专题11 函数的性质(原卷版)

专题11函数的性质一、题型选讲题型一函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、(2019南京学情调研）若函数f(x)＝a＋eq\f(1,2x－1)是奇函数，则实数a的值为________．例2、(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x2－2x，,x≥0，,－x2＋ax，,x<0，)))为奇函数，则实数a的值等于________．题型二函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数.简称：同增异减.例3：函数的单调递增区间是例4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x的值为________．例5、(2015南京调研）若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)，x≥1，,－x＋3a，x＜1))是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．题型三函数的周期性1、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期2、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期（3）的周期（4）（为常数）的周期（5）（为常数）的周期例6、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x∈(0，4]时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(cos\f(πx,2)，,0<x≤2，,log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，,2<x≤4.)))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值为________．例7、(2017南京三模）已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－eq\f(3,2))|，则f(eq\f(1,2))的值为．题型四函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：①可利用对称性求得某些点的函数值②在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像③极值点关于对称轴（对称中心）对称④在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同例8、（2018年徐州模拟）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为例9、（2019年宿迁中学模拟）已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________题型五根据函数（或者构造函数）研究性质知识点拨：此类问题常见的有三种：1、给定函数的解析式对于这类问题要根据函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性；2、给定函数的解析式但是给定的函数解析式不具有单调性和奇偶性，对于这类问题要构造新的函数，使之具有单调性个奇偶性；3、抽象函数的问题这类问题没有具体的函数解析式，但是回给出函数的的性质。例10、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．．例11、（2018徐州二模）已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为．二、达标训练1、(2017苏州暑假测试）已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.2、(2017无锡期末）已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，,x＞0，,gx，,x＜0)))是奇函数，则f(g(－2))＝________.3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)．当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为________．4、(2019苏北三市期末）已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为________．5、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x.若f(a)＋f(－a)＜4，则实数a的取值范围为________．7、(2018扬州期末）已知函数f(x