概率统计和随机过程课件第六章大数定律与中心极限定理

第六章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题

为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理1第六章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题为何能以设非负随机变量

X的期望E(X)存在，则对于任意实数

>0,马尔可夫（Markov）不等式证

仅证连续型随机变量的情形

重要不等式

6.1大数定律2设非负随机变量X的期望E(X)存在，马尔可夫（Ma设随机变量

X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数

>0,推论1设随机变量

X的方差D(X)存在，则对于任意实数

>0,推论2

——切贝雪夫（chebyshev）不等式或3设随机变量X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，推例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与

1/6比较上下小于1%的概率.解

设

X

表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)4例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计解设实际精确计算：用Poisson分布近似计算：取=10005实际精确计算：用Poisson分布近似计算：取=10例2

设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,

试用Chebyshev不等式估计,n

多大时,才能在

n

次独立重复试验中,事件

A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设

X

表示

n

次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)要使，求n6例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,解即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得7即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故若E(X)=,D(X)=2,类似于正态分布的3原理，由Chebyshev不等式可估计由Chebyshev不等式，可看出D(X)反映了X偏离E(X)的程度.固定，较小者，较小.Chebyshev不等式对于22无实际意义8若E(X)=,D(X)=2,类似于大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率，则有或9大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设nA是证引入随机变量序列{Xk}设则相互独立，记由Chebyshev不等式10证引入随机变量序列{Xk}设则相互独立，记由Chebys故11故11在概率的统计定义中，事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里（Bernoulli）大数定律的意义：12在概率的统计定义中，事件A发生的频率“稳定于”事件A定义a

是一常数，(或则称随机变量序列依概率收敛于常数a,记作故是一系列随机变量，设有若13定义a是一常数，(或则称随机变量序列依概率收敛于常数a在Bernoulli定理的证明过程中，

Yn

是相互独立的服从0-1分布的随机变量序列{Xk}的算术平均值,Yn

依概率收敛于其数学期望p.

结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列.14在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互的数学期望与方差设为有Chebyshev大数定律相互独立，设随机变量序列(指任意给定n>1,相互独立)，证明：由chebyshev不等式可得。15的数学期望与方差设为有Chebyshev大数定律相互独立，推论：独立同分布时的Chebyshev大数定律相互独立，设随机变量序列则有或且具有相同的数学期望和方差16推论：独立同分布时的Chebyshev大数定律相互独定理的意义：当

n

足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.17定理的意义：当n足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,具§6.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限定理

设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数x,18§6.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限注：则

Yn

为的标准化随机变量.即n

足够大时，Yn

的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从19注：则Yn为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn定理2德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）

Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…则对任一实数x，有是n次独立试验中事件A出现的次数，p为A发生概率，即20定理2德莫佛—拉普拉斯中心极限定理即对任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)证明：21即对任意的a<b,Yn~N(np,np(1例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与

1/6比较上下不超过1%的概率.解设

X

表示6000粒种子中的良种数,则X~B(6000,1/6)中心极限定理的应用22例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计解设近似23近似23比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用Poisson分布用Chebyshev不等式24比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用例2

某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r

千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以

99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间

a千瓦的电力设X为200台车床的开工数.X~B(200,0.6),问题转化为求

a,使X~N(120,48)(近似)25例2某车间有200台车床，每台独立工作，开工解设至少由于将X近似地看成正态分布，故26由于将X近似地看成正态分布，故26反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)27反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)27例3

检查员逐个地检查某种产品,每检查一只产品需要用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.假设产品需要重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解检验员在8小时内检查的产品多于1900个即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(单位：秒)设Xk

为检查第k

个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,190028例3检查员逐个地检查某种产品,每检查一只解检验员

XkP10200.50.5相互独立,且同分布,29XkP10200.53030中心极限定理的意义

在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.31中心极限定理的意义在实际问题中，若某随机变量作业习题六1，2，3，4,532作业习题六1，2，3，4,53第六章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题

为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理33第六章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题为何能以设非负随机变量

X的期望E(X)存在，则对于任意实数

>0,马尔可夫（Markov）不等式证

仅证连续型随机变量的情形

重要不等式

6.1大数定律34设非负随机变量X的期望E(X)存在，马尔可夫（Ma设随机变量

X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数

>0,推论1设随机变量

X的方差D(X)存在，则对于任意实数

>0,推论2

——切贝雪夫（chebyshev）不等式或35设随机变量X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，推例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与

1/6比较上下小于1%的概率.解

设

X

表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)36例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计解设实际精确计算：用Poisson分布近似计算：取=100037实际精确计算：用Poisson分布近似计算：取=10例2

设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,

试用Chebyshev不等式估计,n

多大时,才能在

n

次独立重复试验中,事件

A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设

X

表示

n

次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)要使，求n38例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,解即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得39即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故若E(X)=,D(X)=2,类似于正态分布的3原理，由Chebyshev不等式可估计由Chebyshev不等式，可看出D(X)反映了X偏离E(X)的程度.固定，较小者，较小.Chebyshev不等式对于22无实际意义40若E(X)=,D(X)=2,类似于大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率，则有或41大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设nA是证引入随机变量序列{Xk}设则相互独立，记由Chebyshev不等式42证引入随机变量序列{Xk}设则相互独立，记由Chebys故43故11在概率的统计定义中，事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里（Bernoulli）大数定律的意义：44在概率的统计定义中，事件A发生的频率“稳定于”事件A定义a

是一常数，(或则称随机变量序列依概率收敛于常数a,记作故是一系列随机变量，设有若45定义a是一常数，(或则称随机变量序列依概率收敛于常数a在Bernoulli定理的证明过程中，

Yn

是相互独立的服从0-1分布的随机变量序列{Xk}的算术平均值,Yn

依概率收敛于其数学期望p.

结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列.46在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互的数学期望与方差设为有Chebyshev大数定律相互独立，设随机变量序列(指任意给定n>1,相互独立)，证明：由chebyshev不等式可得。47的数学期望与方差设为有Chebyshev大数定律相互独立，推论：独立同分布时的Chebyshev大数定律相互独立，设随机变量序列则有或且具有相同的数学期望和方差48推论：独立同分布时的Chebyshev大数定律相互独定理的意义：当

n

足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.49定理的意义：当n足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,具§6.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限定理

设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数x,50§6.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限注：则

Yn

为的标准化随机变量.即n

足够大时，Yn

的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从51注：则Yn为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn定理2德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）

Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…则对任一实数x，有是n次独立试验中事件A出现的次数，p为A发生概率，即52定理2德莫佛—拉普拉斯中心极限定理即对任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)证明：53即对任意的a<b,Yn~N(np,np(1例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与

1/6比较上下不超过1%的概率.解设

X

表示6000粒种子中的良种数,则X~B(6000,1/6)中心极限定理的应用54例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计解设近似55近似23比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用Poisson分布用Chebyshev不等式56比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用例2

某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r

千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以

99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间

a千瓦的电力设