2021年北京市高考数学试题（含答案）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.已知集合A={x\-l<x<l},B={x\0<x<2}f则A<jB=(){x|-l<A<2}B.{x|-l<X<2}C.{x|0Kl}D.{x|0K2}复平面内，复数Z满足(1—i)Z=2,则乙=()A.-[-iB.-1+/A.-[-iB.-1+/C.1-ZD.1+i已知/（x）是定义在上［0,1］的函数，那么“函数/⑴在［0、1］上单调递增”是“函数/⑴在［0,1］上的最大值为/⑴”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面枳为（1侧（左）视图A222B.3+馆C.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面枳为（1侧（左）视图A222B.3+馆C.D.若双曲线c：4-4=i离心率为2,过点（忑，囘,则该双曲线的方程为（A.2x2A.2x2-y2=l3疋一2_=13D.128D.160B.偶函数，且最人值为29128D.160B.偶函数，且最人值为29偶函数，且最人值为一8雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚mm）.24h降雨量的等级划分如卜•：等级24h降雨虽（精确到0.1）小雨0.1-9.9中雨10.0-24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9300mm1200mmT150mm—26《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种•这五种规格党旗的长勺卫卫5（单位:Cm）成等差数列，对应的宽为by昇5（单位:cm）,且长与宽之比都相等,已知6=288.@=96,%=192,则乞=A.64B.96函数/（a）=cosa-cos2a-是A.奇函数，且最人值为2奇函数，且最大值为？8某一时间段内，从天空降落到地面上的深度，称为这个时段的降雨量（单位:在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200null,高为300nun的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150nun（如图所示），则这24h降雨量的等级是A.小雨B.中雨C.人雨D•暴雨已知直线y=kx+m（加为常数）与圆x2+r=4交于点M,N■当&变化时，若的最小值为2,则〃7=A±1B・土忑C・±石D・±2己知｛%｝是各项均为整数的递增数列，且«!>3,若q+y+・・・+6=I00,则”的最人值为（）D.12A.9B.10C.D.12第二部分（非选择题共110分）填空题5小题，每小题5分，共25分.TOC\o"1-5"\h\z在（丘—丄r的展开式中，常数项为.已知抛物线y'=4x的焦点为尸，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若|M鬥=6,则点M的横坐标为；△MNF的面积为.已知向量aybyc在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ci+b）-c=；cib=・己知函数/（x）=|lgx|-ZLx-2,给出下列四个结论:若k=Q,/（X）恰有2个零点；存在负数使得（3）恰有个1零点；存在负数使得恰有个3零点；存在正数k,使得恰有个3零点.其中所有正确结论的序号是・解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在厶ABC中，c=2bcosE,C=—.3（1）求zB；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上中线的长・

条件①：C=y/2b:条件②：aABC的周长为4+2JJ；条件③：^ABC的面积为空：如图：在正方体ABCD-A^C^中，E为AQ中点，BQ】与平面CD£交于点F.求证：尸为QC；的中点；点M是棱Ad上一点，且二面角M—FC—E的余弦值为並，求磐的值.在核酸检测中，叹合1”混采核酸检测是指：先将R个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这R个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这斤个人中有人感染新冠病毒，则检测结呆为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结呆，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为+.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期塑E(X).(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测总次数，试判断数学期望E(Y)与⑴中E(X)的人小.(结论不要求证明),、3-2r已知函数/(X)=—―・若a=0,求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;（2）若/（x）在x=-［处取得极值，求/（x）的单调区间，以及其最人值与最小值.Jn己知椭圆氏二+买=l（a>b>0）—个顶点40—2）,以椭圆E的四个顶点为顶点<rZr的四边形面积为4腭.（1）求椭圆E的方程；（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交）二3交于点M,N,当|PM|+|PN|W15时，求R的取值范围.设p为实数.若无穷数列｛%｝满足如下三个性质，则称«/”｝为刃"数列：①©+沦0,且冬+〃=0：②①”_i<q”,S=l,2,.J:③e仏”+5+",“E+5+"+1｝,（加,〃=1,2,…昇?=1,2,…）.（1）如果数列｛%｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛©｝是否可能为刃二数列？说明理由;（2）若数列匕｝是％数列,求迅;（3）设数列｛。”｝的前〃项和为S”.是否存在旳，数列仇｝,使得\>510恒成立？如果存在，求出所有的P：如果不存在，说明理由.2021W通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题1.【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：A\JB=｛x\-l<x<2｝.故选：B.2.【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即町求得最终结呆.

【详解】由题意可得:2(1+02【详解】由题意可得:2(1+02=1+/.故选：D.3.【答案】A【解析】【分析】利用两者之间推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数/(X)在［0,1］上单调递增,则/(X)在［0J］上的最人值为/⑴,若/(X)在［(M］上的最人值为/(I),,\\比如y(x)=x—,、3丿(ifr1为减函数，在亍1为增函数,但/(x)=为减函数，在亍1为增函数,<3丿-故/(x)在［0,1］上的最大值为/(1)推不出/(x)在［0,1］±单调递增，故“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“/(x)在［0,1］上的最大值为于⑴”的充分不必要条件，故选：A.4.【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥)，根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O—ABC,其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3xlxlxl+』L(Jlf=上24'丿2故选:A.5.【答案】B【解析】【分析】分析可得b=压,再将点（、任，馆）代入双曲线的方程，求出"的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】・・"=£=2,则c=2a,b=Jc^ar=J3a^则双曲线的方程为（一丄】=1,acr3tr将点（、広J可的坐标代入双曲线的方程可得==解得a=l,故b=卫,因此,双曲线的方程为F丄=1・3故选：B6.【答案】C【解析】【分析】设等差数列｛%｝公差为d,求得〃=—48,得到①=192,结合党旗长与宽之比都相等和勺=192,列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长q,①卫3,①卫5（单位:cm）成等差数列，设公差为d,因为q=288,as=96.可得d=坐匕=96~288=_48,TOC\o"1-5"\h\z5-13可得①=288+（3-1）x（-48）=192,4a.j偽・也192x192一c又由长与宽之比都相等，且％=192,可得十所以b严亠丄==128.bb.cl288

故选：c.7.【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，f(-x)=cos(-x)-cos(-2A-)=cos.r-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数，又f（x）=cosx-cos2x=-2cos2又f（x）=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-21cosx--4+?,8200150x2300所以积水厚度〃200150x2300所以积水厚度〃討如150，属于中雨.龙X100'1Q所以当g蔦时’如取最大值'故选：D・&【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为—=100(111111)的圆面内的降雨充满一个底面半径为=50（nuii）t高为150（niin）的圆锥,【详解】由题意，一个半径为故选：B.9.【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出〃7【详解】由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=则圆心到直线的距离d=则弦长为|MW|=2一则当k=0时，弦长MM取得最小值为二^=2,解得m=土忑・故选：C.10.【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得〃可能的最人值，然后构造数列满足条件，即得到川的最人值.【详解】若要使"尽可能的大，则5,递增幅度要尽可能小，不妨设数列｛“”｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前"项和为s“，3-i_14则a”=”+2,Sr=xl2=i02>!00,2所以对于t/=w+2,S..=-^12x1l=88<100,2取数列｛a”｝各项为=”+2（〃=1,2,...1O）,an=25,贝Ijq+①+…+an=1009所以"的最人值为11.故选：c.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】-4【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令x的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】（宀斗展开式的通项：严c：x广!_斗=卜1“；严“，令12—4厂=0,解得尸二3,故常数项为7；=（-l）3C^=-4.故答案：-4.12.【答案】①.5②.4>/5【解析】【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求Sz•【详解】因为抛物线的方程为才=4x,故P=2且戸（1,0）.因为\MF\=6,xM+£=6,解得=5,故）如=±2石，所以^.w.v=|x（5-1）x2V5=4V5,故答案为：5；4^5.13.【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出d+b,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以乳b•交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则^=(2,1),5=(2,-1),c=(0,1),0+5=(4,0),/.(^+5)-c=4x0+0x1=0,.\n-S=2x2+lx(-l)=3.故答案14.:0；3・【答案】弄（满足e=看十kgkW.Z即可）【解析】rr【分析】根据4"在单位圆上，可得G&+—关于y轴对称，得出6O+—+0=7T+2k7r,kwZ求解.6

【详解】•••A(cos&,sin&)与Bcos(&+£,sin(&+彳J关于V轴对称,71即G0+三关于)'轴对称，60+—+0=兀+2«不kgZ,65龙则0=k7r+—,keZ,12当£=0时，可取0的一个值为艺.12故答案为：菩(满足一和等，心即可).15.【答案】①②④【解析】【分析】由/(%)=0可得出|lgjt|=Ax+2,考查直线y=Ax+2与曲线g(x)=|lgx|的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当£=0时，由/(x)=|lgx|-2=0,可得*需或x=100,①正确;对于②，考查直线y=kx+2与曲线y=-lgx(O<x<l)相切于点P(/厂lgr),对函数尸®求导得)—聞,由题意可得e对函数尸®求导得)—聞,由题意可得eloo

100,lg€所以，存在R=-——lgwvO,使得/(x)只有一个零点，②正确；e对于③，当直线y=d+2过点(1,0)时，R+2=0,解得k=—2,所以，当一一lge<k<-2时，直线y=kjc+2与曲线y=—lgx(0<xvl)有两个交点,若函数/(x)有三个零点，贝ij直线y=kx+2与曲线y=-lgx(O<x<l)有两个交点，(lge<^<-2直线y=kx+2与曲线y=lg.r(x>l)有一个交点，所以，］e，此不等式k+2>0无解,

因此，不存在k<0,使得函数/（Q有三个零点，③错误；对于④，考查直线y=也+2与曲线y=lgx（x>1）相切于点P（r,lgr）,对函数尸険求导得凸血’由题意可得<kt+2=lgt1,解得对函数尸険求导得凸血’由题意可得<kt+2=lgt1,解得＜._/lnlOt=100e100e【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范禺问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题：（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图彖列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范|韦I.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析.6【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求:若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）c=2bcQsB,则由正弦定理可得smC=2smBcosB,sin2B=sin—=—,•/C=:.Be0,y1,2Be0,J],323I3丿3）.••2瑪，解得吩;

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得；=竺£=*-=JLbsmB£2与C=y[2b矛盾，故这样的△ABC不存在；jr若选择②：由（1）可得A=-,6设厶ABC的外接圆半径为/?,JT则由正弦定理可得a=b=2Rsm—=R,6c=27?sin—=73/?,3则周长a+b+c=2R+®=4+2®解得R=2$则a=29c=2y/3‘由余弦定理町得BC由余弦定理町得BC边上的中线的长度为:若选择③：由（1）可得A=^9即a=b,6则SXue=丄"sinC=-crx—=仝§,解得a=羽,皿2224则由余弦定理町得边上的中线的长度为：-2x/?x-2x/?xrcosT~T~~T17.【答案】（1）证明见解析；（2）-y—■=-.也2【解析】【分析】（1）首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论：（2）建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数几的值.【详解】⑴如图所示，取坊G的中点F,连结DE,EF；F'C,由于ABCD-AQC口为正方体，巴尸'为中点，故EF'WCD,从而E,F',C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF\据此可得：直线dG交平面CDE于点当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点重合，即点尸为dG中点.(2)以点D为坐标原点，DA.DC^DD,方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角不妨设正方体的棱长为2,设-^-=/1（0</1<1）,则：M（2,22,2）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,E（lA2）,从而：MC=（-2,2-22-2）,CF=（l,0,2）,F§=（0-2,0）,设平面MCF的法向量为：万=贝ij：in•MC=一2召+（2—22）开一2石=0m•CF=兀+2勺=0令石=一令石=一1可得：in=设平面设平面CFE的法向量为：〃则:设平面设平面CFE的法向量为：〃则:n・FE=-2>\=0h・CF=x，+2乙=0'b■■令勺=一1可得：几=（2。一1）,从而:则:m・〃=5,n=19—•mXn从而:则:m・〃=5,n=19—•mXnm・n5=吃Ia整理可得：（人一1）'=一，故2=1（2=-舍去）.V7422【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想彖能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向屋法，通过求解平面的法向屋，利用向量的夹角公式求解.18.320【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为H：（2）E（y）＞E（X）.【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解：②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期塑的公式即可得解;（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出E（r）,即可得解.【详解】（I）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20,30,P（X=20）=—,P（X=30）=1-—,'711v71111则X的分布列：X2030P1H10IT所以^（X）=20xl+30x—=—；V7111111（2）由题意，Y可以取25,30,20CzC3495两名感染者在同一组的概率为片=—-H1=苛，不在同一组的概率为^=—,^ioo9999则E（Y）=25x—+30x—=^^.>E（X）.999999v719.【答案】⑴4x+y-5=0；⑵函数/（x）的增区间为（―s,—l）、（4,心），单调递减区间为（—1,4）,最大值为1，最小值为【解析】【分析】（1）求出/（1）、r（i）的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由/'（—1）=0口J求得实数"的值，然后利用导数分析函数/（X）的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0=0时，=，则r（x）=^zil,.-./（1）=1,f（l）=-4,XX此时，曲线y=f（x）在点（1,/（1））处的切线方程为y-l=-4（x-l）,即4x+y—5=0：q-2（x2+a}-2x（3-2x）2（x2-3x-a）⑵因为/（兀）==,则广⑴二一二：・x^+a（jr+d）（兀・+°）/、2（4-6/）由题意可得/（一1）=一解得a=4.故念）=导，；4）,列表如下:2+4（x"+4）X(-00,-1)-1(-14)4(4,-Kjc)+0—0+/W增极大值减极小值增所以，函数f（x）的增区间为（4,+«＞）,单调递减区间为（—1,4）・31当XV—时，/（x）＞0；当x＞—时，/（x）＜0.22所以，/（小心=/（一1）=1，/（^=/（4）=-£20・22【答案】（1）f+21=1；（2）[—3,—12（1,3].54【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点闱成的四边形的面积可求a,b,从而可求椭圆的标准方程.（2）设3（不」）,（7（疋？2），求出直线45AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得|PM|+|/W|,联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求R的范序I,注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过4（0,—2）,故b=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4巧，故舟x2ax2b=4巧,即a=£,22故椭圆的标准方程为：—+^=1.54设3（无,久）〈（兀2』2），因为直线BC的斜率存在，故兀召工0,故直线=2,令）•，=—3,则一一,同理X,“=——X]）1+2儿+2由于玄由于玄=aA+p>Q,b2=a2+p==%】+p<a4n+p=b4n,直线=也—3,由直线=也—3,由故厶=900/—100（4+5/）>0,解得Rv—1或£>1・又|PM|+|PN\=\xm+xn\50k30k/a;-1kx2-l4+5R24+5k‘/a;-1kx2-l4+5R24+5k‘25T30〃-+14+5k24+5k2=5|R|故5冈<15即|皓3,综上，-3女v-l或1<RS3.21.设P为实数.若无穷数列｛。”｝满足如下三个性质，则称«/”｝为刃"数列：①6+八0,且冬+”=0；②①”_i<%,（"=1,2,…）：③%e仏”+①+几仏+5+"+1｝,（加,〃=1,2,…屮=1,2,…）.（1）如果数列｛©｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛①｝是否可能为刃二数列？说明理由;（2）若数列｛。”｝是W。数列，求迅;⑶设数列匕｝的前〃项和为S”.是否存在叫数列｛©｝,使得\>510恒成立？如果存在，求出所有的p：如果不存在，说明理由.【答案】（1）不可以是心数列；理由见解析；（2）a5=l-（3）存在；p=2.【解析】【分析】（1）由题意考查①的值即可说明数列不是以2数列；（2）由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定鸟的值；（3）构造数列bH=an+p,易知数列｛$｝是田。的，结合（2）中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数P的值.【详解】⑴因为卩=2,勺=2,偽=一2,所以4+冬+p=2,q+①+卩+1=3,因为冬=一2,所以他启｛4+02+2,4+02+2+1｝所以数列｛①｝,不可能是“2数列.(2)性质①q二0,吗=0,由性质③a*