新高考一轮复习苏教版 命题热点10　统计与成对数据的统计分析 作业

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命题热点自测(十)统计与成对数据的统计分析

一、选择题

1．(2021·山东潍坊三模)某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为()

A．2 B．3

C．4 D．5

C[设高三抽取的人数为x人，则

eq\f(6,30)

＝

eq\f(x,20)

，即x＝4.故选C．]

2．为了解某班学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取了15人进行调查，调查结果如表，估算全班学生每周购买零食的支出的方差是()

人数

平均支出/元

方差

男生

9

40

6

女生

6

35

4

A．10.3 B．11.2

C．12 D．13.4

B[估算全班学生每周购买零食的支出的平均数是

eq\x\to(x)

＝

eq\f(1,15)

×(9×40＋6×35)＝38，

方差s2＝

eq\f(9,15)

×[6＋(40－38)2]＋

eq\f(6,15)

×[4＋(35－38)2]＝11.2.

故选B．]

3．(2021·山东青岛高三开学考试)已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平均数为

eq\x\to(x)

，方差为s2，则()

A．

eq\x\to(x)

>15，s2<3 B．

eq\x\to(x)

<15，s2>3

C．

eq\x\to(x)

＝15，s2>3 D．

eq\x\to(x)

＝15，s2<3

C[设10个数据为x1，x2，...，x9,15，

所以

eq\x\to(x)

＝

eq\f(15×10－15,9)

＝15，

又因为s2＝

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2,9)

，

且

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2＋(\a\vs4\al\co1(15－15))2,10)

＝3，

所以s2＝

eq\f(30,9)

>3.故选C．]

4．已知变量x，y的关系可以用模型y＝c·ekx拟合，设

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny，其变换后得到一组数据如下：

x

16

17

18

19

z

50

34

41

31

由上表可得经验回归方程

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，则c＝()

A．－4 B．e－4

C．109 D．e109

D[由表格数据知：

eq\x\to(x)

＝

eq\f(16＋17＋18＋19,4)

＝17.5，

eq\x\to(z)

＝

eq\f(50＋34＋41＋31,4)

＝39.

由

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，得－4×17.5＋

eq\o(a,\s\up8(^))

＝39，则

eq\o(a,\s\up8(^))

＝109.

∴

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋109，

由y＝c·ekx，得

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny＝ln(c·ekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，

∴lnc＝109，即c＝e109.故选D．]

5．(2021·山东省平邑县第一中学高三开学考试)某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()

A．频率分布直方图中a的值为0.004

B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80

C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D．估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为160

B[由10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a＋6a＋2a))

＝1可得a＝0.005，故A错误；

前三个矩形的面积和为10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a))

＝0.6，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确；

这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；

总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为3a×10×1000＝150，故D错误．

故选B．]

6．(2021·哈尔滨模拟)下列说法：

①残差可用来判断模型拟合的效果；

②设有一个经验回归方程：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③经验回归直线：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必过点(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)；

④在一个2×2列联表中，由主算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是()

A．0B．1C．2D．3

B[对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，残差越小，拟合效果越好，∴①正确；对于②，经验回归方程

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x中，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，∴②错误；对于③，经验回归直线

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必过样本点的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，∴③正确；对于④，在2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，对照临界值得，有99.9%的把握确认这两个变量有关系，99.9%＞99%，∴④正确．综上，其中错误的命题是②，共1个．]

7．(多选)(2021·广东罗湖区高三月考)下列说法正确的为()

A．当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层随机抽样

B．若m为数据xi(i＝1,2,3，…，2021)的中位数，则m＝x1011

C．回归直线可能不经过样本点的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)

D．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且随机变量η＝2ξ－1，则η～N(2μ－1,4σ2)

AD[A．当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层随机抽样，故正确；

B．数据xi(i＝1,2,3，…，2021)大小顺序不定，故错误；

C．回归直线一定经过样本点的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，故错误；

D．因为随机变量ξ～N(μ，σ2)，且随机变量η＝2ξ－1，所以η～N(2μ－1,4σ2)，故正确．故选AD．]

8．(多选)为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则()

A．X的取值范围为{0,1,2,3}

B．P(X＝0)＝

eq\f(1,3)

C．P(X＝1)＝

eq\f(8,15)

D．E(X)＝

eq\f(3,5)

BC[X的取值范围为{0,1,2}，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(1,3)

，

P(X＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(8,15)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(2,15)

，所以E(X)＝0×

eq\f(1,3)

＋1×

eq\f(8,15)

＋2×

eq\f(2,15)

＝

eq\f(4,5)

.故选BC．]

二、填空题

9．某工厂新旧两条生产线的产量比为7∶3，为了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法从两条生产线抽取样本，并观测样本的质量指标值，计算得新生产线质量指标的均值为10，方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方差为2，由此估计，该批产品的质量指标的均值为________，方差为________．

9.71.51[依题意，该批产品的质量指标的均值为

10×

eq\f(7,10)

＋9×

eq\f(3,10)

＝

eq\f(70＋27,10)

＝9.7.

该批产品的质量指标的方差为

eq\f(7,10)

×[1＋(10－9.7)2]＋

eq\f(3,10)

×[2＋(9－9.7)2]

＝

eq\f(7,10)

×1.09＋

eq\f(3,10)

×2.49＝1.51.]

10．(2021·福建漳州三中三模)根据下面的数据：

x

1

2

3

4

y

32

48

72

88

求得y关于x的经验回归方程为y＝19.2x＋12，则这组数据相对于所求的经验回归方程的4个残差的方差为________．(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差．)

3.2[把x＝1,2,3,4依次代入经验回归方程

y＝19.2x＋12，所得估计值依次为：y1＝31.2，y2＝50.4，y3＝69.6，y4＝88.8，

对应的残差依次为：0.8，－2.4,2.4，－0.8，它们的平均数为0，

所以4个残差的方差为

s2＝

eq\f(0.82＋－2.42＋2.42＋－0.82,4)

＝3.2.]

11．(2021·江苏如皋高三开学考试)习近平在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活，当前“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到如下饼图：

各段日行步数人数比例

若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是________；设抽出的这两名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量X，则E(X)＝________.

eq\f(1,2)

eq\f(3,4)

[由已知10～12千步的人数为10%×100＝10,12～14千步的人数为6%×100＝6，

因此任取2人，一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是P＝

eq\f(10×6,C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,2)

.

X的可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(3,8)

，P(X＝1)＝

eq\f(1,2)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,8)

，

所以E(X)＝1×

eq\f(1,2)

＋2×

eq\f(1,8)

＝

eq\f(3,4)

.]

三、解答题

12．(2021·重庆市清华中学校高三月考)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率)．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．

(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层随机抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否推断潜伏期长短与患者年龄有关．

年龄

潜伏情况

合计

短潜伏者

长潜伏者

60岁及以上

90

60岁及以下

140

合计

300

(3)研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望X.

附表及公式：

χ2＝

eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)

，

α

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

xα

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

[解](1)平均数

eq\x\to(x)

＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，

这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.18＋0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.5，

所以“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250人．

(2)由题意补充后的列联表如下，

年龄

潜伏情况

合计

短潜伏者

长潜伏者

60岁及以上

90

70

160

60岁及以下

60

80

140

合计

150

150

300

零假设H0:潜伏期长短与患者年龄无关，则

χ2＝

eq\f(300×90×80－60×702,150×150×160×140)

＝

eq\f(75,14)

≈5.357>5.024＝x0.025.

所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为潜伏期长短与患者年龄有关．

(3)由题意知，所需要的试验费用X所有可能的取值为1000,1500,2000，

P(X＝1000)＝

eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))

＝

eq\f(1,10)

，

P(X＝1500)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(X＝2000)＝

eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(1,3)A\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))

＝

eq\f(3,5)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PX＝2000＝\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(3,5))＝\f(36,60)＝\f(3,5)))

，

所以X的分布列为

X

1000

1500

2000

P

eq\f(1,10)

eq\f(3,10)

eq\f(3,5)

数学期望E(X)＝1000×

eq\f(1,10)

＋1500×

eq\f(3,10)

＋2000×

eq\f(3,5)

＝1750.

13．(2021·重庆市第十一中学校高三月考)某创业者计划在南山旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位：元/日)，t为入住天数(单位：天)，以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图．

x/(元/日)

100

150

200

300

450

t/天

90

65

45

30

20

(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率“超过0.6的农家乐的个数，求ξ的分布列；

(2)令z＝lnx，由散点图判断

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

与

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

z＋

eq\o(a,\s\up8(^))

哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求经验回归方程；(

eq\o(a,\s\up8(^))

，

eq\o(b,\s\up8(^))

的结果精确到0.1)

(3)根据第(2)问所求的经验回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x)

参考数据：

eq\o(b,\s\up8(^))

＝

eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)

，

eq\o(a,\s\up8(^))

＝

eq\x\to(y)

－

eq\o(b,\s\up8(^))

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(x)

＝240，

eq\i\su(i＝1,5,x)

iyi＝457.5，

eq\i\su(i＝1,5,x)

eq\o\al(2,i)

＝365000，

eq\o(z,\s\up8(－))

≈5.35，

eq\i\su(i＝1,5,z)

iyi≈12.72，

eq\i\su(i＝1,5,z)

eq\o\al(2,i)

≈144.24，

eq\x\to(z)

2≈28.57，e5≈148，e5.4≈221.

[解](1)ξ的所有可能取值为0,1,2，

则P(ξ＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(ξ＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(6,10)

＝

eq\f(3