评课案例一：圆的方程

评课案例二：直线与方程评课案例二：直线与方程评课案例二：直线与方程xxx公司评课案例二：直线与方程文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度评课案例三：圆的标准方程姓名：黄晖明职务：数学教师职称：中学二级单位：厦门一中集美分校手机址:厦门市集美区灌口镇灌口中学邮编：361023评课案例三：圆的标准方程福建省厦门一中集美分校（灌口中学）黄晖明邮编（361023）一、亮点赏析。1．多媒体辅助工具的应用吴老师在圆的标准方程推导是应用几何画板，让点真正动起来，使得图形更直观，易于学生理解；在求解方程组问题时，真正让学生参与解题过程，并把学生的解题过程用展示台展示，借鉴同学出现问题的同时，与自己的解题进行对比，更好的发现问题，并解决问题。2．结构教学法的应用黄老师针对教学内容的特点，与直线与方程联系起来，进行结构化的教学。通过设计表格，让直线方程与圆的方程在研究方向上的类比更加直观，使学生更加深刻的体会了学习曲线方程的基本套路，并且通过表格，使得学习有方向可寻；3．关注学生的学习在求解方程组时，留有足够的时间让学生解题，并能从学生的板演过程中提出更好的化简方法（应用平方差公式），使得化简更加快速、准确；课堂注意师生互动，关注学生的生成性问题，并能及时的应用“问题”往我们所预设的方向去引导，循循善诱，让知识的呈现显得非常自然；在标准方程学习之后，让同桌之间互相出题，写出标准方程，加深学生对标准方程的理解，也活跃了课堂。这个教学行为，使得学生第一次真正全部的参与课堂；问题展示后，教师并不急于给出提示，而是留足时间让学生思考，并由学生来完成问题的解决，其他学生作补充，教师只是作适时的点拔与评价，体现教师较高的教学智慧。二、研讨内容1．标准方程的推导与求解研讨1：标准方程为何不以原点作为圆心？我们的教学内容可否从特殊入手，探索圆心为原点时，动点所满足的代数关系，再把特殊情况拓展至一般（圆心为任意点），让学生自己推导出标准方程，这样的从特殊到一般的教学，是否更符合学生的认知和学习的规律？这样的过程使得引入“放低点，开心点”，效果是否会更好？研讨2：标准方程的推导过程，都是两位老师替学生完成。这样的替代显示了我们教师对学生的不信任、不放心。假如我们的教学是从特殊的方程着手（圆心为原点），推广至一般的情况，学生肯定可以模仿，这样的教学使得学生真正经历了知识形成和探索的过程，体现了新课程“把课堂还给学生”的理念；同样的，方程的求解过程中也体现了教师对学生的不信任：方程组的化简与求解，这个过程是不可替代的。总之，操练的东西教师少做。2．例2的设计在课本上，例题2用代数法求解方程，例题3用几何法求解。其实例题2可以用两种方法求解。如果两种方法都介绍，那么例题3就成为例2的延生，让学生自主完成。基于这样的考虑，例题2的两种方法显得非常重要：这两种方法有何内在联系？可否以表格的形式书写解题过程，让学生易于模仿？条件圆经过A，B，C三点（点在圆上）方法选择待定系数法（代数法）作图法（几何法）过程剖析设圆的方程：解方程组：，，思考（难点）：如何解此方程组？线段AB的垂直平分线：垂直：求直线的斜率平分：线段AB的中点为（6，–1）一般式方程：同理求得AC的垂直平分线：联立得圆心坐标，再求半径联系垂直平分线的定义：到线段两端点的距离相等的点的轨迹——圆的方程中，两个方程相减后即得线段的垂直平分线。通过这样一个表格，使得解题过程更加清晰，并且很容易看出两种方法的结果间的联系（这一点在课上还是由老师自己代替了，如果学生能主动提出两个方程相减之后得到的二元一次方程与几何法求出的垂直平分线一样，这不就是学生带给我们的惊喜吗？）3．结构化教学的思考在备课过程中，我们发现圆的方程的学习与直线方程的学习在研究方向及学习套路上都其内在的类特征，并且学习套路是一致的，考虑用结构教学法在这边非常的恰当，“学习要把新的知识纳入旧的知识的学习结构中”，但在这边也有几点问题：一是圆的标准方程与一般方程分成两课时来完成，人为地割裂了知识之间的内在联系：标准方程几何特征明显，一般方程代数特征明显，其内容与直线方程的五种形式有相同的结构，此处用结构化学习，可否把两课时合成一节课来完成？二是结构教学是否有分新课的结构、复习课的结构、局部的结构、整体的结构等。有些老师听起来感觉这节新课更像是一节复习课。其实结构教学法正是“把新的知识纳入旧的知识的学习结构中”，更加突出了知识间的类比及其应用。不管是哪种课型的结构教学，都应当是在长期的不断尝试、不断积累的基础之下而展开教学的。三是对于表格的应用，该如何发挥它的作用？如果只是教师代替学生行为，让知识点“一晃而过”，这样类比的思想怎么体现？所以，表格应当让学生自主整理，然后以提问的形式来运用。同样的，对于表格的小结（本节课遗憾的是并没有对表格进行总结，这样更降低了学生对于表格的理解，阻碍了学生去发现知识间的内在联系性，这样使得他们没办法寻找到知识的区别和联系，更不用说学会如何学习）。结构教学的最终目标是教会学生如何利用结构来更好的学习，显然，这节课的目的并未达到（学生一直在感慨表格的巧妙，并希望教师能给他们多一些时间把表格内容抄上去）。4．如何让学生更好地参与课堂新课标提倡要把课堂还给学生，体现学生为主体，教学目标也写出了让学生经历过程，参与讨论，发现问题，解决问题等，该如何把这些过程落到实处呢？在本节课中，我们拿出以下几个环节进行探讨：如何发现圆的方程。方程本应该由学生自己发现，可是我们都代替了这些行为，因为我们担心学生发现不了，推导不出。在方程的引入上，两位老师都直接了当的讨论一般情况下，圆上点所满足的代数关系。以这样的问题形式，能得出方程的学生只是少数的，这时我们考虑，能否通过一些特殊情况，介绍推导方法的同时又降低思考的难度呢？没错，以原点为圆心的点所满足的代数关系的推导在这里非常重要，有这样的铺垫，还怕学生推导不出一般情况下圆的方程？如何让学生真正动起来。为了帮助学生掌握标准方程，设置了同桌之间相互出题这一环节，从学生出的题型来看都过于简单。怎么样才能真正调动学生的思维？我们提出这样的问题“同桌之间相互出个题，看谁出的题有陷阱，更有挑战性”。这里需要学生去设计错误的答案，体现学生对方程的理解。这是每个学生都可以做到的事，每个学生做的却又各不相同，这样的环节更能调动学生的思维，同桌之间，全班之间出题，碰撞出“火花”，让课堂活跃起来，让学生动起来。特殊方程的学习，可以从互相出题中得出一些，但是又担心提的不够全面，我们人为的设置了六道小题引导学生思维方向。这个方向可以稍作修改：（1），半径长等于的圆的方程：图形特征：（2），半径长等于的圆的方程：图形特征：（3），方程：图形特征：（4）与坐标轴相切的圆的方程要大胆的让学生去尝试，去讨论。由特殊情况引入是正确的，但所出的练习要有层次性，要有梯度，上升至一般情况，这样才更能锻炼学生的思维。我们设计的每一道练习都应体现教师的“别苦用心”。5．掌声在何时响起就本节课而言，有三个方面可以响起掌声：一是学生出的题大家都错，设计的非常巧妙；二是方程求解过程中，自己发现可用平方差公式进行化简；三是学生能够自主发现垂直平分线与圆的方程间的关系。其实这些环节都是学生在参与课堂，发现问题时给我们带来的惊喜。6．借班上课的几点思考进入陌生的班级，未知的学生，如何让学生能够更快地参与课堂，和我们进行互动？引入“放低点，开心点”。每个学生在课堂开始前都希望认真听讲，积极回答问题，可走着走着就与我们的教学内容分道扬镳，我们该反思“是不是课堂出现了什么问题，让学生没有兴趣跟着我们一起走下去？”如果从一开始就能抓住学生的兴趣，效果是事半功倍的。（2）问题设计的层次性。要把问题设计在简单知识的增长点上，美国教育心理学家布鲁纳在《教育过程》一书中指出：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣”。（3）发现优生。调动优生的积极性，可以让我们的课堂顺畅进行，并且可以给课堂增添许多惊喜。4.1.1圆的标准方程教学设计灌口中学黄晖明2014.4.101．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。发现知识之间的共同的结构特征，体会学习解析几何的方法；（2）通过引导学生画表格整理知识的方法以及特殊研究，落实对核心知识的理解和掌握；（3）通过变式训练的方法，提升学生掌握求解圆的方程的方法。4．教学问题诊断分析：上一章，学生已经学习了直线与方程。知道在直角坐标系中，直线可以用方程来表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，并且对直线方程的学习结构及数形结合的思想有了初步的体会。本章将在上一章的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程。让学生自己去发现它们之间共同知识的结构（横向类比）是一大难点。如何在练习中让学生体会数形结合的思想也是我们考虑的重点。为了帮助学生克服这些学习困难，突破教学难点，教师在教学中要注意以下几点：第一，对例题1中三个参数的研究（代数问题），再把这些代数特征“翻译”成几何问题（圆心在坐标轴上，与坐标轴相切问题），让学生体会运用代数方法解决几何问题的思想，渗透数形结合的思想；第二，数形结合的思想应该贯穿在整个平面解析几何的教学过程中。对于例题2的教学，在求出圆的方程的同时，还应该让学生画出这个三角形，并画出这个三角形的外接圆，这样做的目的是使得数形结合思想落到实处；第三，借助表格的整理与变式的学习，让学生感受知识的联系性，体会类比的思想，去发现知识间的共同结构。5．教学策略选择与设计：布鲁纳指出：“教学与其说使学生掌握学科的基本事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”美国著名教育家、结构教学理论的代表人物杰罗姆·布鲁姆说：“获得的知识，如果没有圆满的结构把它联在一起，那是一种多半会遗忘的知识。”由于直线的方程、圆的方程在知识的学习上具有共同的结构（几何问题代数化，寻找几何图形满足的代数关系得到方程，再把代数关系“翻译”成几何问题），存在密切的联系性。居于以上考虑，我们采用结构教学法。6．教学过程设计：环节一：运用结构：一个图形（圆）的特征研究——类比直线的研究直线圆定义平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。图形几何要素点+斜率（或：点+点）圆心+半径方程几何特征点斜式：两点式：标准方程圆心半径代数特征一般式：（二元一次方程）特殊研究过原点：斜截式：截距式：垂直于轴：垂直于轴：圆心在原点：圆心在坐标轴上：或与轴相切：与轴相切：：点圆与坐标轴都相切：设计意图：表格式的复习回顾，旨在让学生复习学习直线方程的一般过程，而圆的方程的学习是直线方程学习的迁移与横向的类比；特殊方程的研究有助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。环节二：典例剖析特殊方程研究：（1），半径长等于的圆的方程：图形特征：（2），半径长等于的圆的方程：图形特征：（3），方程：图形特征：（4），半径长等于的圆的方程：图形特征：（5），半径长等于的圆的方程：图形特征：（6），半径长等于的圆的方程：图形特征：设计意图：特殊方程的研究有助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。例1：写出圆心为A（2，–3），半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。问题：点在圆内的条件是什么？在圆外呢？几何特征代数特征应用点与圆点在圆内点在圆上点在圆外设计意图：在根据曲线与方程的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，教科书配置了例题1的教学，这样加深对圆的标准方程的理解。例2：△ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7，–3），C（2，–8）求它的外接圆的方程，并画出图形。师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）设计意图：例2强调了待定系数法与几何性质法在求圆的方程中的应用，画出图形，把数形结合的思想落到实处。环节三：知识梳理1．学生尝试整理知识点，教师与学生一起讨论形成如上的表格（由教师提供，把框架展示给学生）：条件圆经过A，B，C三点（点在圆上）方法选择待定系数法（代数法）作图法（几何法）过程剖析设圆的方程：解方程组：，，思考（难点）：如何解此方程组？线段AB的垂直平分线：垂直：求直线的斜率平分：线段AB的中点为（6，–1）一般式方程：同理求得AC的垂直平分线：联立得圆心坐标，再求半径联系垂直平分线的定义：到线段两端点的距离相等的点的轨迹——圆的方程中，两个方程相减后即得线段的垂直平分线。设计意图：1.学生对知识的复习与整理的全程参与的过程有利于学生形成综合性的学习能力，这个过程非但不能由教师来替代，必须由学生自己，而且也只能由学生自己来完成。2．小组讨论在学生独立整理的基础上，可以让学生在小组中交流，交流的形式可采取或者一个学生做主发言，其他学生补充和提问；或者每个学生各介绍一个知识点，小组中交流时最后要有记录。教师巡视各小组交流的情况，捕捉交流过程中的信息与问题。3．全班交流将小组交流的情况汇总到全班，同样以其中一个小组为主做主发言，其他小组补充质疑。在这里，教师同样需要和学生互动，关键处的回应反馈相当重要，如怎样寻找知识之间的差异与联系，特点的表述是否确切，以及必要的点评与提炼等。小组交流与全班讨论是非常重要的两个环节，可以集集体的智慧完成有一定难度的归纳整理，可以充分调动学生学习的积极性与主动性，学生在参与的过程中体会到学习的快乐，更可以培养学生的合作探究的能力。变式：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，–2），且圆心在直线上，求圆心为C的圆的方程。师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程。）设计意图：变式的教学旨在让学生体会用几何性质法求圆的方程，与例题2的待定系数法进行对比，体会几何性质在求解圆的方程中的应用。环节四：课堂小结与作业课堂小结：请同学们讲一下这节课的收获：1．梳理知识结构图的方法及感悟