抽屉原理教师讲解及练习课件

抽屉原理子页３

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．子页１子页３

二、抽屉原理的定义

（1）举例

把这十个苹果放到九个抽屉里，至少一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义

把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，至少有一个抽屉里不少于两个苹果。这种现象叫抽屉原理。公式表示：将m个元素放入n个抽屉，则在其中一个抽屉里至少会有[(m-1)/n]+1个元素。子页１子页３

（二）利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．1模块一、利用抽屉原理公式解题

（一）直接利用公式进行解题（1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【解析】把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6/5=1…1，1+1=2（只），也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．1【例2】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．【解析】每个同学至少有1个朋友，最多有19个朋友。所以，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能。把这20名同学看作20个“苹果”，把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．子页１子页３【例3】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【解析】任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同，所以这两个数的差必能被3整除．子页１子页３

（2）求抽屉

【例5】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合。最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则（125-4）/3=40…1，因此这个班最多有：40+1=41(人）子页１子页３【例7】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？【解析】有11个抽屉，每个抽屉中放3个整厘米数，就要11*3=33，至少找出33+1=34个学生，才能找到4个人的身高相同．子页１子页３

（二）构造抽屉利用公式进行解题

【例9】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．为什么？【解析】可能情况有6种，把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个人挑选的颜色完全一样．子页１子页３

【例10】从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？【解析】构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数．子页１子页３

模块二、最不利原则

【例11】有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？【解析】将四种号码看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2个“苹果”，共有4*2=8(个)，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出9个小球。子页１子页３

【巩固】有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？【解析】从最不利的情况考虑，摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同，那么余下的4个小球无论各是什么颜色，都必与之前的4个小球中的某一个颜色相同．即这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的．子页１子页３

练习

1.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？【解析】点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，即15个抽屉。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同．子页１子页３3.有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【解析】每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），将4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，

所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．子页１子页３4.100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合。最坏的情况是只有1个人分到12苹果，而其他同学都只分到11苹果，则（100-12）/11=8，最多分：8+1=9(人）子页１子页３6.“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等。【解析】把小朋友看做“苹果”，遇到熟人的每种情况看做抽屉。两种情况：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0，1，2，……，n-2．根据抽屉原理，至少有两个