高三数学人教版 二轮复习 圆有关的轨迹问题

7/8圆有关的轨迹问题一、选择题圆x2+y2=4,过A〔4,0〕作圆的割线ABC,那么弦BC中点的轨迹方程是〔〕A.〔x-2〕2+y2=4 B.〔x-2〕2+y2=4〔0≤x＜1〕

C.〔x-1〕2+y2=4 D.〔x-1〕2+y2=4〔0≤x＜1〕M是圆C：x2+y2=1上的动点,点N〔2,0〕,那么MN的中点P的轨迹方程是〔〕A.〔x-1〕2+y2= B.〔x-1〕2+y2=

C.〔x+1〕2+y2= D.〔x+1〕2+y2=两定点A〔-2,0〕,B〔1,0〕,假设动点P满足|PA|=2|PB|,那么P的轨迹为〔〕A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N分别是直线CD、AB上的动点,点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕,记直线D1P与MN所成角为θ,假设θ的最小值为,那么点P的轨迹是〔〕

A.圆的一局部 B.椭圆的一局部

C.抛物线的一局部 D.双曲线的一局部两定点A〔-3,0〕,B〔3,0〕,如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于〔〕A.π B.4π C.9π D.16π复数z满足条件：|2z+1|=|z-i|,那么z对应的点的轨迹是〔〕A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题在平面直角坐标系xoy中,A,B是圆x2+y2=4上的两个动点,且AB=2,那么线段AB中点M的轨迹方程为______．自圆x2+y2=4上点A〔2,0〕引此圆的弦AB,那么弦的中点的轨迹方程为______．动圆M与圆C1：〔x+1〕2+y2=1,圆C2：〔x-1〕2+y2=25均内切,那么动圆圆心M的轨迹方程是______．圆x2+y2=4,B〔1,1〕为圆内一点,P,Q为圆上动点,假设∠PBQ=90°,那么线段PQ中点的轨迹方程为______．在直角坐标系xOy中,A〔-1,0〕,B〔0,1〕,那么满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为______．点A〔0,2〕是圆O：x2+y2=16内定点,B,C是这个圆上的两动点,假设BA⊥CA,求BC中点M的轨迹方程为______．三、解答题〔本大题共5小题,共60.0分〕点P〔2,2〕,圆C：x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点．

〔1〕求M的轨迹方程；

〔2〕当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积．

圆C：〔x+1〕2+y2=8,点A〔1,0〕,P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线交CP于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为曲线E．

〔1〕求曲线E的方程；

〔2〕假设直线l：y=kx+m与曲线E相交于M,N两点,O为坐标原点,求△MON面积的最大值．

动圆C过定点F2〔1,0〕,并且内切于定圆F1：〔x+1〕2+y2=16．

〔1〕求动圆圆心C的轨迹方程；

〔2〕假设y2=4x上存在两个点M,N,〔1〕中曲线上有两个点P,Q,并且M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,PQ⊥MN,求四边形PMQN的面积的最小值．

圆N经过点A〔3,1〕,B〔-1,3〕,且它的圆心在直线3x-y-2=0上．

〔Ⅰ〕求圆N的方程；

〔Ⅱ〕求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．

〔Ⅲ〕假设点D为圆N上任意一点,且点C〔3,0〕,求线段CD的中点M的轨迹方程．

圆O：x2+y2=4及一点P〔-1,0〕,Q在圆O上运动一周,PQ的中点M形成轨迹C．

〔1〕求轨迹C的方程；

〔2〕假设直线PQ的斜率为1,该直线与轨迹C交于异于M的一点N,求△CMN的面积．

答案和解析【答案】1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.x2+y2=3

8.〔x-1〕2+y2=1,〔x≠2〕

9.．

10.x2+y2-x-y-1=0

11.2

12.x2+y2-2y-6=0

13.解：〔1〕由圆C：x2+y2-8y=0,得x2+〔y-4〕2=16,

∴圆C的圆心坐标为〔0,4〕,半径为4．

设M〔x,y〕,那么,．

由题意可得：．

即x〔2-x〕+〔y-4〕〔2-y〕=0．

整理得：〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．

∴M的轨迹方程是〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．

〔2〕由〔1〕知M的轨迹是以点N〔1,3〕为圆心,为半径的圆,

由于|OP|=|OM|,

故O在线段PM的垂直平分线上,

又P在圆N上,

从而ON⊥PM．

∵kON=3,

∴直线l的斜率为-．

∴直线PM的方程为,即x+3y-8=0．

那么O到直线l的距离为．

又N到l的距离为,

∴|PM|==．

∴．

14.解：〔Ⅰ〕∵点Q在线段AP的垂直平分线上,∴|AQ|=|PQ|．

又|CP|=|CQ|+|QP|=2,∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．

∴曲线E是以坐标原点为中心,C〔-1,0〕和A〔1,0〕为焦点,长轴长为2的椭圆．

设曲线E的方程为=1,〔a＞b＞0〕．

∵c=1,a=,∴b2=2-1=1．

∴曲线E的方程为．

〔Ⅱ〕设M〔x1,y1〕,N〔x2,y2〕．

联立消去y,得〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2-2=0．

此时有△=16k2-8m2+8＞0．

由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=,．

∴|MN|==

∵原点O到直线l的距离d=-,

∴S△MON==．,由△＞0,得2k2-m2+1＞0．

又m≠0,

∴据根本不等式,得S△MON=．≤=,

当且仅当m2=时,不等式取等号．

∴△MON面积的最大值为．

15.解：〔1〕设动圆的半径为r,那么|CF2|=r,|CF1|=4-r,所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|,

由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,a=2,c=1,所以,动圆圆心C的轨迹方程是．

〔2〕当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得|MN|=4,|PQ|=4,四边形PMQN的面积S=8．

当直线MN斜率存在时,设其方程为y=k〔x-1〕〔k≠0〕,联立方程得,消元得k2x2-〔2k2+4〕x+k2=0

设M〔x1,y1〕,N〔x2,y2〕,那么

∵PQ⊥MN,∴直线PQ的方程为,,得〔3k2+4〕x2-8x+4-12k2=0

设P〔x3,y3〕,Q〔x4,y4〕,那么

四边形PMQN的面积,

令k2+1=t,t＞1,上式,

令2t+1=z,〔z＞3〕,〔z＞3〕,∴,∴S＞8〔1+0〕=8,

综上可得S≥8,最小值为8．

16.解：〔Ⅰ〕由可设圆心N〔a,3a-2〕,又由得|NA|=|NB|,

从而有,解得：a=2．

于是圆N的圆心N〔2,4〕,半径．

所以,圆N的方程为〔x-2〕2+〔y-4〕2=10．

〔Ⅱ〕N〔2,4〕关于x-y+3=0的对称点为〔1,5〕,

所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为〔x-1〕2+〔y-5〕2=10

〔Ⅲ〕设M〔x,y〕,D〔x1,y1〕,那么由C〔3,0〕及M为线段CD的中点得：,解得：．

又点D在圆N：〔x-2〕2+〔y-4〕2=10上,所以有〔2x-3-2〕2+〔2y-4〕2=10,

化简得：．

故所求的轨迹方程为．

17.解：〔1〕设M〔x,y〕,那么Q〔2x+1,2y〕,

∵Q在圆x2+y2=4上,∴〔2x+1〕2+4y2=4,

即〔x+〕2+y2=1．

∴轨迹C的方程是〔x+〕2+y2=1．

〔2〕直线PQ方程为：y=x+1,

圆心C到直线PQ的距离为d==,

∴|MN|=2=,

∴△CMN的面积为==．

【解析】1.解：设弦BC中点〔x,y〕,过A的直线的斜率为k,

割线ABC的方程：y=k〔x-4〕；

作圆的割线ABC,所以中点与圆心连线与割线ABC垂直,方程为：x+ky=0；

因为交点就是弦的中点,它在这两条直线上,故弦BC中点的轨迹方程

是：x2+y2-4x=0如图

应选B．

结合图形,不难直接得到结果；也可以具体求解,使用交点轨迹法,见解答．

此题考查形式数形结合的数学思想,轨迹方程,直线与圆的方程的应用,易错题,中档题．2.解：设线段MN中点P〔x,y〕,那么M〔2x-2,2y〕．

∵M在圆C：x2+y2=1上运动,

∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=1,即〔x-1〕2+y2=．

应选A．

设出线段MN中点的坐标,利用中点坐标公式求出M的坐标,根据M在圆上,得到轨迹方程．

此题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法,考查学生的计算能力,属于根底题．3.解：设P点的坐标为〔x,y〕,

∵A〔-2,0〕、B〔1,0〕,动点P满足|PA|=2|PB|,

∴,平方得〔x+2〕2+y2=4[〔x-1〕2+y2],

即〔x-2〕2+y2=4．

∴P的轨迹为圆．

应选：C．

设P点的坐标为〔x,y〕,利用两点间的距离公式表示出|PA|、|PB|,代入等式|PA|=2|PB|,化简整理得答案．

此题考查动点的轨迹的求法,着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程,属于中档题．4.解：把MN平移到面A1B1C1D1中,直线D1P与MN所成角为θ,

直线D1P与MN所成角的最小值,是直线D1P与面A1B1C1D1所成角,

即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为,

点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部,

∵点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕

∴那么点P的轨迹是椭圆的一局部．

应选：B．

把MN平移到面A1B1C1D1中,直线D1P与MN所成角为θ,直线D1P与MN所成角的最小值,是直线D1P与面A1B1C1D1所成角,即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为,求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部,那么点P的轨迹是椭圆的一局部．

此题考查了空间轨迹问题,考查了转化思想,属于中档题．5.解：设P〔x,y〕,那么|PA|=,|PB|=,

∵|PA|=2|PB|,∴〔x+3〕2+y2=4[〔x-3〕2+y2],即x2+y2-10x+9=0,化为标准式方程得〔x-5〕2+y2=16．

即P的轨迹所包围的图形为半径为4的圆,该圆的面积S=π×42=16π．

应选：D．

设出P点坐标,根据|PA|=2|PB|列出方程整理出P的轨迹方程,判断图形计算面积．

此题考查了轨迹方程的求法,属于根底题．6.解：设复数z=x+yi,x,y∈R,

∵|2z+1|=|z-i|,

∴|2z+1|2=|z-i|2,

∴〔2x+1〕2+4y2=x2+〔y-1〕2,

化简可得3x2+3y2+4x+2y=0,

满足42+22-4×3×0=20＞0,表示圆,

应选：A

设复数z=x+yi,x,y∈R,由模长公式化简可得．

此题考查复数的模,涉及轨迹方程的求解和圆的方程,属根底题．7.解：由题意,OM⊥AB,OM==,

∴线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3,

故答案为x2+y2=3．

由题意,OM⊥AB,OM==,即可求出线段AB中点M的轨迹方程．

此题考查轨迹方程,考查垂径定理的运用,比拟根底．8.解：设AB中点为M〔x,y〕,

由中点坐标公式可知,B点坐标为〔2x-2,2y〕．

∵B点在圆x2+y2=4上,∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=4．

故线段AB中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1．不包括A点,

那么弦的中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1,〔x≠2〕

故答案为：〔x-1〕2+y2=1,〔x≠2〕．

设出AB的中点坐标,利用中点坐标公式求出B的坐标,据B在圆上,将P坐标代入圆方程,求出中点的轨迹方程．

此题主要考查轨迹方程的求解,应注意利用圆的特殊性,同时注意所求轨迹的纯粹性,防止增解．9.解：设动圆的圆心为：M〔x,y〕,半径为R,

动圆与圆M1：〔x+1〕2+y2=1内切,与圆M2：〔x-1〕2+y2=25内切,

∴|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6,

∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|,

因此该动圆是以原点为中心,焦点在x轴上的椭圆,2a=4,c=1

解得a=2,

根据a、b、c的关系求得b2=3,

∴椭圆的方程为：．

故答案为：．

首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆,然后根据相关的两求出椭圆的方程．

此题考查的知识点：椭圆的定义,椭圆的方程及圆与圆的位置关系,相关的运算问题．10.解：设PQ的中点为N〔x,y〕,

在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,

设O为坐标原点,那么ON⊥PQ,

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,

所以x2+y2+〔x-1〕2+〔y-1〕2=4．

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0．

故答案为：x2+y2-x-y-1=0．

利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|,利用圆心与弦中点连线垂直弦,利用勾股定理得到|OP|2=|ON|2+|PN|2,利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．

此题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程．11.解：设P〔x,y〕,

∵A〔-1,0〕,B〔0,1〕,

由PA2-PB2=4,得〔x+1〕2+y2-x2-〔y-1〕2=4．

整理得：x+y=2．

联立,解得：或．

∴P点坐标为〔0,2〕或〔2,0〕．

即满足条件的P点的个数为2．

故答案为：2．

设出P点的坐标,由等式求出P点的轨迹方程,和圆的方程联立求解P点的坐标,那么答案可求．

此题考查了轨迹方程的求法,考查了方程组的解法,是中档题．12.解：设M〔x,y〕,连接OC,OM,MA,那么

由垂径定理,可得OM⊥BC,

∴OM2+MC2=OC2,

∵AM=CM,

∴OM2+AM2=OC2,

∴x2+y2+x2+〔y-2〕2=16,

即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-2y-6=0．

故答案为：x2+y2-2y-6=0．

设M〔x,y〕,连接OC,OM,MA,那么由垂径定理,可得OM⊥BC,OM2+MC2=OC2,即可求BC中点M的轨迹方程．

垂径定理的使用,让我们在寻找M的坐标中的x与y时,跳过了两个动点B,C,而直达一个非常明确的结果,减少了运算量．13.〔1〕由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；

〔2〕设M的轨迹的圆心为N,由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度,代入三角形面积公式得答案．

此题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题．14.〔1〕根据椭圆的定义和性质,建立方程求出a,b即可．

〔2〕联立直线和