数列的极限课件

数列的概念收敛数列的性质数列极限的概念概念的引入第二节数列的极限第一章函数与极限子列及其极限小结思考题作业1数列的概念收敛数列的性质数列极限的概念概念的引入第二节数一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限中写道:2一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的边长,正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误差了.数列的极限

“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”3刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的极限4正六边形的面积正十二边形的面积正形简记为数列的极限二、整标函数与数列定义1定义在正整数集上的函数称为整标函数,记为对应函数值的排列称为数列,定义2当n依次取1,2,3,…等一切正整数时,通项(generalterm),或者一般项.(sequenceofnumber)5简记为数列的极限二、整标函数与数列定义1定义在正整数集上的函如数列的极限6如数列的极限6可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.数列的极限7可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注

不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是数列的极限平面上一串分离的点.8(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注不可将数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3则称数列为有界数列,否则为无界数列.如,有界无界数列的极限9数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3则称数列为有界定义4则称数列为单调增数列.如↗则称数列为单调减数列.如数列的极限10定义4则称数列为单调增数列.如↗则称数列为单调减数列.如数列注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.2.数列是一种特殊的函数.3.数列与数集是不同的(数集中元素互不相同).数列的极限11注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.2.数列是一种特三、数列的极限1.引例求由抛物线所围成的图形面积.(1)分割:n等分,得到n个小区间:(2)代替:小矩形面积为数列的极限12三、数列的极限1.引例求由抛物线所围成的图形面积.(1)(3)求和:问题当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?数列的极限13(3)求和:问题当无限增大时,是否无限问:???数列的极限14问:???数列的极限14定义5数列极限的定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,则称数列收敛,极限为记作或如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).数列的极限15定义5数列极限的定义如果对于任意给定的正数(不论它多么注但是一旦给出之后,它就是确定了;说明数列从某项开始,后面所有的项均与A接近到任意给定的程度.一般地说,数列的极限16注但是一旦给出之后,它就是确定了;说明数列从某项开始,后面所(3){u

n}有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主要看“后面”的无穷多项.定义采用逻辑符号将的定义可缩写为:数列的极限17(3){un}有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主数列极限的几何意义数列的极限即注数列极限的定义通常是用来进行推理和证明极限,而不是用来求极限,因为这里需要预先知道极限值是多少.18数列极限的几何意义数列的极限即注数列极限的定义通常是用来进行例1证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.数列的极限因为

解不等式所以,19例1证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证例2证令数列的极限解得所以20例2证令数列的极限解得所以20例3数列的极限例4证明:提示:总结:21例3数列的极限例4证明:提示:总结:21定理1(极限的唯一性)证由定义,故收敛数列极限唯一.数列的极限才能成立.使得四、收敛数列的性质22定理1(极限的唯一性)证由定义,故收敛数列极限唯一.数列的极定理2(收敛数列的有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.数列的极限无界数列必定发散.不是充分条件.23定理2(收敛数列的有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条例5证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极限

反证法假设数列收敛，

则有唯一极限a存在.但却发散.24例5证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极数列的极限定理3(保号性)如果且证由定义,对有

从而25数列的极限定理3(保号性)如果且证由定义,对有从而25推论1如果且推论2如果且则当时,有推论3如果且则当时,有推论4如果数列从某项起有且那么用反证法问:数列的极限26推论1如果且推论2如果且则当时,有推论3如果且则当时,有推论在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项,子数列.叫做数列数列的极限?注意五、子列(subsequence)27在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这*********************证是数列的任一子数列.若则成立.现取正整数

K,使于是当时,有从而有由此证明*********************定理4设数列数列的极限正整数

K收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.28*********************证是数列的任一子数由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列敛于a.收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.数列的极限一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明:数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列也收仅从某一个子数列的收敛(证明留给做作业)29由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两例6试证数列不收敛.证因为的奇子数列数列的极限收敛于而偶子数列收敛于所以数列不收敛.30例6试证数列不收敛.证因为问:与是否一回事?例证明数列发散.数列的极限31问:与是否一回事?例证明数列发散.数列的极限31数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小结数列的极限研究其变化规律;极限思想,精确定义,几何意义;有界性,唯一性,保号性,32数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小数列的极限思考题“”恒有是数列收敛于a的().

A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件(1)C(2)D.不确定33数列的极限思考题“”恒有是数列收敛于a的(数列的概念收敛数列的性质数列极限的概念概念的引入第二节数列的极限第一章函数与极限子列及其极限小结思考题作业34数列的概念收敛数列的性质数列极限的概念概念的引入第二节数一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限中写道:35一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的边长,正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误差了.数列的极限

“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”36刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的极限37正六边形的面积正十二边形的面积正形简记为数列的极限二、整标函数与数列定义1定义在正整数集上的函数称为整标函数,记为对应函数值的排列称为数列,定义2当n依次取1,2,3,…等一切正整数时,通项(generalterm),或者一般项.(sequenceofnumber)38简记为数列的极限二、整标函数与数列定义1定义在正整数集上的函如数列的极限39如数列的极限6可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.数列的极限40可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注

不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是数列的极限平面上一串分离的点.41(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注不可将数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3则称数列为有界数列,否则为无界数列.如,有界无界数列的极限42数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3则称数列为有界定义4则称数列为单调增数列.如↗则称数列为单调减数列.如数列的极限43定义4则称数列为单调增数列.如↗则称数列为单调减数列.如数列注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.2.数列是一种特殊的函数.3.数列与数集是不同的(数集中元素互不相同).数列的极限44注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.2.数列是一种特三、数列的极限1.引例求由抛物线所围成的图形面积.(1)分割:n等分,得到n个小区间:(2)代替:小矩形面积为数列的极限45三、数列的极限1.引例求由抛物线所围成的图形面积.(1)(3)求和:问题当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?数列的极限46(3)求和:问题当无限增大时,是否无限问:???数列的极限47问:???数列的极限14定义5数列极限的定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,则称数列收敛,极限为记作或如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).数列的极限48定义5数列极限的定义如果对于任意给定的正数(不论它多么注但是一旦给出之后,它就是确定了;说明数列从某项开始,后面所有的项均与A接近到任意给定的程度.一般地说,数列的极限49注但是一旦给出之后,它就是确定了;说明数列从某项开始,后面所(3){u

n}有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主要看“后面”的无穷多项.定义采用逻辑符号将的定义可缩写为:数列的极限50(3){un}有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主数列极限的几何意义数列的极限即注数列极限的定义通常是用来进行推理和证明极限,而不是用来求极限,因为这里需要预先知道极限值是多少.51数列极限的几何意义数列的极限即注数列极限的定义通常是用来进行例1证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.数列的极限因为

解不等式所以,52例1证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证例2证令数列的极限解得所以53例2证令数列的极限解得所以20例3数列的极限例4证明:提示:总结:54例3数列的极限例4证明:提示:总结:21定理1(极限的唯一性)证由定义,故收敛数列极限唯一.数列的极限才能成立.使得四、收敛数列的性质55定理1(极限的唯一性)证由定义,故收敛数列极限唯一.数列的极定理2(收敛数列的有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.数列的极限无界数列必定发散.不是充分条件.56定理2(收敛数列的有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条例5证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极限

反证法假设数列收敛，

则有唯一极限a存在.但却发散.57例5证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极数列的极限定理3(保号性)如果且证由定义,对有

从而58数列的极限定理3(保号性)如果且证由定义,对有从而25推论1如果且推论2如果且则当时,有推论3如果且则当时,有推论4如果数列从某项起有且那么用反证法问:数列的极限59推论1如果且推论2如果且则当时,有推论3如果且则当时,有推论在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项,子数列.叫做数列数列的极限?注意五、子列(subsequence)60在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这*********************证是数列的任一子数列.若则成立.现取正整数

K,使于是当时,有从而有