10第10讲导数单调性极值最值

第10讲导数的单调性、极值、最值基础梳理函数y=f(x)在x=Xo处的导数f'xO)是曲线y=f(x)在点(xo,f(xg))处切线I的斜率，切线I的方程是y—f(Xo)=f，x0)(x—xo).导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为 s=f(t)，则f't(是物体运动在t=to时刻的瞬时速度.函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f'x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 o.f'x)>?函数f(x)在(a,b)上单调递增;f'x)<?函数f(x)在(a,b)上单调递减.求函数单调区间的步骤:……(1)确定函数..f(x)的定义域…(2)求导数f.x)；_(3).由.f：x)>o(f：x!<o)解岀相应的..X的范围...当f'x)>o时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f'x)vo时？f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写岀.函.数的单週区间: 函数的极值判断f(xo)是极值的方法如果在Xo附近的左侧f'x)>o，右侧f'x)<o，那么f(xo)是极大值；如果在Xo附近的左侧f'刈<o，右侧f'x)>o，那么f(xo)是极小值.求可导函数极值的步骤①求f'x); ②求方程f'x)=o的根；③检查f'x)在方程f'x)=o的根左右值的符号. 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.函数的最值(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与—⑵若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.⑶设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.双基自测TOC\o"1-5"\h\z1曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 .函数f(x)=x2—2lnx的递减区间是 .若点P是曲线y=x2—Inx上任意一点，则点 P到直线y=x—2的最小值为 .» 一 __ 1 3已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=—于+81x—234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.函数f(x)=x3—3x2+1在x= 处取得极小值.函数f(x)=x3—3求+1的递增区间是 .若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3—ax2—2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于_.x2+a若函数f(x)= 在x=1处取极值，则a= .x+1考向一求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)=x3—4x2+5x—4.(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程； ⑵求经过点A(2,—2)的曲线f(x)的切线方程.【训练1】若直线y=kx与曲线y=x3—3x2+2x相切，试求k的值.考向二 函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)=x3—ax2—3x.(1)若f(x)在［1,+g上是增函数，求实数a的取值范围；⑵若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间.【训练2】已知函数f(x)=ex—ax—1.求f(x)的单调增区间；是否存在a,使f(x)在(—2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由.考向三利用导数解决不等式问题【例3】设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x€R.(1)求f(x)的单调区间与极值；⑵求证：当a>In2—1且x>0时，ex>x2-2ax+1.【训练3】已知m€R，函数f(x)=(x2+mx+m)ex2 3(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围;⑵当m=0时，求证(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围;考向四函数的极值与导数1【例1】设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'x)，若函数y=f'x)的图象关于直线x=--对称，且f'(特0. (1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)的极值.x【训练4】设f(x)=J,其中a为正实数.1+ax(1)当a=3时，求f(x)的极值点； ⑵若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.3考向五函数的最值与导数

【例5】已知a为实数，且函数f(x)=(x2—4)(x—a).(1)求导函数f'x); ⑵若f—1)=0,求函数f(x)在［—2,2］上的最大值、最小值.【训练5】函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行(1)求a,b; (2)求函数f(x)在［0,t］(t>0)内的最大值和最小值.考向六用导数解决生活中的优化问题【例3】请你设计一个包装盒.如图所示， ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴DJ0\ F *'、、、「/J影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【训练6】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度1 3 3x(千米/小时)的函数解析式可以表示为： y=128000x—80x+8(0<xw120.)已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【强化训练】TOC\o"1-5"\h\z若函数y=x'+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数 m的取值范围是 .2.函数f(x)=x3—3x2+1在x= 处取得极小值.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，则 a的取值范围是 .已知函数f(x)=Inx+2x,若f(x2+2)vf(3x),则实数x的取值范围是 .3已知函数f(x)=弓—(4m—1)x2+(15m2—2m—7)x+2在实数集R上是增函数，则实数m3的取值范围是 .已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c€R),若函数f(x)在区间［—1,0］上是单调递减函数，则a2+b2的最小值为 .设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)+xf'x(0,则不等式f(：：：:x+1)>”x—1fQ：；x2—1)的解集为 .&已知a>0，函数f(x)=x3—ax在［1,+s上单调递增，则a的最大值是 .2设函数f(x)=x3—|—2x+5,若对任意x€［—1,2］，都有f(x)>m,则实数m的取值范围是 .已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f'—1)=0，则函数y=f(x)在一|,1上的最大值和最小值分别为 .1已知曲线f(x)=ln(2—x)+ax在点(0,f(0))处的切线斜率为",(1)求f(x)的极值；⑵设g(x)=f(x)+kx,若g(x)在(―汽1］上是增函数，求实数k的取值范围.lnx+k已知函数f(x)= ex(k为常数，e=2.71828•是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值； ⑵求f(x)的单调区间；2已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1