数学课件-第一章5-1连续与间断

一、函数的连续性1.函数的增量设函数f

(x)在U

(x0

)内有定义,

x

U

(x0

),x

x

x0

,

称为自变量在点

x0的增量.y

f

(x)

f

(x0

),称为函数f

(x)相应于x的增量.y

y0

x0

x0

xy

f

(

x)xxx

0

x0

x0

x

xyyy

f

(

x)2012年10月1航空航天大学理学院数学系2.连续的定义lim[f

(x0

x)

f

(x0

)]

0,那末就称函数x

0f

(

x)在点x

连续,

x

称为

f

(

x)的连续点.定义

1

设函数

f

(

x)在U

(

x0

)内有定义,如果当自变量的增量x

趋向于零时,

对应的函数的增量y

也趋向于零,

即lim

y

0

或x

0设x

x0

0

x,

y

f

(

x)

f

(

x

),0

0x

0

就是

x

x

,

y

0

就是

f

(

x)

f

(

x

).0

02012年10月2航空航天大学理学院数学系定义

2

设函数

f

(

x)

在U

(

x0

)内有定义,

如果函数

f

(

x)

当x

x

时的极限存在,

且等于它在000

0点x

处的函数值

f

(

x

),

即

lim

f

(

x)

f

(

x

)x

x0那末就称函数

f

(

x)在点x

连续.0"

"定义:恒有

f

(

x)

f

(

x

)

.0

时,

0,

0,

使当x

x02012年10月3航空航天大学理学院数学系1处连续.x

0,

在x

00,

x

0,例1

试证函数

f

(

x)

x

sin

x

,证xx

0lim

x

sin

1

0,f

(0)

0,由定义2知函数

f

(

x)在x

0处连续.lim

f

(

x)

f

(0),x02012年10月4航空航天大学理学院数学系3.单侧连续若函数f

(x)在(a,x0

]内有定义,且f

(x0则称f

(x)在点x0处左连续;若函数f

(x)在[x0

,b)内有定义,且f

(x0则称f

(x)在点x0处右连续.

0)

f

(

x0

),

0)

f

(

x0

),定理

函数

f

(

x)在

x0

处连续

是函数

f

(

x)在

x0处既左连续又右连续.2012年10月5航空航天大学理学院数学系连续性.

x

2,

x

0,x

0,在x

0处的例2函数

f

(

x)

x

2,解lim

f

(

x)

lim(

x

2)

2

f

(0),x0

x0lim

f

(

x)

lim(

x

2)

2

f

(0),x0

x0右连续但不左连续,故函数f

(x)在点x

0处不连续.2012年10月6航空航天大学理学院数学系4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点

x

a处右连续,在右端点x

b处左连续,则称函数f

(x)在闭区间[a,b]上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例理函数在区间(,)内是连续的.2012年10月7航空航天大学理学院数学系例3

证明函数

y

sin

x在区间(,)内连续.证

任取

x

(,),y

sin(

x

x)

sin

x

2

sin

x

cos(

x

x

)2

2则y

2

sin

x

.cos(

x

x

)

1,22对任意的,当

0时,有sin

,2故

y

2

sin

x

x

,

当x

0时,

y

0.即函数y

sin

x对任意x

(,)都是连续的.2012年10月8航空航天大学理学院数学系二、函数的间断点函数f

(x)在点x0处连续必须满足的三个条件:f

(x)在点x0处有定义;lim

f

(x)存在;x

x0lim

f

(

x)

f

(

x0

).x

x0如果上述三个条件中只要有一个不满足,

则称函数

f

(

x)在点x0处不连续(或间断),

并称点

x0为f

(

x)的不连续点(或间断点).2012年10月9航空航天大学理学院数学系1.跳跃间断点

如果

f

(

x)在点x0处左,右极限都存在,

但f

(

x

0)

f

(

x

0),

则称点x

为函数0

0

0f

(x)的跳跃间断点.1

x,

x

0,函数

f

(

x)

x,

x

0,在x

0处的连续性.例4解f

(0

0)

0,

f

(0

0)

1,f

(0

0)

f

(0

0),

x

0为函数的跳跃间断点.oxy2012年10月10航空航天大学理学院数学系0

00义则称点x0为函数f

(x)的可去间断点.但lim

f

(

x)

A

f

(

x

),

或

f

(

x)在点x

处无定x

x02.可去间断点如果f

(x)在点x

处的极限存在,例5函数1,在x

1处的连续性

.1

x,0

x

1,x

1x

1,

2

x,f

(

x)

oxy121y

1

xy

2

x2012年10月11航空航天大学理学院数学系注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,

则可使其变为连续点.如例5中,令

f

(1)

2,在x

1处连续.1

x,x, 0

x

1,x

1,则

f

(

x)

2oxy1212012年10月12航空航天大学理学院数学系跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点

函数在点

x0处的左、右极限都存在.2012年10月13航空航天大学理学院数学系3.第二类间断点

如果f

(

x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存

在,

则称点x0为函数f

(x)的第二类间断点.1

,x,x

0,x

0,例6函数

f

(

x)

xox在x

0处的连续性.y解f

(0

0)

0,

f

(0

0)

,

x

1为函数的第二类间断点.这种情况称为无穷间断点.2012年10月14航空航天大学理学院数学系x例7函数

f

(

x)

sin

1

在x

0处的连续性.y

sin1x解

在x

0处没有定义,且lim

sin

不存在.1xx

0

x

0为第二类间断点.这种情况称为的振荡间断点.注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.2012年10月15航空航天大学理学院数学系当x是有理数时,0,

当x是无理数时,y

D(

x)

1,雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.

x,当x是有理数时,当x是无理数时,f

(

x)

x,仅在x=0处连续,

其余各点处处间断.★★2012年10月16航空航天大学理学院数学系ox1x2x3x

1,

当x是无理数时,当x是有理数时,f

(

x)

1,★在定义域

R内每一点处都间断,

但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:yy

f

x2012年10月17航空航天大学理学院数学系a

x,

x

0,函数

f

(

x)

cos

x,

x

0,

在

x

0处连续.例8

当a取何值时,解f

(0)

a,lim

f

(

x)

limcos

x

1,x0

x0lim

f

(

x)

lim(a

x)

a,x0

x0要使

f

(0

0)

f

(0

0)

f

(0),

a

1,故当且仅当

a

1时,

函数

f

(

x)在

x

0处连续.2012年10月18航空航天大学理学院数学系三、小结函数在一点连续必须满足的三个条件;区间上的连续函数;间断点的分类与判别;第一类间断点:可去型,跳跃型.间断点第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)2012年10月19航空航天大学理学院数学系可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxx0oyxx0oyxx02012年10月20航空航天大学理学院数学系思考题若f

(x)在x0

连续，则|

f

(x)|、f

2

(x)在x

0是否连续？又若|

f

(x)|、f

2

(x)在x0连续，f

(x)在

x0

是否连续？2012年10月21航空航天大学理学院数学系思考题解答f

(x)在x0

连续，

lim

f

(

x)

f

(

x0

)x

x0且

0

f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x)

f

(

x0

)x

x0x

x0

x

x0x

x00lim

f

2

(

x)

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

f

2

(

x

)故|

f

(

x)

|、

f

2

(

x)在x

都连续.02012年10月22航空航天大学理学院数学系但反之不成立.例x

01,

x

0f

(

x)

1,0在

x

0不连续但

|

f

(

x

)

|、

f

2

(

x)在x

0连续02012年10月23航空航天大学理学院数学系一、填空题：1、

y

1

3

x

2x

2x

2在

x

1

是第类间断点；在

x

2

是第类间断点

.x

(

x

2

1)

xx

22、y

1,

x

1断点；在

x

1

是第在

x

0

是第

类间类间断点；在x

1是第

类间断点

.

x,

x

1二、研究函数f

(x)

的连续性，并画出函数的图形

.练

习

题2012年10月24航空航天大学理学院数学系三、下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.3

x,x

在11、

f

(x)

x

1,

x

1x

R

上

.xtan

x2、f

(x),

在x

R

上

.1

x

2

n1

x

2n四、

函数

f

(

x)

limn的连续性，若有间断(

x

a)(

x

1)

b点，判断其类型

.五、试确定

a,

b

的值,