专题09 基本不等式的应用(原卷版)

专题09基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.2、【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.3、【2019年高考浙江卷】若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知，且，则的最小值为.5、【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．一、三个不等式关系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．二、.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)四、对于f(x)＝x＋eq\f(a,x)，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a＞0时，f(x)在(－∞，eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)为增函数；在(－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a))为减函数．注意在解答题中利用函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。题型一运用消参法解决基本不等式中的最值问题消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2019常州期末）已知正数x，y满足x＋eq\f(y,x)＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值为________．例2、(2017苏北四市期末）若实数x，y满足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．题型二、运用1的代换解决基本不等式中的最值问题1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。例3、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．例4、（2019年苏州学情调研）若正实数满足，则的最小值是．例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为．题型三、运用双换元解决基本不等式中的最值问题若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。例6、(2017苏州期末）已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值为________．例7、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则eq\f(2,x＋3y)＋eq\f(1,x－y)的最小值为________．题型四、基本不等式中多元问题的处理多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题．(2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元．（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式——同除减元．策略二：整体思想——代入消元或者减元．例8、(2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．例9、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．题型五基本不等式的综合运用多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：①通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；②通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法．而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例10、(2018扬州期末）已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．例11、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．1、(2018苏锡常镇调研）已知a>0,b>0，且eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值是________．2、(2017苏北四市一模）已知正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\r(ab)－5，则ab的最小值为________．3、(2019镇江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)，则x＋y的最小值为________．4、(2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a＋3b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，则b的最大值为________．5、(2018苏州期末）已知正实数a，b，c满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,c)＝1，则c的取值范围是________．6、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则eq\f(c2＋5,a＋b)的最小值为________．7、(2019苏锡常镇调研（二））已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为．8、(2018苏锡常镇调研（二））已知为正实数，且，则的最小值为．9、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值为________．10、(2017苏州期末）已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值为________．11、（2016苏州期末）已知ab＝eq\f(1,4)，a，b∈(0,1)，则eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值为________．12、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．13、（2016苏锡常镇一调）若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，eq\f(x,y)的值为________．14、(2016泰州期末）若正实