2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第60讲 空间直线、平面垂直位置关系的证明

【例3【例3】如图，已知正方体AC］棱长为2,E、F、G分别是CC「BC和CD的中点.(1)证明：A1G面EFD；(2)求二面角EDFC的余弦值.DCAEGCABDCAEGBADCAEGCABDCAEGBA【解析】d)以Q为原点建立如團空间直角坐标系，正方体棱长为2,则D(0,0,0),E©2,1),F(l,2,0)a丄0),4(2,Q,2),C(Q2,0)]■1-⑴则&G=(-2丄-2),DE=®21),DmT4GDE=(—2丄-2)<0.2.1)=0二4G丄DET4GDF=(-2丄-2)<1^0>=0二如丄DFXDECIDE=D,DE匸面,DF<z/.4G丄面EFD⑵由⑴知AG(2,12)为面EFD的法向量・.・CE面CF^,CE(0,0,1为面CFD的法向量设A设AG与CE夹角矿QcosAGCE2——1—AGCE311由图可知二面角EDFC的平面角为2.・・二面角EDFC的余弦值为点评】本题由于是正方体,所以方便建立空间直角坐标系,所以选择向量的方法比较直接.当然,也可以选择几何法.

【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ZABC=60。,AE丄平面ABCD,AE严,AB=AE=1,AF丄BE.(1)求证：AF丄平面BDE；(2)求二面角F-BE-D的余弦值.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案反馈检测1反馈检测1答案】(1)证明略；(2)【反馈检测1详细解析】(1)由题设可得」S辺辿哋，从而AD=DC.又心仞是直角三角形，所以，厶DG®\取丄哪中点6连接贝3。丄AC,DO=AO.又由于△屈U是正三角形，故BOLAC.^RtAJ05中，BO2+AO2=AB2-又AB=HD,F5W5O1+DOa=BO2+AOa=AB2=BD2；故DO丄月CL因為/GEOu平面却CACC\BO=O所以DO丄平面/SC.因為DOu平面/CD,所以平面丄CD1平面血C.(2)由题设及(1)知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，|OA为单位

长，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.则A(1,0,0),BC(—1,0,0),D(0,0,1).一由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的*，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的2，即E为DB的中点，得E(3i)故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=—1^-,-22

设tt=（盂是平面D应的法向量，则勺n-AD=0,一即n-AE=0,设tt=（盂是平面D应的法向量，则勺n-AD=0,一即n-AE=0,可取1,^,1.设是平面应C的法向量；则mAC=0,mAE=0,iJnpn馭二面角5的余弦值为#【反馈检测2答案】（1）见解析；（2）所求二面角得余弦值为斗0【反馈检测2详细解析】（1）设ACCBD=0以O为空间直角坐标系原点，以OB为X+轴，以OC为y+轴，以过0点平行于AE的射线为z+轴建立空间直角坐标系xOy*.*AB=AE=1，且菱形ABCD中AABC=60°、,0,0,C0二,0,D丿、,0,0,C0二,0,D丿:.A（0,-丄,0j,BI2丿：・F[0丄,JI2丿又AF丄BE・・・AE口CF：・F[0丄,JI2丿又AF丄BE・：AF-BE=--+X=0，•:X=-，•:F0,-,22l22又・又・AF•BD=[0丄2丿・3,0,0）=0：・AFTBD，：・AFTBD，又AF丄BE且BD.BE=B（2）设m丄平面bef，m=（x,y,z）:.AF丄平面BDEm-BE=（x,y,z）・f7311j-亍-2,1Il丿$1])忑$1])忑~T3232)x+ly+lz=o222.\x=y/