高一数学函数解析式定义域值域解题方法

高一数学函数分析式、定义域、值域解题方法高一数学函数分析式、定义域、值域解题方法高一数学函数分析式、定义域、值域解题方法个性

化辅

导教

案授课时间：科目：数学

课题：函数

授课时段：学生：

授课老师：

M授课目标听课及知识掌握情况反响：课堂检测授课需：加快□保持□放慢□增加内容□授课反思及下节课内容安排学生建议授课过程（内容）高一数学函数分析式、定义域、值域解题方法.求函数的定义域与值域的常用方法求函数的分析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.求函数的分析式3、求函数分析式的一般方法有：1）直接法：依照题给条件，合理设置变量，搜寻或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。2）待定系数法：若明确了函数的种类，能够设出其一般形式，尔后代值求出参数的值；3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时能够令t＝g（x），以换元法解之；4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则能够x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；5）依照实责问题求函数分析式：设定或采用自变量与因变量后，搜寻或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由分析式限制外，还受其实质意义限制。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的会集，一般要求用会集或区间来表示；2、常有题型是由分析式求定义域，此时要认清自变量，其次要观察自变量所在地址，地址决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实责问题中的函数定义域除了受分析式限制外，还受实质意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类谈论，若参数在不一样的范围内定义域不一样样，则在表达结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类谈论，但在表达结论时需要对分类后求得的各个会集求并集，作为该函数的定义域；一：求函数分析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知f(x1x2x1x)x2，试求。解：设tx11x，则xt1，代入条件式可得：f(t)t2t1，t≠1。故得：f(x)x2x1,x1。说明：要注意变换后变量范围的变化，必定保证等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，能够据此构造出另一个方程，联立求解。2例2.（1）已知f(x)2f(x)3x4x5，试求；（2）已知f(x)2f(x)3x24x5，试求；11115，解：（1）由条件式，以x代x，则得f(x)2f(x)3x24x12824x5与条件式联立，消去f3。x，则得：fxx23xx3（2）由条件式，以－x代x则得：f(x)2f(x)3x24x5，fx，则得：f25与条件式联立，消去xx4x3。说明：本题诚然没有给出定义域，但由于变形过程素来保持等价关系，故所求函数的定义域由分析式确定，不需要别的给出。例4.求以下函数的分析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，求f(x)；2）已知f(x3）已知f(x1x4）已知3f(x)【思路分析】

x2x21)x22f(x)

x，求f(x)，f(x1)，f(x2)；，求f(x)；x3，求f(x)。【题意分析】（1）由已知f(x)是二次函数，所以可设f(x)ax2bxc(a0)，想法求出a,b,c即可。2）若能将x2x合适变形，用x1的式子表示就简单解决了。（3）设x1为一个整体，不如设为t，尔后用tx表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得f(x)有意义，用x代替x建立关于f(x)，f(x)的两个方程就行了。【解题过程】⑴设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2,得c2，由f(x1)f(x)x1，得恒等式2axabx1，得a22。1,b3故所求函数的分析式为f(x)1x23x2。22（2）f(x1)x2x(x)22x11(x1)21，又x0,x11,f(x)x21(x1)。（3）设x1t,则x1,t1，xt1则f(t)f(x1x2111111(t1)2(t1)t2)2x2xt1xxx所以f(x)x2x1(x1)。4）由于3f(x)2f(x)x3①用x代替x得3f(x)2f(x)x3②解①②式得f(x)x35。【题后思虑】求函数分析式常有的题型有：（1）分析式种类已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。关于二次函数问题要注意一般式yax2bxc(a0)，极点式ya(xh)2k和标根式ya(xx1)(xx2)的选择；2）已知f[g(x)]求f(x)的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；3）函数方程问题，需建立关于f(x)的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现f(x)，f(1x)，则一般将式中的x用1代替，构造另一方程。x特别注意：求函数的分析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数分析式求函数定义域：由于分析式中不一样的地址决定了变量不一样的范围，所以解题时要认真分析变量所在的地址；最后经常是经过解不等式组确定自变量的取值会集。例3.求yx2x3x4的定义域。x20解：由题意知：x4，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x>－2且x≠±4}。例2.求以下函数的定义域：（1）5x；（2）f(x)x11xf(x)【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应试虑使函数分析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则5x0x5，在数轴上标出，即x3,或3x3,或3x5。x3,即0x3故函数的定义域为(,3)(3,3)(3,5].自然也可表示为xx3,或3x3,或3x5。（2）要使函数有意义，则x10x1，从1x,即,所以x10x1而函数的定义域为x|x1。【题后思虑】求函数的定义域的问题能够归纳为解不等式的问题，若是一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简分析式；定义域是一个会集，要用会集或区间表示，若用区间表示数集，不能够用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－176解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数（fu）的定义域能够确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域能够解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。例8已知f(x)x3,g(x)xf(g(x))的定义域.,求yx24x3由f(x)x3x3g(x)3x解：x234x3又由于x2－4x＋3>0联立*、两式可解得：933或x933x1344故所求定义域为933或933x|4x13x4例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得2x4，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面经过例题来研究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分别变量法2x3例11.求函数yx1的值域。解：y2x32x112110，故y≠2，x1x1x1，由于x1所以值域为{y|y≠2}。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可经过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。说明：这是一个二次函数，可经过配方的方法来求得函数的值域。近似的，关于能够化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、鉴识式法x22x3的值域。例13.求函数y4x25x6x22x3解：y4x25x6可变形为：（4y－1）x2＋（5y－266326632）x＋6y－3＝0，由y71,71。≥0可解得：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，能够考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再别的给出；若是题中条件别的给出了定义域，那么一般情况下就不能够用此法求解值域；第二，用鉴识式法求解函数值域的理论依照是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故≥0。4、单调性法2例14.求函数yx3，x∈［4，5］的值域。2解：由于函数yx3为增函数，故当x＝4时，5,13ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为25。5、换元法例15.求函数y2x41x的值域。解：令t1x0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。例3.求以下函数的值域：（1）y2x1,x1,2,3,4,52）3）

x1x21x2（4）yx22x3,(5x2)【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题第一必定明确两点：一是值域的看法，即关于定义域A上的函数yf(x)，其值域就是指会集Cyyf(x),xA；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依照。【解题过程】1）将x1,2,3,4,5分别代入y2x1受骗算，得出函数的值域为3,5,7，9,11。（2）x0,x11，即所求函数的值域为[1,)或用换元法，令tx(t0),yt1(t0)的值域为[1,)。（3）<方法一>y1x2122,函数的定义域为1x21xR。1x21,0222,y(1,1]。1x<方法二>y1x2yyx21x2(1y)x21y1x2x21y0,获取y(1,1]。1y故所求函数的值域为（－1，1]。（4）<构造法>yx22x3(x1)24,5x2,4x111(x1)216,124(x1)23.所以函数的值域为[－12，3]。【题后思虑】求函数的值域问题要点是将函数的分析式变形，经过观察或利用熟知的基本函数的值域，渐渐推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。【模拟试题】(答题时间：30分钟)一.选择题1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（）A.［－1，3］B.［－2］D.［－1，1］

3，1］

C.［－

2，解∵函数y=f（x）的值域是[-2，2]，y=f（x）的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f（x+1）的图象是由y=f（x）向左平移1个单位而得∴函数y=f（x+1）最大值是2，最小值是-2所以函数y=f（x+1）的值域仍是[-2，2]应选C2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（）A.2

B.4

C.6

D.8解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其分析式和定义域是（）A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2xx<10）C.y＝20－2x（4≤x<10）D.y＝20－2x5<x<10）解：Y=20-2XY>0，即20-2X>0，X<10，两边之和大于第三边，2X>Y，即2X>20-2X4X>20X>5。本题定义域较难，很简单忽略X>5。54、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a<b），值域也是［a，b］，则区间［a，b］是（）A.［0，4］B.［1，4］C.［1，3］D.［3，4］解：a，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（）A.［0，1］B.［3，4］C.［5，6］D.［6，7］解：y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，即3≤x≤4则3+2≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6所以y=f(x)的定义域为[5,6]则5≤x+5≤6，那么0≤x≤1所以y＝f（x＋5）的定义域为［0，1］6、函数yx223x24x的值域是（）A.[317,317]B.317,3174444C.(317317D.(,317317,][,)4)(,)444解：鉴识式法7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（）3x1(0x2)33x1(0x2)222C.y3x1(0x2)D.y1x1(0x2)2二.填空题8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－（f1－x），则（f2）＋（f－2）＝；解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=-f（1-x），∴当x=0时，有f（1+0）=-f（1-0），即f（1）=-f（1）．∴f（1）=0．又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3．故有（1+a）3=0，解得a=-1．f（x）=（x-1）3．f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=13+（-3）3=-26．29、若函数f(x)x2

的值域为,1，则其定义域3为；解：2/(x-2)≤-1/3=>1/3≤2/(2-x)当x>2时,2/(2-x)6≥2-x=>x≥-4∴定义域：[-4,2)三.解答题5x3x410、求函数yx2的定义域。11、已知值。

x22x1,x2f(x)，若f（a）＝3，求a的x,x212、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。解：2f(-x)-f(x)=-x2-4x4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x相加得f(x)=-x2+4x/3习题讲解：1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1x),x0，f(x1)f(x2),x0则f（2009）的值为()B.0D.2答案:C.【分析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f2009）=f（5）=1,应选C.【命题立意】:本题观察归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数f(x)x24x6,x0则不等式f(x)f(1)的解集是x6,x0（）AC

(3,1)(3,)(1,1