能物理学的夸克结构与众多的液晶相”。德驰认为:“数学只能揭示抽象对象的真相.而物理学与其说是试图研究这些对象,还不如说是发现哪个对象更符合现实.据我们所知,迄今为止，我们用来构建物理学理论的纯数学的比例非常小.”例如粒子和场以及空间和时间之间的所有关系都能用一系列可在图灵机(图灵机是我们目前广泛使用的计算机的基础)上计算出来的数学运算表示出来.但是,德驰指出,为了在获得万物之理这条路上取得进步,我们可能需耍进入一些目前无法由计算机计算出来的数学领域.而且德驰进ー步表示,我们必须摒弃过去几个世纪里已经让我们取得巨大进步的一个想法,那就是,如果我们从数学开始进行研究,现实也会跟着数学方法走.相反，我们必须首先用我们对物理宇宙的理解来解决问题,也即宇宙中的物质正在慢慢减少，或者为什么引力比其他作用力更加微弱等:另外,我们也要尽力弄清楚,我们的宇宙观发生什么变化才能解决这个问题.德驰指出：“很多理论物理学家们试图首先用数学方法开始,但这根本无济于事,永远不会成功.”二不求难，中学物理学难度之大关键在于大量应用数学知识，我们仅就大部分学生能够接受的问题进行分析研究，起到抛成引玉的作用,主要是让学生体会数学与物理学的关系,为将来的学习与研究打下坚实的基础.本书初步归纳出了中学物理学中的几个数学问题,以数学问题为主线展开.为了便于学生阅读,书中涉及的数学知识均为中学数学范围之内,由于涉及高中数学和物理学的全部内容,因此本书适用于高三学生阅读.由于时间仓促，错误在所难免,恳请广大读者给予斧正，联系方式一diancizhi1iang@163.com.第一章比例、方程与方程组在中学物理学中的应用举例.比例法在中学物理学中的应用所谓比值定义法.就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法.一般地,比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性,它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变.在初中就有过物质密度的定义，电阻的定义,到高中进ー步渗透这种方法,如确定的电场中的某一点的场强就不随q、F而变;电容C的定义,用电荷量Q与电势差U的比值来定义，但电容C是由电容本身决定的，与Q和U无关;到后面的电势、电势差、磁通密度等都用这种方法来定义，当然用来定义的物理量也有一定的条件,如q为点电荷，S为垂直放置于匀强磁场中的一个面积等.类似的比值还有:压强、速度、功率等等,就这样把这种定义物理量的方法渗透在整个物理学中.比例是最基本也是最常用的数学建模方法之一.在物理学中有很多是基于这种方法而得到的公式,例如牛顿第二定律尸=侬,虎克定律尸=〃s,(虎克定律:弹カ大小与形变成正比).比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算,使解题过程大为简化.应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系,要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用,以及所要讨论的比例关系是否成立.同时要注意以下几点.(1)比例条件是否满足.物理过程中的变量往往有多个,讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时オ能成比例.(2)比例是否符合物理意义.不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系,要注意每个物理量的意义.(如不能根据れフ认定电阻与电压成正比)(3)比例是否存在.讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量.如果该条件不成立,比例也不能成立.(如在串联电路中，不能认为户中タ与??成反比，因为??变化1\的同时，む也随之变化而并非常量)许多物理量都是用比值法来定义的,常称之为“比值定义”.如密度。ギ导体的电阻/iヰ，电容器的电容C鼻接触面间的动摩擦因数〃=£,电场强度ム=ラ等.它们的共同特征是:被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的,它和定义式中相比的物理量无关.通过数学推理的方法使复杂的计算过程简单化.我们常遇到有些综合题所反映的物理过程往往比较复杂，其中,有些物理量是并不要求解出的,但它在解题中恰恰又需要，这样的物理量称作中间量.对中间量的处理如果我们指导学生用数学的方法进行推导，往往这些中间量不但不需要计算出来，甚至还可以不需要在解题过程中体现，可舍去反复套用公式的过程，免去不必要的中间量计算，从而减少大量的计算,使解题既科学又简捷.例1ー支刻度均匀，但读数不准的温度计，在1标准大气压下，放入沸水中示数为94ヒ，放在冰水混合物中示数为4℃,用它测教室温度为22℃,求教室内实际温度.利用数学比例法较为方便,由题意可列比例计算.丝ニさ=型二±,解得t=20℃.100t例2A,B两球的密度之比是4:3,质量之比是5:3,如果把它们同时浸没在同一种液体之中.它们受到的浮力之比是多少?解析：本题不知质量和密度的具体数值，又不知道浸没在何种液体之中,无法求出两球受到的具体浮力.但是知道质量和密度的关系,要确定它们受到的浮力之比，只有通过已知的比值关系来解决.答：它们的浮力之比是5：4.

例3ー个物体浸没于煤油中受到的浮力为7.84N,若将它浸没于水中,它受到的浮力为多大?解:由于排开液体体积相同,都等于物体体积,又g为常数,由公式ド浮=0液gV排可知汽浮与。液成正比,所以:丝=得:F="咒=1.。とI。ア5./二;x7.84N=9.8NF油。油 水。油O.8xlOUg/ガ例4ー标有“220V100W”字样的白炽灯泡接入到240V的电路中，其实际功率为多少?解;由于灯丝的电阻R为常数，由公式P=?一可知P与。2成正比，所以:R-ーー-；2x100W»119W220VR.Ul,U.j./Uセ、2-ーー-；2x100W»119W220V/U额 U额 U额例5通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率P,原线圈的电压U保持不变，输电线路的总电阻为R.当副线圈与原线圈的匝数比为k时,线路损耗的电功率为R,若将副线圈与原线圈的匝p2数比提高到nk,线路损耗的电功率为P2,则巳和蓝分别为（）PR1A・PR1A・疝公【解析】选D.由原副线圈电压比/=（得，副线圈的电压U'=Uk,线路损耗巳=/セ）ゝ=（匐）,同理Pz=2同理Pz=2P21

R'Pin"故D项正确.例6如图所示，气缸放置在水平平台上,活塞质量为10kg,横截面积50cm：厚度1cm,气缸全长21cm,大气压强为IXltfPa,当温度为ブC时，活塞封闭的气柱长10cm,若将气缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通.g取lOm/sユ求:（1）气柱多长?（2）当温度多高时，活塞刚好接触平台（活塞摩擦不计）.PiLi=P2PiLi=P2L2L2=15cm(1)先等温变化：Pi=Po+—=1.2X105Pa,P2=Po--=0.8X105Pas s（2）后等压变化:ル』=（273+7）K=280K,L2=15cm,L3=20cm，点マ，T3^T2丁T2=373K12 13V2L2例7某位溜冰爱好者在岸上从ク点由静止开始匀加速助跑，2s后到达岸边ス处，接着进入冰面（冰面与岸边基本相平）开始滑行,又经3s停在了冰上的6点，如图甲所示.若该过程中他的位移是x,速度是ス受的合外力是E机械能是E,则对以上各量随时间变化规律的描述,图乙中正确的是（）解析:选BC.溜冰者前2s做匀加速运动,后3s在滑动摩擦力作用下做匀减速运动.设最大速度为丹,则加速度大小之比为色=号=*由牛顿第二定律,合外力大小之比纟=5=*选项A错误,B、C正确;前2s机械能增大，后3s机械能减小，选项D错误.例8如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,从水星与金星在一条直线上开始计时,若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为火;金星转过的角度为〃式出、の均为锐角），则由此条件可求得（）L……ヽ、//' ，，ベい.•水—'、、"、ー./ノ

、、.……ノA,水星和金星绕太阳运动的周期之比;B,水星和金星的密度之比C.水星和金星到太阳的距离之比:D.水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比B天宫一号B天宫一号〇几 〇ji TQ.故C【解析】选ACD.设水星、金星的公转周期分别为£、T2,—t=0.-1=外,アゴ,A正确.因故C不知两星质量和半径,密度之比不能求,B错误.由开普勒第三定律,“ （2吟2 （2吟2 a3/~^j正确.31=1-JR\,a：=l-JR>,所以キ=ヽ/万，D正确.例8:如题21图所式,矩形就W0区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场,有5个带点粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动,运动轨迹为相应的圆弧,，这些粒子的质量,电荷量以及速度大小如下表所示.题21图题21图粒子编号质量电荷量(g>0)速度大小1m2gV22m2g2v33m-3q42m2g3v52m-qV由以上信息可知,从图中abc处进入的粒子对应表中的编号分别为A.3,5,4【答案】A.3,5,4【答案】DB.4,2,5C.5,3,2 D.2,4,5【解析】根据半径公式「=つ结合表格中数据可求得1—5各组粒子的半径之比依次为0.5：2:3Bq：3：2(说明第一组正粒子的半径最小,该粒子从MQ边界进入磁场逆时针运动.由图a、b粒子进入磁场也是逆时针运动,则都为正电荷,而且a、b粒子的半径比为2：3,则a一定是第2组粒子,b是第4组粒子.c顺时针运动，都为负电荷，半径与a相等是第5组粒子.正确答案D在实际运用中有很多内容,讐如对于存在某种比例关系的物理量之间,运用比例求解往往可使过程简化.海王星发现过程的曲折，也许更能够反映科学发现开始的试凑路径.在1821年，AlexisBouvard出版了天王星的轨道表,随后的观测显示出与表中的位置有越来越大的偏差，使得Bouvard假设有ー个摄动体存在.但是这颗新的行星在什么地方,要发现它,想来就像大海捞针ー样困难.麦克斯韦认为:自然科学的皇后是数学.把数学分析和实验研究联合使用所得到的物理知识，比之ー个单纯实验人员或单纯的数学家能具有的知识更坚实,有益和巩固..力学中的方程与方程组应用举例物理学是研究物质运动中最基本最普遍的形式,但这些运动又普遍的存在于其它高级的,复杂的运动形式之中.因此可以认为,物理学是一切自然科学的基础.又是当代工程技术的重大理论支柱,这已是物理学的三次大突破,从而引起的三次工业革命的历史所应证.物理学是大类巨大的精神财富的宝地,在这块宝地上不仅结出了震撼世界的花朵,而且孕育了牛顿,爱因斯坦等科学巨匠,所以这块宝地很值得我们去开垦,这些精神财富值得我们去挖掘,去研究.力学作为ー门经典的学科，ー开始就同人们的生活和生产紧密相关.中学阶段所学习的カ学知识，不但是为后续课程打基础，也是为毕业后参加生产劳动做准备.力学是物理学的有机组成部分，它在物理学中占重要的位置,并且对天文学及各种工程学都有极大的贡献.我国古代在力学方面就已有了很多伟大的成就.希腊的亚里士多德ー他在重心、杠杆、浮力等方面均有建树,为静力学的发展奠定了基础.15世纪以后,欧洲兴起了文艺复兴使力学进入了一个空前未有的发展阶段.在15世纪到18世纪内逐步建立了比较完整的力学系统理论.首先应提到哥白尼,他提出了日心学说引起了宇宙观的大革命;开普勒总结了行星运动之定律;伽利略研究了落体和斜面运动的规律,提出了加速度的概念，并第一次正确认识到加速度与外部作用的关系,为动力学的发展更定了基础.牛顿的《原理》无疑是物理学史中第一部划时代的著作.他第一次用实验、观察、假设和推理形成了完整的理论体系揭示相互作用和运动的关系,而不限于对个别的现象和过程的描述.他运用微积分这ー最为恰当的数学工具刻画力学规律,从而使人们通过相互作用和运动状态的瞬时关系去认识全过程.力学是研究物质机械运动规律的ー门科学.力学在整个中学物理教材中占有很重要的地位.首先,力学是物理学的基础.物质的机械运动是一切运动形式中最基本、最普遍的运动形式;每ー种较高级、较复杂的运动形式都包含着简单的机械运动.在中学物理中，力学中的一些基本概念，如カ、质量、功和能的概念，以及力学的一些基本规律,如牛顿运动定律、动量守恒定律、能的转化和守恒定律等，是物理学最基本、最重要的概念和规律,它们在物理学中贯穿始终.研究力学的基本方法-ー以观察、实验为基础,抽象、概括出物理规律,把实验同数学方法紧密结合起来，运用图像、数学语言、数学推理来表示和论证物理规律,运用理论知识分析实际问题等等，这也是学习物理学其它部分所必需的.总之，力学知识及其研究问题的方法，在后继课程中用处很大.其次,力学知识最早起源于対自然现象的观察和在生产劳动中的经验.人们在建筑、灌溉等劳动中使用杠杆、斜面、汲水器具，逐渐积累起对平衡物体受力情况的认识.古希腊的阿基米德对杠杆平衡、物体重心位置、物体在水中受到的浮力等作了系统研究,确定它们的基本规律，初步奠定了静カ学即平衡理论的基础.古代人还从对日、月运行的观察和弓箭、车轮等的使用中了解ー些简单的运动规律,如匀速的移动和转动.伽利略在实验研究和理论分析的基础上,最早阐明自由落体运动的规律，提出加速度的概念.牛顿继承和发展前人的研究成果（特别是开普勒的行星运动三定律）,提出物体运动三定律.伽利略、牛顿奠定了动力学的基础.牛顿运动定律的建立标志着力学开始成为ー门科学.它虽然是一门古老的学科，但今天仍富有旺盛的生命力.打好经典力学基础,对于进ー步学习物理学及其它现代科学技术和生产知识,是必不可少的准备.第三，力学部分在中学物理教材中讨论得比较详细、系统和完整，这从教学法观点及学生的学习效果看来也是可取的.因此,一般的中学物理教材，都把力学作为整个教材的重点,要求学生对整个カ学部分的内容掌握的比较牢固，对力学的基本概念与规律，要求做出一定的定量的分析和描述.这也给培养学生实验，逻辑思维和数学运算等三方面能力提供了充分的机会.从学时上来看,力学占整个中学物理教材比重的三分之一强,这也充分说明了它的重要地位和作用.例1ー探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的ー侧竖直,另ー侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧,以速度の沿水平方向跳向另一侧坡面.如图所示,以沟底的。点为原点建立坐标系Oxy.已知,山沟竖直一侧的高度为2ん坡面的抛物线方程为尸キザ，探险队员的质量为加入视为质In点，忽略空气阻カ，重力加速度为g（1）求此人落到坡面时的动能;（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小?动能的最小值为多少?

【解析】(1)设该队员在空中运动的时间为わ在坡面落点的横坐标为出纵坐标为ト由运动学公式和已知条件得オ=两度)，【解析】(1)设该队员在空中运动的时间为わ在坡面落点的横坐标为出纵坐标为ト由运动学公式和已知条件得オ=两度)，2カー尸らア2根据题意有尸キ由机械能守恒,落到坡面时的动能为ルア=/加+侬(2わ一y)联立①©③©式得う/デ=貝宣+詳—.②③④⑤(2)⑤式可以改写为ア=2gh丫^>+gh)+3g〃ビ的极小的条件为⑥式中的平方项等于0,由此得vo=yfff/i此时ザ=3gh,则最小动能为隰デ).=)建・力.V/min乙【答案】う(谥+含仁)⑵迎ちgh例2假设地球是一半径为柩质量分布均匀的球体.ー矿井深度为d已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的車力加速度大小之比为()A.り,dA.り,dB.1+/【解析】选A.由万有引力定律,地面处质量为卬的物体車力为:磔=华①，g为地面处重力加速度,"为地球质量，则,kP三KR②，0为地球密度，由题中信息知该物体在矿井底部重力为:侬’=一::k③,0 (K-a)g'为矿井底部的重力加速度且"=ベ④.联立①(D③④得:J=1一ラ故A项正确.gK例3如图所示，固定放置的竖直斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径R=0.5m,圆心。与A、D在同一水平面上，角COB=37°,现有质量为m=0.1kg的小物体从距D点h=0.2R的地方无初速的释放,已知物体恰能从D点进入圆轨道.(重力加速度g=10m/sラ求:(1)为使物体不会从A点冲出斜面,物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少?(2)若物体与斜面间的动摩擦因数〃=0.25,求物体在斜面上通过的总路程.0C(3)在(2)的条件下，小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C的最小压カ是多少?0C(1)为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得TOC\o"1-5"\h\zRcosff ハReos®へ小 必加一」・但EMkId sin^ ^mg ル"〃geos。 =0①,解得动摩擦因数至少为:〃= ②4 sin。 4cos。(2)分析运动过程可得,最终小物体将从B点开始做往复的运动,由动能定理得,Heosタハ、ハハヘ イmg( 4-Reos)-jumgScos=0 ③解得小物体在斜面上通过的总路程为:S=5RCO? (4)2sin。(3)由于小物体第一次通过最低点时速度最大,此时压力最大,由动能定理,得mg(汽。。"。+R)=丄6y2 ⑤,由牛顿第二定律,得乂マー叫=加二 @4 2 * R联立⑤⑥,解得Nmax=3mg+；/ngcos。 ⑦最终小物体将从B点开始做往复的运动,则有mgR(l-cosの=jmv2 ⑧ハ^汕ー侬二川・^ ⑨K联立⑧⑨,解得NminMWgG-2cosの ⑩由牛顿第三定律,得小物体通过圆弧轨道最低点C时对C的最大压カNmax=3"吆+gmgcos。 (11)最小压カNmm=飕(3-2cosの (13例4如图所示,静止放在水平桌面上的纸带,其上有一质量为m=0.1kg的铁块,它与纸带右端的距离为L=0.5m,所有接触面之间的动摩擦因数相同.现用水平向左的恒カ，经2s时间将纸带从铁块下抽出,当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘且速度为v=2m/s.已知桌面高度为H=0.8m,不计纸带重力，铁块视为质点.重力加速度g取!0m/s2,求:(1)铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离;(2)动摩擦因数;(3)纸带抽出过程屮系统产生的内能.0.8ml解:(1)设铁块离开桌面后经时间t落地水平方向:x=vt①,竖直方向:上事や②,由①②联立解得:#0.8m.(2)设铁块的加速度为国,运动时间为ム,由牛顿第二定律,得"mg=ma您纸带抽出时,铁块的速度『=ゆヵ④,③④联立解得“=0.1.(3)铁块的位移x尸;&ム2⑤，设纸带的位移为止由题意知，在ー小=ム⑥由功能关系可得纸带抽出过程中系统产生的内能E=レmgx工+PmgL⑦由③④⑤⑥⑦联立解得E=0.3J例5ー质量m=200kg,高2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部，如图所示.桶的内横截面积S=0.500m)桶壁加桶底的体积为V°=2.50X10ー相.桶内封有高度为1=0.200m的空气.池深H。=2〇.0m,大气压强p0=10.00m水柱高,水的密度P=1.OOOX103kg/m\重力加速度取g=10.OOm/s?.若用图中所示吊绳将桶上提,使桶底到达水面处，求绳子拉カ对桶所需何等的最小功为多少焦耳?(结果要保留三位有效数字).不计水的阻カ,设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响.并设水温上下均匀且保持不变.解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力.在绳子的作用下桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加,排开水的体积也逐步增加,桶受到的浮力也逐渐增加,绳子的拉カ逐渐减小,当桶受到的浮力等于重力时,即绳子拉カ恰好减为零时,桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动使桶略有上升，则浮力大于重力，无需绳的拉カ，桶就会自动浮起，而不需再拉绳.因此绳对桶的拉カ所需做的最小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功.甲设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为H,桶内气体的厚度为1',如图甲所示.因为总的浮力等于桶的重力mg,因而有：P(rS+Vo)g=mg,有:1'=0.350m ①在桶由池底上升高度H到达不稳定平衡位置的过程中,桶内气体做等温变化,由玻意耳定律得:[po+Ho—H—(lo—)]1'S=[po+Ho—(lo—1f)]IS②TOC\o"1-5"\h\z由①、②两式可得:H=12.240m ③由③式可知HV(Ho-T),所以桶由池底到达不稳定平衡位置时，整个桶仍浸在水中.由上分析可知，绳子的拉力在整个过程中是ー个变カ.对于变カ做功,可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶内池底缓慢地提高了H高度后的总机械能量AE.AE由三部分组成:(1)桶的重力势能增量:AEi=mgH ④(2)由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产生的机械能的改变量A%,可认为在H高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占有的空间，这时水的重力势能减少了.所以：AE2=-PgVoH ⑤(3)由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变AE3,由于桶内气体体积膨胀，因而桶在H高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间,体积为1S的水，这部分水增加的重力势能为:AE产一PgHlS⑥.另一部分体积为d'-DS的水上升到水池表面,这部分水上升的平均高度为：Ho-H-lo+1+—,增加的重力势能为:AE32=PgS(l'—1)[Ho—H—1〇+1+---]⑦2由整个系统的功能关系得,绳子拉カ所需做的最小功为:Wt=AE ⑧.将④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得:Wt=PgS[d'一D(Ho-lo)+(9)将有关数据代入⑨式计算,并取三位有效数字，可得:W尸1.37X1O'J例6如下图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕〇点做匀速周运动(笔者注：严格讲为椭圆),星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和〇三点始终共线，A和B分别在。的两侧.引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期.(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行为的周期记为但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期し.已知地球和月球的质量分别为5.98X1021kg和7.35X1022kg.求Tク与「两者平方之比.(结果保留3位小数)

图2图2解析:⑴A和B绕。做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则A和B的向心力相等.且A和B和〇始终共线,说明A和B有相同的角速度和周期.因此有:W。シ=版/R,r+R=L,m MR= Lr= L连立解得w+M,m+M,对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得%-痴竺）2M T=2_£_ズ一皿ア）…厶,化简得: 短（M+M.⑵将地月看成双星,由⑴得 + 将月球看作绕地心做圆周运动,根据牛顿第GMm （2.）2上ア=2开Iピ二定律和万有引力定律得・T,化简得:2- .所以两种周期的平方比值m+M5.98x1024m+M5.98x1024+7.35x10225.98x10”1.01通过计算说明,二者的数值差距不大,地球质量比月球质量明显大，质心与地心距离近，月球的轨迹接近圆，但是地月系统看做是双星现象オ抓住了事物的本质，这样オ满足对称性原理.例7月球与地球质量之比约为1：80I有研究者认为月球和地球可视为ー个由两质点构成的双星系统,他们都围绕月球连线上某点〇做匀速圆周运动.据此观点,可知月球与地球绕〇点运动生物线速度大小之比约为A.1：6400B.1:80C.80:1 D:6400:l【解析】月球和地球绕〇做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力,则地球和月球的向心力相等.且月球和地球和〇始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期.因此有v_rMma）2r=Mco-R,所以レRm,线速度和质量成反比，正确答案C.例8我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体,和シ构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某ー定点C做匀速圆周运动.由于文观察测得其运动周期为T,Si到C点的距离为n,Si和Sク的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S的质量为（D）

4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?B.GT2C.GT2D.GT?笔者认为,上面的题目说双星大约占1/4是错误的,实际上应该都是双星现象，当两个星体的质量差距很大时，质量较大的星体运动范围较小,难以观察.例9.地月系统的拉格朗日点的计算图1拉格朗日点设地球质量为M,月球质量为m,小物体质量为C,地球与小物体距离为L,月球与其距离为1,小物体受カ平衡,对L1点有:G-jT=G聲+CL心R(2)其中G为万有引力常数,の为月球绕地球旋转的角速度.设R(2)(2)代入(1)得:GMa1=Gm(l-a)2+a2/?3(l-4苏(4)(6)⑶式进ー步化简,得:Ma\l-a+a2)=m(1-a)2(6)右边接近于1,舍弃,得:因a很小,故舍弃左边括号中a的二次方项,得：ー右边接近于1,舍弃,得:(8)这ー公式对任意这类系统都成立.Gヰ+g/=cム疗对L2.L3点有: L I一

(10)L-l=+R(10)可解得し、屋各自的レ1值.F}=G-J- F2=G---G—z—对し、Ls点,M对C引力可分为两部分: 卜 '匕卜B与m对C引力大小相等,夹角为60°,其合力F使C沿M与m连线做瞬时定轴转动,剩下的W部分提供C尸=百6=6G咚=C（丄］例2与mー起绕M转动的向心力. ト 12丿爱因斯坦注重数学的方法,如果他不注重数学方法的运用，他的任何ー项科学研究都将搁浅.狭义相对论和广义相对论的成功表述,在于他正确地选择了数学方法,如在等效原理提出后,爱因斯坦曾苦于找不到适当的数学方法推进研究.为了寻求合理的数学形式保持在任意坐标下的协变性,他请教了老同学苏黎世工业大学数学教授格罗斯曼,格罗斯曼向爱因斯坦推荐“绝对微分学”.利用“绝对微分学”，爱因斯坦便尝试着建立起一个满足在任意坐标变换下的引力场方程.爱因斯坦提出了广义相对论促进了整个微分儿何的发展;反之，微分几何的高度发展，又使人们可以更为理性和逻辑地思考问题.分析力学是理论力学的ー个分支，它以虚功原理和达朗贝尔原理为基础,利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，将对能量和功的分析来代替矢量力学中对カ和力矩的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程,并研究这些方程的本身和积分方法.它是独立于牛顿力学的另ー种描述力学世界的体系,且表达式也是对经典力学的髙度数学化的表达..稳恒电流中方程与方程组问题电学综合题的特点:电路中接有多只开关或滑动变阻器,通过开关的断开、闭合或滑动变阻器的滑片的移动来改变电路结构.解答这类型题的方法:分析电路结构，正确画出各状态的等效电路图，熟练掌握串、并联电路的特点,灵活运用电学计算公式,根据题中隐藏的等式或题中已给的等式列出有关的方程或方程组.通常串联电路;并联电路的特点均可作为列方程的依据;除此外状态不同的电路可根据电源电压不变列方程.（1）如果选用几个公式方程联立成方程组作解题方程时：优选乘积形式的公式.如欧姆定律公式基本形式I=U/R、电压变形式U=IR、电阻变形式R=U/I三种.其中U=IR呈乘积形式，属于整式方程.（2）解题方程的组合类型.从众多的方程组优选出结构简单且易于解析的方程组.依据是：ー、构成方程组的方程数量越少越好:二、方程里未知数的次数、越低越简单;三、整式方程比分式方程简单.四、单项式方程比多项式方程简单.例1如图，U恒定不变.当R“接入R时，定值电阻R。消耗的功率为P°.要使R。消耗的功率为原来的1/4.求:滑动变阻器接入电路的电阻?分析：此题电路连接并不复杂，两电阻串联，题中出现两种状态的电路,分析两种状态下的情况，发现电源电压始终不变，即U=U,可根据此等式列方程.解：方法一：利用U不变列方程

J—(R+R0)=J1Z叵(R'+R。)VRoVR-U=I(Ro+R)方法二: "U=I(Ro+RJI2Ro=4l'2图方法三:利用・=ー4。答案:Rx=2R+R。图例2某电热器内有两根电阻丝,只接第一跟时,电热丝中的水经过12分钟沸腾;只接第二根时,电热丝中的水经过24分钟沸腾.假如两根串联后通电时,问:电热器中的水几分钟沸腾?设电源电压和水的质量不变. (36分钟)分析:题中隐藏的等量关系有:Q尸QlQ：,且U不变由此列出方程组CQ尸ビh尔 (1)，Q2=U2t2/R2 (2)しQ=U2t/(Ri+Rz)(3)另外,还可根据串联电路的特点:R=Ri+Rz列方程，把(1)、(2)、(3)式代入此式更加简变例3如图所示电路中，Ri为定值电阻，比最大阻值为36欧的滑动变阻器,电源电压不变.当滑片P在a端时，Ri上消耗的电功率为R,电压表的示数为9伏特.求:(1)此时Rz上消耗的功率凡是多少?(2)当滑片滑至b端时，Ri上消耗的功率为P」=16Pi.问:该电源的电压是多少?(2.25W,12V)分析:当滑片P滑至b点时P'=U2/Ri(1)代入P'=16P可求得U=12V当滑片P滑至a点时P=U代入P'=16P可求得U=12V例4如图2,滑动变阻器比的滑片置于阻值最大处时,电压表的示数是4V.将变阻器的滑片P向左滑动使R减少为原来的1/4时，电压表的示数为8V.求:(1)电源电压(2)も消耗的功率是原来的几倍?心=5+レ R2/R1=4V+4V•R2/R, (1)U=U；+U2 R2/R1=8V+8V•-R2/R, (2)4答案:U=12V,1瓦例5.一灯泡与一电阻串联接入电路，当灯泡正常发光时电阻消耗的功率为ジ，当单独将这一电阻接入同一电路时,它消耗的功率为P,求灯泡的额定功率.「U7R=Pp'=i2r=[pl=Vpp-P]例6.如图电源电压不变,当S闭合时,し所消耗的功率为50瓦;当S断开时,Lク所消耗的功率为8瓦，且比此时し所消耗的功率小,求: しL,当S断开时し的实际功率.（32瓦） q 1、IJ7RF50 一区片ネっKP+8/U）R=P所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测.可以说，任何物理试题的求解过程实质上是ー个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程.狄拉克曾经说过:“我想我正是和这一概念（优美的数学）ー起来到这个世界上的.如果物理定律在数学形式上不美，那就是ー种理论还不够成熟的标志,说明理论有缺陷,需要改进.我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻找某种优美的数学.”.电磁场中的方程与方程组应用举例爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，ー个理由是它的命题是绝对可靠而无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处在被新发现的事实推翻的危险之中….但是数学之所以有高的声誉，还有另一个理由,那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性.没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的.理论科学家在他探索理论时，就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑,因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去.我们这个世界的图景是“可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成.目前，我只是全心扑在引力问题上，我现在相信,依靠这里的一位友好的数学家的帮助，我将制服这些困难.但有一点是肯定的，在我整个ー生中，我工作得都远不够努力，我已变得非常尊重数学,在此以前，我简单的头脑把数学中精妙的部分当作纯粹的奢侈，与这个问题相比,最初的相对论只是儿戏而已.在物理学中,通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联系着的.从有点象马赫的那种怀疑的经验论出发，经过引力问题，我转变成为ー个信仰唯理论的人，也就是说，成为ー个到数学的简单性中去寻求真理的唯一可靠源泉的人.逻辑简单的东西,当然不一定就是物理上真实的东西.但是，物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说,它在基础上具有统ー性.物理学家们说我是数学家,数学家们又把我归为物理工作者.我是ー个完全孤立的人，虽然所有人都认识我,却没有多少人真正了解我.不要担心你在数学上遇到的困难;我敢保证我遇到的困难比你还大得多.我们的经验已经使我们有理由相信,自然界是可能想象到的最简单的数学观念的实际体现.我坚信,我们可以用纯粹数学的构造来发现这些概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙.经验可以提示合适的数学概念，但数学概念无论如何却不能从经验中推导出来.当然,经验始终是数学构造的物理效用的惟ー判据.但是这种创造的原理却存在于数学之中.因此,在某种意义上,我认为,像古人所梦想的，纯粹思维能够把握实在,这种看法是正确的.数学,这个独立于人类经验存在的人类思维产物,怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致?如果所有(加速)系都等价,那么欧几里得几何就不能对它们都成立.抛弃几何而保留物理定律,就像表达思想而不用语言.我们在表达思想以前必须寻找语言,那么，现在的情况下我们应该寻找什么呢?这个问题，直到1912年我オ发现是可以解决的.那时,我突然意识到高斯的曲面理论为解开这个谜提供了钥匙.我感到他的曲面坐标系具有深刻的意义.然而,我还不知道那时黎曼已经用更深刻的方法研究过它的几何基础.我忽然回想起,我当学生时,盖泽尔教的几何课程里就包括了高斯的理论—我感到几何基础有物理意义.当我从布拉格回到苏黎世时,我亲爱的朋友、数学家格罗斯曼也在那里.从他那里,我先学了里奇的几何,然后又学黎曼的.于是，我问我的朋友,我的问题能不能用黎曼理论来解决?广义相对论是ー个由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2fel)、里奇(Ricci)和勒维ー契维塔(Levi2Cevita)发明的微分几何的真实胜利.我们在寻找数学上最自然的结构，而不被更多的物理所打扰.这也是我在研究引力理论过程中的一个设定目标。”能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系,能把有关的物理规律、物理条件用数学方程表示出来.在解决物理问题时,往往需要经过数学推导和求解,或用合适的数学处理,或进行数值计算:求得结果后,有时还要用图像或函数关系把它表示出来;必要时还应对数学运算的结果作出物理上的结论或解释.例1.如图所示，竖直平面内有一半径为ハ内阻为片、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2ハ电阻不计的平行光滑金属轨道,四、版相接,分'之间接有电阻尼,已知石=12兄R=4た在,腓上方及の下方有水平方向的匀强磁场I和II,磁感应强度大小均为B.现有质量为m、电阻不计的导体棒a6,从半圆环的最高点Z1处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平,与半圆形金属环及轨道接触良好,平行轨道中部高度足够长.已知导体棒助下落〃2时的速度大小为”,下落到机,处的速度大小为吸.(1)求导体棒a。从ス下落r/2时的加速度大小.(2)若导体棒aわ进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和I!之间的距离わ和用上的电功率Pi.(3)若将磁场II的勿边界略微下移,导体棒a6刚进入磁场II时速度大小为匕，要使其在外カF作用下向下做匀加速宜线运动,加速度大小为a,求所加外力厂随时间变化的关系式.解:(I)以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线,棒中产生产生感应电动势，导体棒从ん下落庁2时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动,由牛顿第二定律，得-8〃=磔,

式キQ品…帘，式中権=一ルZ尸，由以上各式可得到修一マボ（2）当导体棒a。通过磁场II时,若安培カ恰好等于重力,棒中电流大小始终不变,即mg-BIx2rmg-BIx2r-BxBxlrxv.へ4B2r2v, <-x2r= 式中r型空=3R解得匕=彎。=网樂，导体棒从•秘V到の做加速度为g的匀加速直线运动,有片一优=2gh4B-r24Br2得Z！=9m得Z！=9m2gr2v232B4パ2g'3m2g2R此时导体棒重力的功率为此=加?匕=*3,.根据能量守恒定律,此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率,即…=喘^所以‘8キ=鹽^（3）设导体棒"进入磁场"后经过时间’的速度大小为匕’,此时安培カ大小为ド:“于导体棒aル做匀加速直线运动，有匕’=匕+。れ根据牛顿第二定律,有ド+磔ー根据牛顿第二定律,有ド+磔ーガ=ma,即ド+〃吆ー4B2r2(v.+at) =ma,3R4Bシ2 4B2r2a4B2r2v由以上各式解得ア=竺’-（G+匕）ーm5ー。）=空丄上r+ ^+ma-mg3R' 3R3R例2通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率75,原线圈的电压〃保持不变，输电线路的总电阻为だ当副线圈与原线圈的匝数比为〃时,线路损耗的电功率为4,若将副线圈与原线圈的匝数比提高到成,线路损耗的电功率为ル则4和《分别为（）r\,pr1 cクハ2clTOC\o"1-5"\h\z卜母~n ~nC・拓ア 江㈤兄ア【解析】选D.由理想变压器今=他得:副线圈电压〃=kU,而理想变压器/5人=タ由,副线圈电流/'Uirhp p p p P \=+=チ,线路损耗的电功率△=/'2庐=（£ア凡同理可知た=/"ユだ=（玛ノ2花得う=匕故D项u ku ku nKu i\ n正确.3.将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小和极板所带的电荷量分别用d,U.E和。表示.下列说法正确的是（）A.保持ク不变,将d变为原来的两倍,则ど变为原来的一半B.保持£不变,将d变为原来的一半,则。变为原来的两倍C.保持"不变，将。变为原来的两倍,则む变为原来的一半D.保持d不变，将。变为原来的一半，则ー变为原来的一半XXXXX【解析】选AD.由£=加,当〃不变，d变为原来的两倍时,£变为原来的一半，A项正确;当后不变,イ变为原来的一半时,〃变为原来的一半，B项错误;当电容器中"不变时，C不变，由へ共口,当。变为原来的两倍时，〃变为原来的两倍，C项错误;。变为原来的一半,〃变为原来的一半时，则ク变为原来的一半，D项正确.从芸芸现象中窥见共性,从而提炼出ー套理论,能系统地解释很多类似的问题.ー个明显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分方程的连续变换群论.李群已成为现代数学的基本概念.数学世界是ー个不具有任何经验内容的纯理念世界,它并不是客观世界的直接反映,它是相对于客观世界的一种抽象的形式化的语言工具,它是否能够对客观世界进行言说,还要看主体使用这种语言工具的有效性.即使在相对论当中,爱因斯坦利用数学的方法成功地揭示了客观,实际上也只是数学被成功应用的问题.数学的成功应用,只能表明了它的有效性.数学的有效性也只是ー种科学建构的有效性,这与数学是否与现实世界的属性相符是两码事.第二章函数在中学物理学中的应用数学知识回顾:（1）函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质,使问题得到解决:（2）方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列出方程（组）,通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决:（3）函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.1、函数的定义域在物理学研究中的作用数学是一切自然科学的基础,是解决实际问题的ー个重要工具.ー个物理理论产生了,就需要有一个数学模型来表达它，以便更好的表达和理解,从而使物理学从ー个感性的学科走向理性化，使物理学发展成为一门定量的学科.并且在数学的指导之下才能更好的发展.数学方程在物理学中的运用问题:物理公式是数学化的结果，但物理公式不同于数学方程,物理公式要求必须能够反映物体运动规律，数学方程则没有这种强求.【例1】初速度为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路

程后进入水平放置的两平行金属板MN和PQ之间.离子所经空间存在ーー磁感应强度为B的匀强磁场(图1).不考虑重力作用.离子的荷质比旦(q、m分别是离子的电量与质量)在什么范围内,离子才能打在金属板上?X\XXxx入在金属板上?X\XXxx入分析:离子通过电场加速后进入磁场,在磁场カ作用下,做匀速圆周运动发生偏转,假设离子从进入磁场到打在金属板上某ー点的水平距离为X,只要建立一个q/m跟x的函数表达式，依据题意确定x是定义域，再根据定义域值域,显然，q/m得解.解:当离子经过电场加速后有mv2/2=qU (1).在磁场中受到洛仑兹カ作用，做匀速圆周运动得3旳=」ー (2)R当离子打在金属板上时,根据几何关系有：/?2=x2+f/?--l (3)联立(1)、(2)、(3)解得纟=(4)式就是q/m跟x的ー个函数表达式.依题意离子能打在金属板上,则x的定义域为dWxく2d小结：已知一个物理量的取值范围,确定另ー个物理量的取值范围,可利用函数的定义域，值域求解.例2如图甲所示,ー质量m=lkg的木板静止在光滑水平地面上.开始时，木板右端与墙相距L=0.08m,ー质量m=lkg的小物块以初速度v°=2m/s滑上木板左端.木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触.物块与木板之间的动摩擦因数P=0.1,木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹.取g=10m/s2I求:(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数及所用的时间.(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离.【解析】解法一物块滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板从静止开始做匀加速运动.设木板的加速度大小为a,经历时间T后与墙第一次碰撞，碰撞时的速度为V”则有:umg=ma,L=1aT2,vi=aT.可得:a=lm/s2,T=0.4s,vi=O.4m/s.物块与木板达到共同速度之前,在每两次碰撞之间,木板受到物块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间为T.设在物块与木板达到共同速度v之前木板共经历了n次碰撞，则有:v=vo—（2nT+At）a=a・At,式中△t是碰撞n次后木板从起始位置至达到共同速度所需要的时间，上式可改写为:2v=v0-2nTa.由于木板的速率只能在〇到れ之间，故有:OWv。ー2nTaW2v”解得:1.5WnW2.5.由于n是整数，故n=2,解得:v=O.2m/s,At=O.2s.从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为:t=4T+At=1.8s.（2）物块与木板达到共同速度时，木板右端与墙之间的距离为:s=L-1a-At2,解得:s=O.06m解法二（1）物块滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做匀加速运动的加速度锵=ug=lm/s,方向向右.物块做减速运动的加速度a?=ug=lm/s,方向向左可作出物块、木板的v-t图象如图乙所示由图可知,木板在0.4s、1.2s时刻两次与墙碰撞,在t=l.8s时刻物块与木板达到共同速度.［答案］(1)1.8s(2)0.06m例3图所示为ー个内外半径分别为R和Rユ的圆环状均匀带电平面,其单位面积的带电量为〇.取环面中心。为原点，以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上任意点P到。点的距离为x,P点的电场强度大小为E.下面给出E的四个表达式（式中k为静电カ常量）,其中只有一个是合理的.你可能不会求解此处的场强E,但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性作出判断.根据你的判断,E的合理表达式应为（）图

A.E=2nk0A.E=2nk0B.E=2nk0C-E=2nk0 D.E=2nk。【解析】A选项表达式可变形为:f_R1 R2AE=2nko^］+(i<)2《+匿)ユ,对于这ー表达式,当R=0时,E=--^==,随x的增大,E的绝对值增大,这与客观事实不符合,故A错误,对于C选项中的表达式,当x=0时,E=4nk〇,而事实由对称性知应该为E=0,故C错误.对于D选项,E=(1 1>2“k°0；+ケ・配同样E随x增大而增大,当x=8时E>0,这与事实不符合，故D错误,只有B可能正确.［答案］B例4.如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为1、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为a,条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向与导轨平面垂直.长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在ー起组成“丄”形装置，总质量为m,置于导轨上.导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未画出).线框的边长为d(d<l),电阻为R,下边与磁场区域上边界重合.将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直.重力加速度为g.求:(1)装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热Q.(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t,.(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离X..【解析】(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,作用在线框上的安培力做功为W,由动能定理得:mgsina•4d+W-BIld=0且Q=-W.解得:Q=4mgdsina-Bild.(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v”则接着向下运动2d,由动能定理得：mgsina•2d-BIld=0-|mv,2.线框在穿越磁场中运动时受到的合力F=mgsina-F'.感应电动势E=Bdv,感TOC\o"1-5"\h\zF F应电流I'=『安培カF'=B「d.由牛顿第二定律,在t到(t+At)时间内,有Av=-△3贝リAv

k mヮBユd''〜 Bdv、亠 2B守“ロ ^2m(BIld-2mgdsina)+—=ELgsina———JAt,有Vi=gtisina———,解得:ti= : .mK mK mgsma(3)经过足够长时间后,线框在磁场下边界与最大距离心之间往复运动,由动能定理得:mgsin

a-x„-BIl(x,-d)=O.WW："=Bn_mgsin『［答案］(l)4mgdsina-Bild,ヽBild・・(3)- : BI1—mgsmamgsina*\/2m,ヽBild・・(3)- : BI1—mgsmamgsina例5远距离输电时,输电电压越高,电能损失越少,输电效率就越高;由此推理输电电压越高越好，而忽视了物理学中,当电压很高时,高压线间的空气将被电离而击穿,从而发生强烈的放电现象,另外，当电压很高,导线横截面积也很大时，电抗造成的电压损失比电阻造成的电压损失要大的多.例6某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦カ恒为f.轻杆向右移动不超过1时，装置可安全工作.ー质量为m的小车若以速度W撞击弹簧,将导致轻杆向右移动,.轻杆与槽间的最大静擦力等于滑动摩擦カ,且不计4小车与地面的摩擦.(1)若弹簧的劲度系数为と,求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量X；(2)求为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度し:(3)讨论在装置安全工作时,该小车弹回速度ノ和撞击速度r的关系.wvwvr轻杆wvwvr轻杆TOC\o"1-5"\h\z解析:0)轻杆开始移动时，弹簧的弹カド=広 ①且ド=f ②解得x=エ ③k(2)设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为此则小车从撞击到停止的过程中

小车以セ撞击弹簧时根据动能定理ー/.(-w=o-L”诏 @同理小车以小撞击弹簧时一y7ー卬=0一3„1%2 ⑤解V,”=根ユ ⑥(3)设轻杆恰好移动时,小车撞击速度为K—mv.2=W ⑦2由④⑦解得ス=/チー(

当”时,v'=V例7.光的衍射现象中,狭缝间距比光波波长小或跟光波波长差不多时,会产生明显衍射,由此推理狭缝间距越小,衍射现象越明显,而忽视了当狭缝间距小到ー定程度时，通过的光子数少到不能引起人的视觉时，将看时,v'=V例8.回旋加速器中,D型盒的半径越大,粒子最后获得的动能越大.由此推论D型盒的半径越大，粒子最后的能量越大.这里忽视了相对论效应,当物体运动速度大到可与光速相比较时,物体的质量要发生变化,使运动粒子的运动周期发生变化而不能与交流电源的变化周期同步，从而导致粒子不一定能加速,还有可能减速.数学和物理,ー个是形式,ー个是内容，两者的结合正好刻划了一个完整的世界.数理的发展就像两条腿走路,有时数学在先,有时物理在先,并遵循各自的发展规律.然而任何一方的重大突破都会给另一方以巨大的刺激,进而带来共同的发展.同样数理学习也有其内在的规律可循,需要我们共同探索.2.函数的值域在中学物理学中的应用法拉第是一位具有深刻的直觉能力的实验物理学家，但他不太精通数学,并没有用数学语言写出他关于电磁的概念.关于他，海姆霍兹曾经写道:“这么大量的普遍定理,它们的有条理的推导需要最高度的数学分析能力，可是他却凭ー种直观，凭直觉的可靠性,而不用ー个简单的数学公式竟然发现出来,这是十分令人惊讶的.”图甲例1.如图甲所示,ー薄木板放在正方形水平桌面上,木板的两端与桌面的两端对齐,ー小木块放在木板的正中间.木块和木板的质量均为m,木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数都为〃.现突然以一水平外力厂将薄木板抽出，要使小木块不从桌面上掉下,则水平外力ド至少应为.(假设木板抽动过程中始终保持水平,且在竖直方向上的压カ全部作用在水平桌面上)图甲A.2nmg B.4nmg C.6umg D.8nmg【解析】解法一ド越大,木块与木板分离时的速度、位移越小,木块越不可能从桌面滑下.设拉カ为其时，木块恰好能滑至桌面的边缘,再设木块与木板分离的时刻为ム，在0〜カ时间内有:(A)-11mg—2umg}21 2Lm ボージガ=5对厶时间后木块滑行的过程，有:2Pg2Hg2~,2Ugt'得:尺=6u解法二ド越大,木块与木板分离时的速度、位移越小,木块越不可能从桌面滑出.若木块不从桌面滑出，则其V—t图象如图乙中如ク所示,其中仍的斜率为レg,タク的斜率为ーリg,t\=t2

ルI ルI りム图乙X2，.设拉カ为尸时,木板的—图象为图乙中的直线カ,则圆三,anl/ヽL甘亠 F-3nmg即メ吻ー匕）•ち=5,其中“="gt"k2=——•t、解得:Q6”〃g.即拉カ至少为6awg.［答案］C【点评】对于两物体间的多过程运动问题,在明确物理过程的基础上,画出物体各自的运动图象，这样两物体的运动特点就很明显了.利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体间的位移关系，可省略ー些物理量的计算,从而快速、简捷地解答问题.数学研究的是各种量之间可能的、一般指的是各种变化着量的关系和相互联系,是反映现实世界的,它产生于人们的实际需要,它的初始概念和原理的建立是以经验为基础的长期历史的发展的结果.因此,数学从一开始就注定了与现实世界以及与研究物质运动的各种形态的最一般规律的基本学科即物理学是密不可分的.3、一次函数在中学物理学中的应用爱因斯坦抛弃了欧氏几何学的计算方式，而用高斯曲面几何学计算，他的逻辑起点是:“物质在其存在的空间散发ー种广延性的弯曲引力场”,以此为据建立了广义相对论.理论物理学和现代数学中的函数、集、矩阵、线性与非线性方程组、向量、几何,拓扑、流形、导数、积分、级数、极限、实数、连续、概率、代数结构等内容,都有很深的联系.在物理公式中有很多公式可以和一次函数相对应,例如匀变速直线运动的速度与时间关系就是一次函数关系,即物理公式ッ=4+0与数学一次函数），=人+依相对应，由此可以得出リー，图像中某点切线的斜率表示加速度;再结合匀变速直线运动的位移公式X=HZ+丄由数学几何知识可知リー•图像中的面积表位移;同时又因为。是向量，由物理意义可以理解在。T图像中正负表示方向.（一）、在运动