专题04《有理数的乘除法》（讲义）（解析版）-【暑期课】2021年小升初数学衔接讲义（人教版）

202I年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义

专题04《有理数的乘除法》法则:(1)两数相乗,同岩得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同。相乘,都得。..会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算;.理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算;.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算;.培养观察、分析、归纳及运算能力.知识零点知识点1:有理数的乘法.有理数的乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(2)任何数同0相乘,都得〇.要点分析:(1)不为0的两数相乘，先确定符号,再把绝对值相乘.(2)当因数中有负号时，必须用括号括起来，如ー2与一3的乘积，应列为(-2)X(-3),不应该写成一2X-3..有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于。的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负:当负因数的个数有偶数个时,积为正;(2)几个数相乘,如果有一个因数为〇,那么积就等于0.要点分析:(1)在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数.(2)几个不等于〇的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.(3)几个数相乘，如果有一个因数为〇,那么积就等于。.反之，如果积为。,那么至少有一个因数为。..有理数的乘法运算律：(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.(2)乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即：abc=(ab)ca(be).(3)乘法分配律：ー个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即：a(b+c)=ab+ac.要点分析:(1)在交换因数的位置时,要连同符号ー起交换.(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.ー个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时，根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.知识点2：有理数的除法.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数.要点分析:⑴“互为倒数”的两个数是互相依存的.如ー2的倒数是ー丄,-2和一丄是互相依存的;2(2)0和任何数相乘都不等于1,因此〇没有倒数;(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).2.有理数除法法则:法则ー:除以ー个不等于〇的数,等于乘这个数的倒数,即=a•丄3H〇).b法则二:两数相除,同号得正，异号得负,并把绝对值相除.〇除以任何ー个不等于。的数,都得。.要点分析:一般在不能整除的情况下应用法则ー,在能整除时应用法则二方便些.(2)因为。没有倒数，所以。不能当除数.(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.知识点3:有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.知识点4:有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"持题型1:有理数的乘法及应用 — 【典型例题11(2021•泉州模拟)如图,数轴上A、B、C三点所表示的数分别为〃、カ、c,满足a+b-c=O且= 那么下列各式正确的是( )ABC―• p♦>A.a+c<0 B.ac>0 C.bc<0 D.ah<0【完整解答】，=.\b—a=c—bf

.•.a+c=2Z?,a+カーc=0,即c=a+b,a+(a+份=2Z?,:.b=2a,.\c=a+b=3at•;a<bくc，/.a>0»b>0,c>0»・・・a+c>0,则A选项错误;ac>09则3选项正确;历>0,则。错误;ab>0,则。错误.故选:B.【典型例题2】(2020秋•雁江区期末)|幻=8,けド6,且ザ>0,则x-y的值为_±2【完整解答］，1x|=8,|y|=6,x=±8,y=±6.,/xy>0»「.x、y同号.•,.当x=8时,y=6,x-y=8-6=2.当x=-8时,y=-6,x-y=-8-(-6)=-2.【变式训练1】(2018秋•武进区校级月考)如果。ーわ＜0,并且あv0,|a|メ〃|,那么a+力一＜_0.(填"＞，，或，，＜，，)【完整解答】••・。ーいv0,且姉v0，|a|＞|勿,.・.。v0,b＞0,则。+bv0,故答案为:＜【变式训练2】(2020秋•兴化市月考)用简便方法计算:Q Q Q(-9)x31--(-8)x(-31—)-(-16)x31—；

99—x(-36).72Q Q【完整解答】(l)原式=312x(-9—8+16)=-31ゼ・：29 29(2)原式=(100ー」)x(-36)=-3600+丄=-35991.今"题型今"题型2:有理数的除法及应用■典例精讲ー针【典型例题1】（2021•龙港市一模）计算8+（-2）的结果是（ ）A.-4 B.-16 C.-6 D.10【完整解答】原式=-8+2=4故选:A.【典型例题2】（2020秋•坪山区期末）有理数a,わ在数轴上的位置如图所示,则下列式子中成立的个数是（）①。+厶>0；@a-b<0；③必>0:@-<0.bab•4-3-2-101234bA.4 B.3 C.2 D.1［完整解答］由数轴,得a<0<。,|a|>）切.①根据异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,则a+6<0,故本选项不成立;②较小的数减去较大的数,则差一定小丁・0,则a-6<0,故本选项成立;③异号两数相乘,积小于。,则ab<0，故本选项不成立;④异号两数相除,商小于0,则4<0,故本选项成立.故选:C.露变式训练」期【变式训练1】（2019秋•镇江期中）小明说:“请你任意想一个数,把这个数乘ー3后加12,然后除以6,再加上你原来所想的那个数的一半,我可以知道你计算的结果”请你写出这个计算结果是.【完整解答】设所想的数为X,根据题意，得一（―3x+12）4—xTOC\o"1-5"\h\z6 2! ハ1=—X+2+X=2.故答案为2.【变式训练2】（2018秋•鲤城区期末）若あ>0,则2+セ+0_的值为 .⑷闻1姉1【完整解答】•・・姉>0，,b同号,分两种情况讨论:①当a>0,。>0时,原式=1+1+1=3;②当avO,力vO时,原式=一1—1+1=—1.故答案为:3或-1.ー・选择题（2021春・浦东新区月考）有理数〃、わ在数轴上对应的位置如图所示,则（） 1 0_I 1_•_►Aa0 1bA.a+b>Q B.a—b>0 C.ab>0 D.->0b【完整解答】由图象可得,a<O<b,\a\<\b\,:.a+b>0»故A正确;a—b<0»故3不正确;4み<0,故C不正确:-<0,故。不正确.b故选:A.

（2021•台儿庄区模拟）-2021的倒数是（C.」ー D.20212021【完整解答】ー2021的倒数是一——故选:B.「31C•—x—42D.31—X—821X—•（2020秋•北京期末）如图,用大长方形表示“ド,下列算式中,能正确表示图中含义的是（ ）【完整解答】能正确表示图中含义的是之4故选:C.（2020秋•顺德区期末）关于代数式び的值，以下结论不正确的是（ ）A.当a取互为相反数的值时,/+之的值相等B,当a取互为倒数的值时,巒十士的值相等a~C.当|a|>l时,|a|越大，巒+4的值就越大Cl~D.当。时，|a|越大,ガ+ラ的值就越大a~【完整解答】A、当。取互为相反数的值时,即取团和一机,当。=团时,巒+二=め2+丄①.anr当a=-m时,巒+3=（-nt）2+-=m2+丄②.a2 （一6）2m2此时①二②，故本选项不符合题意.B、当〃取互为倒数的值时，即取机和丄，当a=机时,/+4=か2+丄①.a"nr当a=丄时,a2+ム=ム+ガ②.m crnr此时①二②，故本选项不符合题意.C、可举例判断,当|a|>l时,取a=2,3（2<3）,则2?+丄=4+丄<3?+丄=9+丄.TOC\o"1-5"\h\z22 4 32 9故本选项不符合题意.ハ、可举例判断，当。时，取a=丄,1（1>1）.贝リ（丄）2+ーー=4+丄<（丄）2+，-=9+1.2323 2 /、2 43 』ゝ2 9（2） （3）故本选项符合题意.故选:D.（2021•历城区模拟）有理数"，ル在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是（ ）ab •-； i•-1 ►-1 0 1A.a>b B.b>-a C.a+b>QD.ab<0【完整解答】由数轴可知:a<Q<b,且|。|>!勿，故A选项错误;：.b<-a,故B选项错误:a+b<G,故C选项错误;而<。,故ハ选项正确.故选:D.（2021春•杨浦区校级期中）下列说法中不正确的个数有（ ）①有理数m2+!的倒数是ーーレ+1②绝对值相等的两个数互为相反数③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数⑤若a>6,贝リ。ピ+1）>仇c?+l）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【完整解答】有理数オ+1的倒数是ーー,故①正确:nr+1绝对值相等的两个数互为相反数或者相等,故②不正确;绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有〇,故③正确;几个不为零有理数相乘,若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0,则结果为0,故④不正确;若a>b,则。（ど+l）>b（ど+1）,故⑤正确;故选:B.二.填空题(2021春•浦东新区期中)计算:35x(--)-(-5)=__【完整解答】35x(--)4-(-5)涯2 1=35x—x—55_14——，5故答案为:—.58.(2021春•奉贤区期中)若。是ー2.5的倒数,则〃的相反数是-.一5一【完整解答】根据倒数的定义得:の(-2.5)=1,解得。二二,5根据相反数的定义,-ユ的相反数是ユ.5 5故答案为:2.5(2021春•杨浦区校级期中)如果々+3的相反数是ー5丄,那么。的倒数是--3 ~7~【完整解答】•ユ+3的相反数是ー5丄,3・・・〃+3=5丄,373,••(うxg)=l,.•.。的倒数是よ.7故答案为:-.7(2021•黄州区校级自主招生)把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分为A、8两个部分,其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积,则ノ部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10,B部分的数是ー.【完整解答】/+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,所以8部分的元素之积小于55,而1+2+3+4+5+8+9+10=6x7=42,部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10；5部分的数是:6、7.故答案为:1、2、3、4、5,8、9、10；：6、7.（2021春•南岗区校级月考）六（8）班参加数学竞赛,女生有12人参赛,相当于男生参赛人数的ユ,3比赛结束,获奖人数是参赛人数的丄,有6人获奖.5【完整解答】•.•女生有12人参赛,相当于男生参赛人数的2,3.'.男生参赛人数为12+2=18（人）.3.•.参赛的总人数为12+18=30（人）.•.•获奖人数是参赛人数的丄,5.,.获奖人数为30x1=6（人）.5故答案为6.（2020秋•大冶市期末）已知有理数〇,わ满足姉v0,4a+b-3=|わーa|,则ス+丄わ的值为-.4 2 -4-【完整解答】••・有理数。,わ满足姉<0,す〃,b异号,当a>0,b〈O,b-ck.0f,.•4a+力ー3nシーaI,：.4a+b-3=a-bi「♦3«+ル=3,3 1,3a+2b3-a+-0= =—,42 4 4当avO,/?>0»b—u>0,•/4a+b-3^b-a\,,\4a+b-3=b-a9/.«=->0（这种情况不存在）,5综上所述,ヨ々+丄的值为ユ.4 2 4故答案为:之.4(2020秋•武侯区校级月考)若a、6、c是非零有理数,a+b+c=O,则型+回+上一网蛆的值为ab[c|Iabc\一3或3.【完整解答】,「〃、bヽc是非零有理数,a+/?+c=0,.•.当4、b、C中一正两负时,不妨设。>0,b<0,cvO,贝リ。=一S+c),故⑷+回+ニー型=1+(_D+㈠)_2=ヨabIc|Iabc\当a、bヽc中两正一负时,不妨设a>0,/?>0,c<0,贝リc=—{a+b),故回十回十ニー込="] =3；ab\c\\abc\故答案为:-3或3.三.解答题(2020秋•芝衆区期中)已知有理数ス,满足|划=3,け(=2,(1)若ふ+”0,求ズ-y的值;(2)若母<0,求工+y的值.【完整解答】•.セ|=3,|止2,.\x=±3,y=±2,(1)若无+y<0,则ス=-3,y=2或x=—3,y=-2,x-y=-3-2=-5Wcx-y=-3-(-2)=-1,即ス-y的值为ー5或-1；(2)若;tyvO,则ス=3,丁=-2或ス=-3,y=2,此时ス+y=1或ス+y=-1,即ズ+y的值为1或ー1.15.(2020秋•九台区期中)(1)1.2x(-1-)；(2)(—2—)+(—)x(—).9 3 2【完整解答】(1)1.2x(―Jx(―^)=—2;(2)(一2うチ(一9x(一う=(ーキ(_|)x(-|)=-5.(2021•九龙坡区校级模拟)定义:对于ー个两位自然数,如果它的个位和十位上的数字均不为零,且它正好等于其个位和十位上的数字的和的"倍(〃为正整数),我们就说这个自然数是ー个“〃喜数”.例如:24就是ー个‘‘4喜数”，因为24=4x(2+4)：25就不是ー个“〃喜数”,因为25H〃(2+5).(1)判断44和72是否是“〃喜数”?请说明理由:(2)请求出所有的“7喜数”之和.【完整解答】(1)44不是ー个“”喜数”，因为44H〃(4+4),72是ー个’'8喜数”,因为72=8x(2+7),(2)设存在''7喜数”，设其个位数字为0,十位数字为b,(a,ウ为1到9的自然数)，由定义可知:106+a=7(a+b),化简得:b=2a,因为a,b为1到9的自然数，/.a=1,b=2；a=2>わ=4；a=3,b=6：a=4,b=8.四种情况，.-.“7喜数”有4个：21、42、63、84,.•.它们的和=21+42+63+84=21〇.(2020秋•涕水区期中)【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考.【探索】(1)若ab=6,则a+b的值为:①正数，②负数，@0.你认为结果可能是①②；(填序号)(2)若a+6=-5,且a、6为整数，则ab的最大值为；【拓展】(3)数轴上A、3两点分别对应有理数a、h,若成<0,试比较a+い与0的大小.【完整解答】(1)•.,〇b=6,.,.a-b同号,：.a,ク同为正数时，a+b>0；a、ル同为负数时,a+Z?<0;故答案为：①②；'.•a+b=-5,ab最大,,.'.a＞ク同号，，•a+b=-5,・・・〃、b同为负数,・「。、b为整数,・・・〃、ハ分别为ー1和・4,此时"=4或a、わ分别为ー2和一3,此时"=6,故答案为:6；,.,"<0,，人异号,设a>0,则いv0,若|a|>!力|，则a+み>0,若"H勿，则a+b=0,若则a+b<0.18.(2020秋•朝阳期中)计算:(1)(一うx(一g)x(一正ノ；(2)(-5)x(-)x—x0x(-325).【完整解答】(1)(-1)x(-1)x(--l)(2)(-5)x(-)x—x0x(-325)3230=0.19.(2018秋•宁都县期中)阅读材料,回答问题(1+2)x(,+4)x(1-3)x(1"i)=ixrrr(2x3)x(4x?)=lxl=1-请求出下式的结果•(］+チ)X(1+ス)X(1+7)X...X(1+—)X(1--)X(1--)X(1--)X...X(1-—).［完整^?答］(1+~)x(1+—)X(1+—)X...X(1H )X(1——)X(1——)X(1——)X...X(1-

21246202035721(-x-)x(-x-)x(-x-)x...x(-x-=lxlxlx...xl20.（2017秋•郑城县月考）（1）两数的积是1,已知一个数是ー2コ,求另ー个数:（2）两数的商是ー321246202035721(-x-)x(-x-)x(-x-)x...x(-x-=lxlxlx...xl20.（2017秋•郑城县月考）（1）两数的积是1,已知一个数是ー2コ,求另ー个数:（2）两数的商是ー3丄,已知被除数是4丄,求除数.【完整解答】（1）17 7=1x(ーー)=ーー17 17.（2020春•南岗区校级月考）一个大于1的正整数〃,与其倒数丄,a相反数一a比较,大小关系正确的是（D.ー战レ—a【完整解答】•.•。是大于1的正整数,丄<1,

a1—a<一<Cl•

a.（2019秋•海伦市期末）根据《中华人民共和国国旗法》的规定,国旗的长与宽的比为3:2,以下几种规榕的国旗中,（ ）不符合标准.A.495c/nx33GcmB.90cmx60a72C.\5cmx9cmD.4&77Zx32cm【完整解答】A495:33O=(495+165):(300+165)=3:2；B90:60=(90+30):(60+30)=3:2；C.15:9=(15+3):(9+3)=5:3;£).48:32=(48+16):(32+16)=3:2;其中5:3h3:2故选:C.TOC\o"1-5"\h\z(2020秋•普宁市期中)有理数a,シ在数轴上对应点的位置如图所示,则下列结论正确的是( )”L ♦ I 1 ♦, ユ・-2 b -1 0 a 1A.a+b>0 B.a-b<0 C.ab>0 D.-<0【完整解答】由数轴可知:b<-\,0<h<1,「.a+bvO,aー。>0,ab〈O,—<0.b故选:D.(2017春•蛹桥区校级期中)在下列各题中,结论正确的是( )A.若々>0,Z?<0»则一>0 B.若a>b,则a—h>0aC.若avO,Z?<0,则a/?<0 D.若a<0,贝リつ<0a【完整解答】A、两数相除,异号得负,故选项错误;8、大数减小数,一定大于0,故选项正确;C、两数相乘,同号得正,故选项错误;D、若a>b,a<0»则ク>0,故选项错误.a故选:B.(2013秋•安阳校级期中)若姉H0,则2+2-+也的取值共有( )|a|\b\Iab\A.1个B.2个C.3个D.4个【完整解答】当。＞0,み＞0时,原式=1+1+1=3；当。＞0,/?＜0时,原式=1—1—1=—1；当，＜0,Z?＞0时，原式=—1+1—1=—1；当。＜0,み＜0时,原式=-1-1+1=-1,则原式的取值共有2个.故选:B.（2019秋•江都区月考）现有以下五个结论:①有理数包括所有正数、负数和0:②若两个数互为相反数,则它们相除的商等于ー1;③数轴上的每ー个点均表示一个确定的有理数;④绝对值等于其本身的有理数是零;⑤几个有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数.其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【完整解答】①有理数包括所有正有理数、负有理数和〇;故原命题错误;②若两个数（非〇）互为相反数,则它们相除的商等于ー1；故原命题错误;③数轴上的每ー个点均表示一个确定的实数;故原命题错误;④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误:⑤几个非零的有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数,故原命题错误.故选;A.二.填空题（2020秋・安庆期中）已知|a|=3,|切=2,且“b＜0,则a+6=_±l_.【完整解答】v|a1=3,161=2,a=±3,b=±2.a/?v0,a=3,。=—2或a=-3,b=2-当。=3,b=—2时,a+/?=3—2=1；当a=-3,Z?=2时,a+〃=—3+2=—1.故答案为:土1.（2020秋•锡山区期中）在数轴上（未标出原点及单位长度）,点A是线段8C的中点,已知点A、B、C所对应的三个数々、b、c之积是负数,这三个数之和与其中一个数相等,则£=_-3_.【完整解答】•.•在数轴上,点A是线段BC的中点,已知点A、B、C所对应的三个数a、b、c之积是负数,:.b<a<cabc<0,a= ,2/.Z?<0»a>0>c>0,0+c•エ〇.又♦.•这三个数之和与其中一个数相等,:.a+b+c=c^La+b+c=a^La-\-h+c=b.•：b<G»a>Otc>0,b+cwO.：.a+b+c=a不成ユ,a+b+c=と不成ユ.:.a-\-b-\-c=c.\a+b=O.nnb+c,ハ即: 卜ん=〇,2化简得£=-3.h故答案为:-3.(2020秋•汤阴县期中)若。、。互为倒数，则(一而产=_T_.【完整解答】•.•。和b互为倒数,:.ab=\,/.(-a/?)2021=(-1)2021=-1,故答案为:-1.(2017秋•莒县月考)-』与它的倒数的和是ー竺2,绝对值小于4的非负整数的和是 .10 -30一【完整解答】一ヨ的倒数是ー3,则ーユ+(-12)=-122；10 3 10 3 30设这个数为・・・・绝对值小于4,：]a[<4,•.・它为负整数,/.a=-1,—2,—3,.•・-1+(-2)+(—3)=-6,故答案为:—-6.

（2017秋•兴化市期中）若h<0,求⑷+也!+図的值为__1abab【完整解答】由あvO,得67<0»fe>0;或。:>0,b<0.当"〇,b>0时,回+回+型=-1+1+（-1）=-1；a bab当。>0,6<0时，回+回+回=ab ab故答案为:-1.（2013秋•江汉区期中）有两组数，第一组:-丄,丄,ー丄,第二组:26,91,-12,从这两组数中各取ー个数,将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是ー29.(-;)x(-;)x91+(-;)x(-⑵(--)x26+(--)x91+(--)x(-12)+-x26+-x91+-x(-12)+(--)x26+3 3 3 5 5 5 7x(26+91-12)+-x(26+91-12)+(--)x(26+91-12)=--xlO5+-xlO5--xlO53 5 7=-35+21-15=-50+21=—29.故答案为:-29.（2018秋•昌江区校级期中）乘积是6的两个负整数之和为_-7或-5_.【完整解答】乘积是6的两个负整数为-1和・6或-2与-3,之和为-7或ー5,故答案为:-7或ー5三.解答题（2019秋•垦利区期中）春运期间，深圳到武汉的飞机票涨价10%后，票价为880元,春运前的飞机票价是多少元?【完整解答】根据题意得:880+（1+10%）=880+1.1=800（元），答:春运前的飞机票价是800元.（2019秋•道里区校级期中）看图列算式（或方程）并计算:一共400千克吃了さ ?千克TOC\o"1-5"\h\z5?科\o"CurrentDocument"，IOO=F・ ヽCIjIII5（2） 8【完整解答】（1）400-400X-=400-240=160（千克）；100+3=160（千米）.816.（2019秋•天心区校级月考）计算:已知|スー1|=3,|y|=2,（1）当犯く0时,求x+y的值;（2）求x-y的最大值.【完整解答】（1）\jx-l\=3,|y|=2,x=4—2,y=2—2,孙<0,.\x=4,y=-2或x=-2,y=2f・.ス+y=2或